位姿偏差對(duì)X-Y井徑測(cè)井儀測(cè)量精度的影響分析

路艷齊，郭振華，焦利明

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十二研究所 河南 新鄉(xiāng) 453003)

0 引 言

井徑測(cè)量是一種測(cè)量油井井眼幾何形態(tài)的測(cè)井方法，井徑曲線也是石油標(biāo)準(zhǔn)測(cè)井的必測(cè)曲線。在測(cè)量過程中發(fā)現(xiàn)，井徑測(cè)量值與真實(shí)值經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一定誤差。龔子華等[1]主要從井徑推靠部分設(shè)計(jì)原理、機(jī)械傳動(dòng)間隙、電位器精度等方面分析了井徑測(cè)量誤差，并未考慮儀器軸線與井眼軸線存在的位姿偏差的影響；張道奎[2]主要從井徑儀機(jī)械結(jié)構(gòu)、電子線路和測(cè)量原理等方面對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行了分析，同樣未考慮位姿偏差的影響；吳興方等[3]考慮了井徑儀居中程度，即位移偏差對(duì)三臂井徑儀測(cè)量誤差的影響，但并未考慮姿態(tài)偏差的影響。

引起井徑誤差的原因有多種：一種是井徑測(cè)井儀本身精度不足帶來的誤差，包含儀器推靠部分的設(shè)計(jì)誤差以及加工、裝配誤差，采集傳感器誤差、以及長(zhǎng)期使用帶來的磨損誤差等；一種是測(cè)量原理的誤差，某些井徑測(cè)量模型假設(shè)測(cè)量過程中儀器完全居中，還有一些測(cè)量模型則假設(shè)儀器軸線與井眼軸線完全重合，這些假設(shè)顯然是存在一定誤差的。

為研究位姿偏差對(duì)X-Y井徑儀測(cè)量精度的影響，改善井徑測(cè)量精度，本文將建立3個(gè)井徑數(shù)學(xué)模型(均不考慮其他因素對(duì)井徑測(cè)量的影響)，并通過分析、計(jì)算不同模型的誤差值及應(yīng)用條件，擇優(yōu)選取適合工程應(yīng)用的井徑模型。

1 井徑模型

模型一：假設(shè)儀器在油井內(nèi)完全居中，即不考慮位姿偏差的影響。

模型二：假設(shè)儀器在油井內(nèi)只有位移偏差，即不考慮姿態(tài)偏差的影響。

模型三：儀器在油井中為任意位移和姿態(tài)，即同時(shí)考慮位姿偏差的影響。

對(duì)于模型一與模型二，本文采用平面幾何圖形分析法建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析。對(duì)于模型三，本文建立空間直角坐標(biāo)系，采用空間直角坐標(biāo)變換的方法，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析。

1.1 模型一

儀器在油井橫截面上的俯視圖如圖1所示。其中，O為井眼中心，P為儀器中心，O、P重合。A、B、C、D分別為儀器測(cè)量臂與油井內(nèi)壁的接觸點(diǎn)。PA、PB、PC、PD分別是儀器4條測(cè)量臂在油井橫截面上的投影，其長(zhǎng)度分別為井眼半徑的測(cè)量值。

圖1 儀器居中時(shí)在油井橫截面上的俯視圖

此模型下，最終的井徑測(cè)量直徑d為儀器4條測(cè)量臂測(cè)量直徑的平均值，即

(1)

1.2 模型二

儀器軸線與井眼軸線平行但不重合，儀器在油井橫截面上的俯視圖如圖2所示。

圖2 儀器存在位置偏差時(shí)在油井橫截面上的俯視圖

P為儀器中心，O為井眼中心。其幾何分析示意圖如圖3所示，其中PA、PB共線，PC、PD共線，且PA、PB分別與PC、PD垂直。

圖3 儀器存在位置偏差時(shí)的幾何分析示意圖

由于A、B、C、D都位于油井內(nèi)壁上，由正弦定理：

(2)

式中：R為井眼半徑，mm。

則此模型下，最終的井徑測(cè)量直徑d為:

(3)

其中，根據(jù)直角三角形性質(zhì)：

(4)

(5)

(6)

1.3 模型三

儀器軸線與井眼軸線為任意位姿關(guān)系，儀器在油井橫截面上的俯視圖如圖4所示。

圖4 儀器存在位姿偏差時(shí)儀器在油井橫截面上的俯視圖

采用空間直角坐標(biāo)系，建立儀器坐標(biāo)系Oj-XjYjZj，坐標(biāo)系原點(diǎn)Oj在儀器軸線上，Z軸沿儀器軸線，其正方向?yàn)檠貎x器下接頭到上接頭的方向；OjA沿X軸正方向，OjB沿X軸負(fù)方向，OjC沿Y軸正方向，OjD沿Y軸負(fù)方向。

在儀器坐標(biāo)系中，測(cè)量臂與油井內(nèi)壁的接觸點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(Axj，0，Azj)，C(0，Cyj，Czj)，B(Bxj，0，Bzj)，D(0，Dyj，Dzj)。其中，Axj，Cyj，Bxj，Dyj分別為儀器測(cè)量臂的測(cè)量值。

