壓縮感知在寬帶聲學(xué)多普勒測速技術(shù)中的應(yīng)用?

劉舒寧 鄧 鍇 王長紅

(1 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

(2 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 北京 100190)

(3 北京市海洋聲學(xué)裝備工程技術(shù)研究中心 北京 100190)

0 引言

寬帶多普勒測速采用模擬方式處理寬帶回波信號，在模擬域進(jìn)行混頻處理很難保證混頻信號的絕對正交，因此會產(chǎn)生相頻失真。若直接對回波信號以奈奎斯特速率采樣將信號從模擬域轉(zhuǎn)化到數(shù)字域處理，則對A/D要求高，在硬件上難以實現(xiàn)。一種解決方法是對寬帶回波信號進(jìn)行帶通采樣[1]，由信號的中心頻率與帶寬決定采樣頻率。文獻(xiàn)[2]指出，對于高頻信號來說，要想獲得較高的信號采樣量化信噪比，帶通采樣頻率宜盡可能選高一些。文獻(xiàn)[3–4]也指出，對于高頻寬帶信號，帶通采樣的采樣率以及采樣后的數(shù)據(jù)量依然非常高，并提出了利用壓縮感知理論對信號以低采樣率進(jìn)行采樣、低數(shù)據(jù)量進(jìn)行存儲的方法。目前寬帶信號處理存在的所需采樣率高和數(shù)據(jù)存儲空間大的問題，其根本原因在于傳統(tǒng)采樣的采樣率是由信號的頻率和帶寬決定的。壓縮感知(Compressed sensing,CS)[5?7]作為一種新的信號采樣方式，可突破均勻采樣的限制實現(xiàn)信息采樣，即由信號中所含有用信息來決定其采樣的數(shù)據(jù)量，從而減少需采樣數(shù)據(jù)量，提高采樣效率。壓縮感知在水聲領(lǐng)域常被應(yīng)用于水聲信號的壓縮重構(gòu)、水聲信道估計等研究中[8?9]。

本文將壓縮感知應(yīng)用于聲學(xué)多普勒測流測速，對利用壓縮感知理論處理寬帶回波信號的性能進(jìn)行研究。利用點(diǎn)回波寬帶測頻模型[10]設(shè)計回波信號，對高采樣率離散化后的回波信號數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮感知觀測采樣和重構(gòu)，并比較回波信號在不同的稀疏基和觀測矩陣下的信號重構(gòu)精度，在此基礎(chǔ)上選擇合適的重構(gòu)參數(shù)。利用復(fù)協(xié)方差法估計多普勒頻移[11?15]，分析壓縮感知方式處理回波信號的頻移偏差結(jié)果。另外，對帶通采樣與壓縮感知兩種回波信號處理方法進(jìn)行對比，在相同噪聲條件下分別利用兩種方法對信號進(jìn)行處理，對頻移誤差結(jié)果進(jìn)行對比分析。仿真實驗結(jié)果表明，在無噪聲的理想條件下，利用壓縮感知理論處理寬帶多普勒測速的回波信號，相對頻移偏差小于0.1%；在相同的噪聲條件下，應(yīng)用壓縮感知方法處理后的回波信號能夠獲得與帶通采樣方法相當(dāng)?shù)臏y頻性能，符合寬帶聲學(xué)多普勒測速的精度要求。

1 壓縮感知基本原理

假設(shè)一維回波信號x ∈CN×1可以用一組基ΨT=[ψ1,ψ2,···,ψn,···,ψN]線性表示為

其中：α是N ×1 的系數(shù)向量，Ψ是N ×N矩陣，αn=〈x,ψn〉。

若向量α中的非零元素個數(shù)K ?N，則信號α在基Ψ上是稀疏的。將稀疏信號x中的信息用一組觀測向量ΦT=[φ1,φ2,···,φm,···,φM]進(jìn)行觀測得到觀測值ym=〈x,φTm〉，即

其中：原始信號x為N ×1 矩陣，觀測值y為M ×1矩陣，Φ為M ×N的觀測矩陣且M

結(jié)合式(1)，得

其中：Θ=ΦΨ，Θ是M ×N矩陣。

由于M

利用觀測值對信號進(jìn)行重構(gòu)本質(zhì)是求解式(5)的l0范數(shù)最優(yōu)化問題得到α，通過α恢復(fù)原始信號：

由于式(5)的求解是NP-hard 問題(在多項式時間內(nèi)難以求解且無法驗證該解是否可靠)，研究表明，可將求解l0最小范數(shù)轉(zhuǎn)化為求解l1最小范數(shù)，修改約束條件后重構(gòu)問題轉(zhuǎn)變?yōu)槭?6)可求解的凸優(yōu)化問題[17]：

由壓縮感知基本原理可知，在寬帶多普勒測速技術(shù)中應(yīng)用壓縮感知處理回波信號重點(diǎn)為回波信號的稀疏分解、測量矩陣的選擇以及信號重構(gòu)。

