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      由“烙餅”問題引發(fā)的思考

      2021-09-22 11:42:11高彩云
      小作家報(bào)·教研博覽 2021年29期
      關(guān)鍵詞:烙餅花費(fèi)條件

      高彩云

      中圖分類號(hào):A ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ?文章編號(hào):(2021)-29-328

      “烙餅”問題是人教版教材四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容,教材中的主題圖只有三段對(duì)白,也就提供了三個(gè)條件:1.每次最多烙兩張餅,正面和反面都要烙,烙熟每面費(fèi)時(shí)3分鐘;2.父母和女兒三人,每人一張餅;3.如何在最短的時(shí)間內(nèi)烙熟所有餅。

      教材設(shè)計(jì)這種形式的素材無(wú)非就是要傳導(dǎo)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)優(yōu)化行動(dòng)方案;但除了傳導(dǎo)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化行動(dòng)方案外,是否能讓學(xué)生獲得更長(zhǎng)足的發(fā)展呢?現(xiàn)參照本校教師執(zhí)教“烙餅問題”的交流課談一些淺見。

      一、教學(xué)中帶來的疑惑

      執(zhí)教老師對(duì)教材做了適當(dāng)改編,并在課前指示學(xué)生自制學(xué)具,用硬幣充當(dāng)烙餅,給硬幣編號(hào):餅1、餅2、餅3。其中硬幣字面視為正面,花紋面視為背面;用圓形的硬紙充當(dāng)平底鍋。將全班學(xué)生分為6個(gè)探究小組,導(dǎo)入問題情境之后呈現(xiàn)第一個(gè)問題:一次只能烙兩張餅,每張餅都要分別烙兩面,烙熟餅的一面耗時(shí)3分鐘,那么徹底烙熟一張餅需要花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間?要求學(xué)生仔細(xì)審題并回答:解決這個(gè)問題時(shí),你已經(jīng)知道什么?需要弄清什么?生1:“我已知三個(gè)條件:1.一個(gè)鍋里一次最多放置兩張餅;2.每張餅兩面都要分開烙才能熟透;3.烙熟餅的一面費(fèi)時(shí)3分鐘。需要弄清的問題是:徹底烙熟一張餅需要花費(fèi)長(zhǎng)時(shí)間?”師:“你們覺得這位同學(xué)說得有理嗎?有無(wú)異議?”全體學(xué)生:“有理。完全同意,無(wú)異議?!睅煟骸袄蠋熞操澩?,我們?yōu)樗恼??!苯又處熥寣W(xué)生動(dòng)手操作來驗(yàn)證這個(gè)問題,然后拋出第二個(gè)問題:每回只能烙兩張餅,每張餅的正反面要分別烙,烙熟一面用時(shí)3分鐘,問烙熟兩張餅需要多久?師:“請(qǐng)你們仔細(xì)對(duì)比前后兩個(gè)問題,有什么異樣?”生2:“已知條件完全相同,問題有區(qū)別,第二次是烙兩張餅?!苯處煴?yè)P(yáng)生2,再次讓學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)踐,小組合作探究,然后匯報(bào)展示。結(jié)果6個(gè)小組得到的答案都是“6分鐘”。師:“我有兩種烙餅的方法,方法A:先烙熟第一張餅的正面,再烙熟它的反面;然后烙熟第二張餅的正面;最后烙熟第二張餅的背面。方法B:先烙熟第一張餅的正面,然后烙熟第二張餅的正面,再同時(shí)一次性烙熟兩張餅的背面。你們覺得以上兩種方案合理嗎?分別需要花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間?跟你們策劃的方法相比,誰(shuí)更好?為什么?”生3:“這兩種方法都可行,分別耗時(shí)12分鐘和9分鐘。”生4:“我們小組策劃的操作方案更好,更省時(shí)?!睅煟骸澳銈兌己苡兄饕?,那么怎么做才省時(shí)?省時(shí)有什么好處?”生5:“我們每次烙餅時(shí)平底鍋的鍋底都充分利用了,擠滿了兩張餅;而之前采用的方法烙餅鍋底仍有空閑空間,這樣效率降低?!鄙?:“省時(shí)當(dāng)然好,可以提前吃到餅;節(jié)省下來的時(shí)間,可以做別的事,還可以節(jié)省燃煤燃?xì)??!?/p>

