釋疑解惑完善體系

宋揚

摘? 要：人教A版《普通高中教科書·數學》中的條件概率內容從條件概率的定義出發(fā)，衍生出概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，使概率知識體系更加完善，更利于解決實際問題，反映出著眼學生核心素養(yǎng)的時代要求.

關鍵詞：條件概率;概率乘法公式;全概率公式;貝葉斯公式

研讀人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統(tǒng)稱“新教材”）選擇性必修第三冊“7.1.1 條件概率”，發(fā)現第46頁明確指出概率的乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件[A]與[B]，若[PA>0]，則[PAB=][PAPBA]. 至此，筆者眼前一亮，聯(lián)想起一道概率高考題引發(fā)的熱議，看到該公式對原來解釋不清的概率問題釋疑解惑、清澈見底，尤其以概率的乘法公式為邏輯起點，完善知識體系的強大功能，不禁為新教材的改編叫好.

考慮到新教材、新知識、新方法一定會給廣大一線教師帶來某種陌生感，為便于大家理解新教材、運用新教材，筆者談談自己的學習體會，謹供同行參考，不妥之處，敬請指正.

一、緣起一樁陳年“公案”

2006年高考數學北京卷理科第18題是一道概率試題，如下.

某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.

方案1：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過;

方案2：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.

假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是[a，b，c]，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.

（1）分別求該應聘者用方案1和方案2考試通過的概率;

（2）略.

應聘者用方案2考試，通過的概率是[P=13ab+13bc+][13ac]，并無懸念;問題出在對[13]與[ab]，[bc]，[ac]相乘關系的解釋.

有的教師認為，完成此事分為選兩科和考試通過，類比排列組合中分步乘法計數原理，得相乘關系;有的教師認為，選兩科與考試通過是相互獨立事件，得概率的相乘關系.

面對這些說法，首都師范大學馬恩林老師撰文（見文[1]）做出了詳盡的指正，并說明要解釋[P=][13ab+13bc+13ac]的合理性，就要利用概率的乘法公式[PAB=PAPBA]. 如果設事件[D]為考試及格，事件[A，B，C]分別表示選出課程[A，B]，[C]，則選出課程[A，B]且考試及格的概率為[PABD=PABPDAB=13ab]，其余類推.

馬老師的指正，直擊肯綮. 但遺憾的是，當年的中學教材，并沒有明確馬老師介紹的、出現在大學教材中的概率乘法公式，只有限定事件[A，B]獨立的概率乘法公式[PAB=PAPB]. 因此，馬老師在文[1]中給出“現行教材中，兩個概率能夠相乘的唯一理論依據是獨立事件的概率乘法公式”的結論，于是，一道高考題的解法不能用現行（當年）知識解釋，引發(fā)了熱議.

馬老師曾在文尾謹慎地指出，不排除存在著我們尚不了解、但能夠用中學數學教材中概率論的基礎知識作為依據的正確解釋. 并希望通過此文拋磚引玉，但無奈當時回應者寡，終歸不得要領，致使這道高考題成為概率教學的一樁“公案”.

現在看來，馬老師留有余地的預判是正確的. 因為我們當年只需要對條件概率的計算公式[PBA=][nABnA=PABPA]去分母變形，即得不限事件獨立的概率乘法公式[PAB=PAPBA]，但是當年卻被這樣一層“窗戶紙”蒙蔽，以致造成該公式“猶抱琵琶半遮面”般隱匿其間，至今才真相大白.

二、條件概率地位升華

新教材中，概率乘法公式撕掉面紗，化繭成蝶，成為重要的概率計算公式，不僅使這樁“公案”塵埃落定，還使得條件概率的教學地位陡然提升.

我們不妨還按照原教材中條件概率的計算公式（不做去分母變形）繼續(xù)分析學生當年的學習狀況，學生在古典概型的基礎上學習條件概率，只需按照古典概型的方法，在事件[A]發(fā)生的前提條件下，得出縮小后的樣本空間[A]，于是，求[PBA]就是以[A]為樣本空間，計算事件[AB]的概率，即[PBA=nABnA]，這是一個新知識含量不多（僅限條件概率稱謂），實則運用古典概型知識就可以解決的簡單計算問題. 而公式[PBA=][nABnA=PABPA]形同虛設，最多是從特殊到一般的角度說明了[nABnA=PABPA]的演變的合理性，實則是沒有下文的“斷頭路”. 由此造成“條件概率”在知識邏輯體系中的作用降低，甚至成為可有可無的點綴.

現在新教材的處理就不同了，條件概率的地位今非昔比，其計算公式[PBA=PABPA]演變成重要的概率乘法公式[PAB=PAPBA]. 該公式的一般性表現在于它的成立與否不以事件[A，B]是否相互獨立為前提條件，甚至可以根據需要，把公式[PAB=PAPBA]轉換成[PAB=PBPAB]，這就為該公式開辟了廣泛的運用前景.

三、釋疑解惑 清澈見底

例1? 將僅顏色不同的5個白球、5個黑球混在一起，從中任意摸出一球，不放回地連續(xù)摸兩次，求兩次都摸出白球的概率.

