原來它們是“一伙”的
——從一道習(xí)題想到的

文／江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校 孫天瀚

習(xí)題呈現(xiàn)（蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊第36頁第11題）：

如 圖1，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC。圖中AE、BD有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論。

圖1

我發(fā)現(xiàn)△ACE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)可與△BCD重合。于是，我的解題思路是：證明△ACE≌△BCD，依據(jù)是“SAS”，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)AE=BD，AE⊥BD。

在解決這個問題的過程中，要先通過∠DCE=∠ACB=90°，證得∠ACE=∠DCB。我仔細(xì)琢磨，幾番思考：題中給出了“AC⊥BC，DC⊥EC”，為什么要強(qiáng)調(diào)“垂直”呢？

我嘗試將“AC⊥BC，DC⊥EC”改為“∠DCE=∠ACB=60°”，如圖2，同樣也可證得∠ACE=∠DCB，進(jìn)而證明△ACE≌△BCD，這樣，結(jié)論AE=BD仍然成立。但是AE⊥BD不成立，這時可以求出AE與BD相交成的銳角為60°。

圖2

如 果 將“AC⊥BC，DC⊥EC”改 為“∠DCE=∠ACB=45°”，如圖3，同樣也可證明△ACE≌△BCD，結(jié)論AE=BD仍然成立，AE⊥BD不成立，但可以求出AE與BD相交成的銳角為45°。

圖3

于是，我就想到了更一般的情況，將“AC⊥BC，DC⊥EC”改為“∠DCE=∠ACB=α（0°＜α＜90°）”，如圖4，類似地證明△ACE≌△BCD，發(fā)現(xiàn)AE=BD，AE與BD相交成的銳角為α。如果將“AC⊥BC，DC⊥EC”改為“∠DCE=∠ACB=α（90°＜α＜180°）”，如圖5，同樣可證得AE=BD，AE與BD相交成的銳角為180°-α。

圖4

圖5

在學(xué)習(xí)中，我發(fā)現(xiàn)類似這樣的問題會經(jīng)常遇到，而且它們都是“一伙”的。因?yàn)椴徽撌菞l件改變，還是圖形變化，都可以用同樣的方法去解決。

教師點(diǎn)評

小作者善于觀察、比較、思考，通過解題后的反思，從特殊到一般，在圖形的變化中，發(fā)現(xiàn)了問題的本質(zhì)，自主探索發(fā)現(xiàn)了一類問題的解題策略。原來它們是“一伙”的，是一個了不起的發(fā)現(xiàn)。

（指導(dǎo)教師：單維娟）