      二、用表格數(shù)據(jù)總結(jié)淺顯的規(guī)律

      教師呈現(xiàn)第三個(gè)問題:每次只能烙兩張餅,每張餅的正反面分別烙熟,烙熟一面耗時(shí)3分鐘,如果要烙熟三張餅,共需花費(fèi)幾分鐘?教師讓學(xué)生先獨(dú)立思考,大膽猜想,然后動(dòng)手驗(yàn)證,交流學(xué)習(xí),并把烙餅方法形成文字材料,最后指派學(xué)生代表演示烙餅方法。第1、3、4、6組:花費(fèi)12分鐘。開始同時(shí)烙餅1、2的正面,待正面烙熟后,再烙餅1、2的反面,然后分兩次烙熟餅3的正反面。第2、5組:花費(fèi)9分鐘。先烙熟餅1、2的正面,然后同時(shí)烙熟餅1的反面和餅3的正面,最后烙熟餅2、3的反面。師:“通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),第2、5組的烙餅方法更精妙,請(qǐng)這兩組的同學(xué)陳述一下設(shè)計(jì)思路?!鄙骸拔覀兘M開始也采用常規(guī)方法,但是發(fā)現(xiàn)烙餅3時(shí),鍋底有閑置空間;后來反復(fù)琢磨發(fā)現(xiàn):如果第二次撤下一張餅的反面,代之以餅3的正面,那么最后就可以同時(shí)烙兩張餅的反面?!睅煟骸把灾欣?,看來烙餅時(shí)我們應(yīng)該統(tǒng)籌考慮、合理規(guī)劃,盡量每次都是烙兩張餅,有效利用鍋底空間?!敝链吮菊n的教學(xué)難點(diǎn)已經(jīng)突破,教材中的問題得以解決。教師還設(shè)計(jì)了表格數(shù)據(jù)以揭示規(guī)律。

      教師指導(dǎo)學(xué)生分析餅的數(shù)量與烙制時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:當(dāng)餅的數(shù)量多于1張時(shí),最少時(shí)間=餅的數(shù)量×烙餅一面所需的時(shí)間。

      聽到這里,筆者心里打鼓,這個(gè)規(guī)律有必要?dú)w納出來嗎?這個(gè)規(guī)律不具有普遍性,如果每次烙餅的條件都是“一次只能烙兩張餅”,那肯定適用,但是限制條件一旦有變,又該怎么辦?

      三、延伸拓展,尋求通用性公式

      可以說執(zhí)教老師已經(jīng)成功地完成教學(xué),她合理地加工改編了課本素材,讓學(xué)生深入理解烙餅問題的意思,然后通過提取主干,使學(xué)生能自覺思索、主動(dòng)操作、歸納總結(jié)。倘若把限制條件“一次只能烙兩張餅”改成“一次能烙3張(或者更多張)餅”,最短用時(shí)又是多少呢?此時(shí),前面總結(jié)出的規(guī)律早已失效,如果再次進(jìn)行拓展研究,二次實(shí)踐驗(yàn)證,時(shí)間不夠,也超出了學(xué)生的接受能力。那么能否在“一次只能烙兩張餅”的限制下,總結(jié)出更普遍的規(guī)律呢?

      四、思維升華,建立一般模型

      經(jīng)過深思熟慮,筆者發(fā)現(xiàn)可以定性地得出更一般的規(guī)律。在限制條件是“一次只能烙兩張餅”時(shí)已經(jīng)得出:當(dāng)每次烙餅時(shí)煎鍋里隨時(shí)保持兩張餅的任務(wù)量,所費(fèi)時(shí)間最短。此時(shí)可以引發(fā)三問:(1)所有烙餅需要烙制的總面數(shù)是多少?學(xué)生會(huì)很快得出結(jié)果:餅的張數(shù)×2。(2)為了提高效率,每次保證鍋底有兩張餅,需要烙幾次?這也很容易求解:總面數(shù)÷每回能烙的面數(shù)。(3)烙完所有餅面需要多久?也很容易算出結(jié)果:烙的總次數(shù)×烙熟一面所需時(shí)間。這個(gè)時(shí)間即是最優(yōu)化的時(shí)間。回答完這三個(gè)問題,就大致可以建立起烙餅所需時(shí)間模型:(1)需烙的面數(shù)=餅數(shù)×2;(2)需烙餅的次數(shù)=需烙餅的面數(shù)÷每次能烙的面數(shù)(有余數(shù)則采用“進(jìn)一法”取近似值);(3)最少時(shí)間=需烙的總次數(shù)×烙一面餅需花費(fèi)的時(shí)間(模型適用的條件是:煎鍋一次性放不下所有烙餅,煎鍋一次性能放下所有烙餅,一律烙兩次)。這個(gè)模型不但適用于一次只能烙兩張餅的限制條件,對(duì)于“一次能烙3張(或者更多張)餅”的限制條件一樣適用。模型中的第二步計(jì)算會(huì)出現(xiàn)余數(shù),一旦有余數(shù)就要采用“進(jìn)一法”核算,這樣這個(gè)模型就具有普適性。只要這個(gè)模型建立起來,且只是求算最短時(shí)間,還是很好掌握的。

      最后,筆者還發(fā)現(xiàn),這個(gè)模型還能反推烙制流程,結(jié)論是:在模型中的第二步計(jì)算,算出總次數(shù)=總面數(shù)÷每次同時(shí)烙的面數(shù),(1)當(dāng)這個(gè)結(jié)果沒有余數(shù),且是偶數(shù)時(shí),就一正一反一直烙到最后所有反面;如果是奇數(shù),則必須在倒數(shù)第二次烙制上一批所有反面時(shí)撤換面餅;(2)當(dāng)這個(gè)次數(shù)有余數(shù),商是偶數(shù)時(shí),必須在倒數(shù)第二次時(shí)調(diào)換正反面下鍋次序;若商是奇數(shù),則按照先正后反的順序逐步烙完。對(duì)于這些在此就不一一展開講解了。

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