分析：設[Ai i=1，2]代表第[i]次摸出白球，則據古典概型的知識，得出[PA1A2=A25A210=5×410×9=29];或改變試驗方式，理解為一次摸出兩個白球，也不改變概率，于是得到[PA1A2=C25C210=5×410×9=29].

從試驗方式到樣本空間，上述兩種解法都無懈可擊，都是學生應該掌握的方法. 但是，在教學實踐中，經常有人把上述題目的解答過程表述為[PA1A2=][510×49=29]，教師通常的做法是默認答案正確. 但是，如何解釋呢？

若把該解法理解為兩次摸出白球的概率之積（因為第一次摸出白球的概率為[PA1=510]并無歧義），但這樣必須有兩次摸出白球的事件相互獨立. 而事實上，第一次摸出白球與否，勢必對第二次是否摸出白球造成影響. 顯然，這樣的解釋是不能自圓其說的.

有了對任意兩個事件[A，B]，只需[PA>0]，就有概率乘法公式[PAB=PAPBA]成立，我們解釋解法[PA1A2=510×49=29]就變得輕而易舉了. 因為[PA1A2=][PA1PA2A1=510×49=29]. 其中，[PA2A1=49]是縮小樣本空間的產物.

例2? 某種電器設備，電路開關閉合會引發(fā)紅燈或綠燈的閃動. 已知開關第一次閉合，閃紅燈和閃綠燈的概率都是[12]. 開關第二次閉合時，若第一次閃紅燈，則再閃紅燈的概率是[13]，閃綠燈的概率是[23];若第一次閃綠燈，則再閃紅燈的概率是[35]，閃綠燈的概率是[25]. 求開關第二次閉合后閃紅燈的概率.

分析：設事件[A]為“第二次閉合后閃紅燈”. 顯然事件[A]由事件“第一次閃紅燈后第二次又閃紅燈”和事件“第一次閃綠燈后第二次閃紅燈”構成. 若學生根據兩個事件互斥，得到解法[PA=12×13+1-12×][35=715]，教師該如何點評？

很明顯，根據兩個互斥事件構成和事件的概率等于兩事件的概率和并無歧義，問題出在“第一次閃紅燈”與“第二次閃紅燈”（包括“第一次閃綠燈與第二次閃紅燈）的概率為什么可以相乘？如果運用獨立事件的概率公式來解釋，顯然是說不通的，因為第一次閃燈的顏色勢必對第二次閃燈的顏色造成影響. 如果沒有學習概率的乘法公式，這是無法避免的糾結.

正確的解法依然是要運用概率的乘法公式，即設[Ai i=1，2]代表第[i]次閃紅燈，[Bi i=1，2]代表第[i]次閃綠燈，則有[PA=PA1A2+B1A2=PA1A2+PB1A2=][PA1PA2A1+PB1PA2B1=12×13+1-12×35=715.]

例3? 已知3張獎券中只有1張有獎，甲、乙、丙3名同學依次不放回地各隨機抽取1張，他們中獎的概率與抽獎的次序有關嗎？（選自新教材選擇性必修第三冊第47頁.）

分析：欲說明中獎的概率與抽獎的次序是否有關，我們不妨任意設定一個抽獎順序（如依“甲、乙、丙”順序抽獎），然后計算他們各自的獲獎概率，看是否與順序有關.

解決此題，如果不用概率乘法公式，只能運用古典概型的知識，得[P甲中獎=A11A22A33=13]，[P乙中獎=][A12A11A11A33=13]，[P丙中獎=A22A11A33=13]. 這種解法雖然說明三人中獎的概率相同，但對任意選定的抽獎順序“甲、乙、丙”的展示，卻不夠明確.

而借助概率的乘法公式就不同了，我們可以設[A，B，C]分別表示甲、乙、丙3名同學中獎的事件，任取抽獎順序為“甲、乙、丙”，那么三人中獎的概率分別是[PA=13]，[PB=PAB=PAPBA=1-13×][12=13]，[PC=PAB=PAPBA=1-13×12=13].

如此求證，“甲、乙、丙”的抽獎順序鮮明，計算簡便，說明他們中獎的概率與抽獎的次序無關更有力度，概率的乘法公式功莫大焉.

四、邏輯奠基，完善體系

有了概率的乘法公式，我們就有了計算兩個事件[A，B]都發(fā)生的概率的一般方法. 有時需要根據兩個事件的發(fā)生順序，來選擇使用[PAB=PAPBA]或[PAB=PBPAB]. 由此聯(lián)想，若三件事[A，B，C]都發(fā)生，概率如何求？自然可以根據實際需要，確定事件[A，B，C]的發(fā)生順序，把該公式類似地推廣為[PABC=][PAPBAPCAB]. 若求多個事件都發(fā)生的概率，亦可依此類推.

該公式揭示了兩個條件概率之間的關系，在現實生活中有著廣泛的應用. 至此，新教材完成了從條件概率到概率乘法公式，從概率乘法公式到全概率公式，進而到貝葉斯公式的推演，可謂邏輯貫通、“枝繁葉茂”. 對比新、舊教材的條件概率部分，感到隨著課程改革的漸次深入，我們的教材也在日臻完善，反映出著眼學生核心素養(yǎng)的時代要求.

參考文獻：

[1]馬恩林，連四清. 概率計算中概率乘法問題的商榷[J]. 數學通報，2007，46（8）：55-56.