利用Weingarten映射計(jì)算曲面主曲率的新方法

【摘 要】本文主要是在Weingarten變換下，利用高等代數(shù)中的矩陣初等變換法來(lái)求解曲面的主曲率。具體是通過(guò)對(duì)Weingarten矩陣進(jìn)行初等變換，得到其特征值，進(jìn)而計(jì)算出曲面的主曲率，得到計(jì)算主曲率的一種新方法。

【關(guān)鍵詞】Weingarten映射;矩陣初等變換;主曲率

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）16-0013-02

微分幾何是應(yīng)用性很強(qiáng)的一門(mén)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課，由于其固有特點(diǎn)，學(xué)起來(lái)比其他課程更困難、更枯燥。如果能在保證教學(xué)質(zhì)量的基礎(chǔ)上加強(qiáng)與之前學(xué)過(guò)的課程的聯(lián)系，如高等代數(shù)在微分幾何中的應(yīng)用，這樣會(huì)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)微分幾何課程的親切感，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力。本文介紹的是一種高等代數(shù)在計(jì)算曲面主曲率中的新方法。

1? ?基本方法闡述

在曲面的微分幾何中，把曲面在每一點(diǎn)的單位法向量平移到以原點(diǎn)為中心的單位球面上的映射稱(chēng)為高斯映射。接下來(lái)，高斯映射的切映射將誘導(dǎo)兩個(gè)切空間之間的線(xiàn)性變換，這個(gè)映射被稱(chēng)為Weingarten映射。

眾所周知，滿(mǎn)足σ（），=，σ（）的算子稱(chēng)為自伴算子，而在二維線(xiàn)性空間中，自伴算子的特征值為實(shí)特征值，Weingarten映射為自共軛的，這就保證了它的特征值為實(shí)特征值[1]。

定理1：在曲面S上任意一點(diǎn)P處，Weingarten變換的兩個(gè)特征值λ1，λ2正好是曲面在P的主曲率，對(duì)應(yīng)的特征方向是曲面S在P點(diǎn)的主方向[2]。

由Weingarten映射的定義可以導(dǎo)出Weingarten矩陣。

要求曲面S上任一點(diǎn)的主曲率，即求矩陣ω的特征值，傳統(tǒng)方法是由|λI?ω|=0，求得ω的全部特征根，進(jìn)而得到主曲率。本文通過(guò)對(duì)Weingarten矩陣進(jìn)行初等變換求主曲率，得到求主曲率的新方法。此方法主要基于以下定義與定理[3]。

定義1：設(shè)λ—矩陣B（λ）=（bij（λ））是n階方陣，若對(duì)任意i=1，2，…，n有①若bij（λ）為常數(shù)，則bij（λ）=1，且該元素所在列的其它元素為0，即bij（λ）=。

②若bij（λ）=φi（λ），φi（λ）為λ的非零次多項(xiàng)式，則bkj（λ）=0，k=i+1，i+2，…，n。則稱(chēng)B（λ）的第i列為規(guī)范列;若B（λ）的所有n個(gè)列都是規(guī)范列，則稱(chēng)B（λ）是規(guī)范λ—矩陣。

定理2：設(shè)A為n階方陣，求A的特征值步驟如下：

①將（A?λE）規(guī)范化，化成規(guī)范λ—矩陣B（λ）。②若bii（λ）≠1，則令bii（λ）=0，i=1，2，…，n，方程bii（λ）=0的根，則為特征根。

2? ?舉例

例1：求螺面（u，v）={ucos v，usin v，bv}的主曲率。

解：由（u，v）={ucos v，usin v，bv}得=（cos v，sin v，0），=（?usin v，ucos v，b），=

，=（0，0，0），=（?sin v，

cos v，0）=，=（?ucos v，?usin v，0）。于是E（u，v）

=?=1，F(xiàn)（u，v）=?=0，G（u，v）=?=u2+b2。L（u，v）=?=0，M（u，v）=?=，N（u，v）=?=0。

所以螺面的第一基本形式和第二基本形式如下：

I=du2+（u2+b2）dv2，II=dudv。

可見(jiàn)L：M：N≠E：F：G。由此便知螺面上所有點(diǎn)都非

臍點(diǎn)。

螺面的Weingarten矩陣為：

=，

（λE?ω）=

→

→

→，

令=0，

得螺面的主曲率：λ1=，λ2=。

另外，當(dāng)正則曲面=（u，v）的坐標(biāo)網(wǎng)既是正交網(wǎng)，又是漸近網(wǎng)時(shí)，即F=0，L=N=0?？芍苯拥玫教卣髦禐棣?=，λ2=[4]，也可以根據(jù)此性質(zhì)求出主曲率為λ1，λ2。

例2：計(jì)算拋物面z=x2?y2在點(diǎn)（1，1，2）處的主曲率。

解：設(shè)拋物面的參數(shù)表示為（x，y）=（x，y，x2+y2），

則=（1，0，2x），=（0，1，2y），=（0，0，2），==（0，0，0），=（0，0，2），×=（?2x，?2y，1），=，E=?=1+4x2，E=?=4xy，G=?=1+4y2，L=?=，M=?=0，N=?=。在點(diǎn)（1，1，2）處E=5，F(xiàn)=4，G=5，L=，M=0，N=。

對(duì)應(yīng)的Weingarten矩陣為：

=，

（λE?ω）=

→

→

→，

令，得拋物面z=x2?y2在點(diǎn)（1，1，2）處的主曲率λ1=，λ2=。

筆者在微分幾何的教學(xué)中較多地應(yīng)用了數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何的知識(shí)。用線(xiàn)性代數(shù)中的線(xiàn)性變換以及多線(xiàn)性代數(shù)解決曲線(xiàn)曲面的問(wèn)題是常用的方法，所以學(xué)生需要掌握好數(shù)學(xué)基本知識(shí)，并將其靈活應(yīng)用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王幼寧，劉繼.微分幾何講義[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[2]陳維恒.微分幾何初步[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[3]陳澤安.求矩陣特征值與特征向量的新方法[J].長(zhǎng)沙通信職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（3）.

[4]黃浩，黃晴，盧衛(wèi)君.Weingarten變換下曲面的特征向量和特征值的一種求法[J].理論數(shù)學(xué)，2019（4）.

【作者簡(jiǎn)介】

王利娟（1982～），女，漢族，山西太原人，助教。研究方向：微分幾何。