采用空間直角坐標(biāo)系，建立參考坐標(biāo)系Oi-XiYiZi，坐標(biāo)系原點(diǎn)Oi在井眼軸線上，Z軸沿井眼軸線，其正方向?yàn)檠鼐圯S線由下到上。設(shè)儀器坐標(biāo)系Oj-XjYjZj由參考坐標(biāo)系經(jīng)過下列變換生成[4-5]：1)繞Xi軸旋轉(zhuǎn)α度；2)繞Yi軸旋轉(zhuǎn)β度；3)沿Xi軸平移Δx；4)沿Yi軸平移Δy。

設(shè)空間上的一點(diǎn)在儀器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xj，yj，zj)，在參考坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為(xi，yi，zi)。則由坐標(biāo)變換可知：

(8)

其中：

Tij(α,β,Δx,Δy)=Trans(yi,Δy)×Trans(xi,Δx)
×Rot(yi,β)×Rot(xi,α)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

在參考坐標(biāo)系中，儀器測(cè)量臂與油井內(nèi)壁接觸點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分別為A(Axi，Ayi，Azi)，C(Cxi，Cyi，Czi)，B(Bxi，Byi，Bzi)，D(Dxi，Dyi，Dzi)。

(14)

(15)

(16)

(17)

在參考坐標(biāo)系中，A、C、B、D均在方程為x2+y2=R2的圓柱面上，其中R為井眼半徑，則：

Axi2+Ayi2=RA2

(18)

Cxi2+Cyi2=RC2

(19)

Bxi2+Byi2=RB2

(20)

Dxi2+Dyi2=RD2

(21)

式中：RA，RB，RC，RD分別為測(cè)得的井眼半徑，mm。

聯(lián)立方程(8)～(21)，可分別求得RA，RB，RC，RD。此模型下最終的的井徑測(cè)量直徑d為：

(22)

1.4 特殊情況下的井徑值判定

若儀器的4條測(cè)量臂在同一時(shí)刻均與井壁接觸，則如上文所述，井徑值為4條測(cè)量臂測(cè)量直徑的平均值。

當(dāng)井眼直徑較大或者儀器偏心量較大時(shí)，可能導(dǎo)致1條或多條測(cè)量臂不能可靠地接觸井壁[6]。若只有1條測(cè)量臂接觸不到井壁，可按上文所述，井徑值由其余3條測(cè)量臂確定。若有2條以上測(cè)量臂接觸不到井壁，則測(cè)量無效，此時(shí)應(yīng)及時(shí)判斷問題并找出原因。

2 模型誤差驗(yàn)算

采用模型三獲取井眼測(cè)量直徑時(shí)，必須已知儀器的位姿偏差值。但模型三不存在原理性誤差，故下文將其作為基準(zhǔn)，分析驗(yàn)算其他兩種模型的誤差。

假設(shè)已知儀器軸線與井眼軸線的位姿偏差，同時(shí)知道井眼直徑。將已知條件帶入模型三，可以反求出儀器4條測(cè)量臂測(cè)量值。將得到的測(cè)量值分別代入模型一、模型二，求得相應(yīng)的直徑后，與已知直徑比較，即可求得模型一和模型二的誤差。

以中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十二研究所獨(dú)立研發(fā)設(shè)計(jì)的SDZ-5120四臂井徑微球微電極短節(jié)為例，分析2種模型的誤差。SDZ-5120的主體直徑為100 mm，有效長(zhǎng)度為2 735 mm。設(shè)待測(cè)井眼直徑為300 mm，該儀器在進(jìn)行井徑測(cè)量時(shí)，最大姿態(tài)偏差角不大于4°，最大位置偏差量不超過40 mm。故α、β按-4°、-2°、0°、2°、4°各取5組，Δx,Δy按-40、-20、0、20、40 mm各取5組。

對(duì)于4個(gè)輸入變量α,β,Δx,Δy，若按全因素全水平進(jìn)行試驗(yàn)，需要進(jìn)行625次。為減小試驗(yàn)次數(shù)，同時(shí)保證試驗(yàn)的有效性，按照正交試驗(yàn)法來設(shè)計(jì)試驗(yàn)，如表1所示。繪制模型一和模型二的測(cè)量井徑誤差圖，如圖5所示。

表1 不同位姿偏差下模型一和模型二的測(cè)量井徑

圖5 不同位姿偏差下模型一和模型二測(cè)量誤差曲線

由圖5可知，模型一的誤差均為負(fù)偏差，最大測(cè)量偏差為-7.03%，平均偏差為-2.39%；由于考慮了位移偏差的影響，模型二誤差值較小，最大偏差值為-0.45%。

3 結(jié) 論

本文通過建立3個(gè)井徑數(shù)學(xué)模型，研究、分析了位姿偏差對(duì)X-Y井徑儀井徑測(cè)量的影響。之后，通過不包含原理性誤差的模型三，定量分析驗(yàn)算了模型一和模型二的誤差。驗(yàn)算結(jié)果表明，由于考慮了位移偏差的影響，模型二的誤差要小于模型一的誤差。

模型三雖然不存在原理性誤差，但應(yīng)用此模型進(jìn)行井徑測(cè)量時(shí)，需已知儀器在井眼中的位姿偏差，而位姿偏差一般難以獲得。采用模型二進(jìn)行井徑測(cè)量時(shí)不需要額外的輸入?yún)?shù)，且測(cè)量誤差小，能夠滿足工程應(yīng)用的要求，故建議將模型二作為井徑測(cè)量模型。