2 應(yīng)用壓縮感知處理寬帶多普勒測速技術(shù)中的回波信號

2.1 回波信號的稀疏表達(dá)

由式(1)可知，理想條件下，若系數(shù)向量α中的非零值的個數(shù)較少，則認(rèn)為信號在基向量Ψ上是稀疏的。在實際應(yīng)用中，若系數(shù)向量α中包含了少量大系數(shù)以及大量小系數(shù)，則通過適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則舍棄小系數(shù)(用0 替代)，保留大系數(shù)來實現(xiàn)信號的稀疏表示，即在可接受的失真范圍內(nèi)找到信號的最簡潔表示。

將寬帶回波信號模型簡化為[18]

其中，Y(t)是回波信號，X(t)是發(fā)射信號，σ(t)為信號從發(fā)射點(diǎn)至散射體和散射體至接收點(diǎn)的雙程系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)，暫不考慮散射體對回波信號的散射特性。

對回波信號進(jìn)行離散化處理，令t=k1n，τ=k2m(假設(shè)m、n是和t、τ相關(guān)的離散時間變量)，則，式(7)可以表示為

假設(shè)發(fā)射信號以及回波信號長度均為N，則離散化的卷積形式可以看作矩陣X和向量σ的乘積：

由式(9)可以看出，若將矩陣X看作某種稀疏基，則σ(n)是Y(n)在此稀疏基下的稀疏表示向量。本文選擇常見的離散余弦變換基和離散傅里葉變換基作為稀疏基對回波信號進(jìn)行稀疏分解，稀疏基矩陣元素構(gòu)造如表1所示，并在仿真實驗中對兩種稀疏基下的稀疏分解性能進(jìn)行對比。

表1 稀疏基表示Table 1 The structure of sparse bases

2.2 測量矩陣的選擇

對信號進(jìn)行稀疏表示后，在滿足有限等距性質(zhì)特性的前提下選擇最優(yōu)觀測矩陣對回波信號進(jìn)行觀測得到重構(gòu)回波信號所需的測量值。高斯隨機(jī)矩陣和伯努利隨機(jī)矩陣作為常用的測量矩陣，除易于構(gòu)造外，最大優(yōu)勢在于與多數(shù)稀疏基(包含2.1 中介紹的離散傅里葉變換基和離散余弦變換基)都不相關(guān)[6]，可以很好滿足有限等距性質(zhì)，所以本文選擇高斯隨機(jī)矩陣和伯努利隨機(jī)矩陣作為觀測矩陣，測量矩陣元素構(gòu)造如表2所示，并比較不同測量矩陣下信號的重構(gòu)效果。

表2 測量矩陣構(gòu)造Table 2 The structure of measurement matrices

2.3 信號重構(gòu)

本文選擇正交匹配追蹤(Orthogonal matching pursuit,OMP)[19?20]算法作為重構(gòu)算法對信號進(jìn)行重構(gòu)。OMP 算法的本質(zhì)是以貪婪迭代思想在一定誤差范圍內(nèi)尋找原始信號的最佳近似值來逼近和精確重構(gòu)原始信號，方法是在每次循環(huán)迭代流程中從感知矩陣Θ中選擇與觀測值y最大程度相關(guān)的列向量并記錄此列向量在感知矩陣Θ中的指向索引值，再從觀測值y中減去相關(guān)部分后繼續(xù)進(jìn)行迭代流程，直至達(dá)到預(yù)先設(shè)定的迭代次數(shù)K或收斂后停止。算法流程如表3所示。

表3 OMP 算法流程Table 3 The algorithm flow of orthogonal matching pursuit

圖1 回波信號的壓縮感知與重構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of compressed sensing and reconstruction of echo signal

2.4 適用性驗證方法

聲學(xué)多普勒測速的基本原理[11?12]為：頻率為f0的聲波信號在水體中傳播并經(jīng)水中散射體反射后傳播至換能器接收得到回波信號，處理計算得到回波信號頻率為fr。根據(jù)多普勒頻移原理，如果聲源、散射體或水體間有相對速度，則f0與fr不相等，其差值fd為

其中：v為載體速度，c為聲波在水中的傳播速度，φ為載體運(yùn)動方向與換能器發(fā)射波束聲軸方向的夾角。

由式(10)可知，通過測量回波信號的多普勒頻移可間接求出水流速度，目前在寬帶聲學(xué)多普勒測速中應(yīng)用最廣泛的頻移測量處理算法是復(fù)協(xié)方差算法[11?15]，其具有簡單高效且實時性好的優(yōu)點(diǎn)。多普勒頻移測量精度決定速度測量的精度，因此對測速結(jié)果的誤差分析可以簡化為測頻誤差分析，回波信號的處理方法影響著頻移測量的準(zhǔn)確性。利用壓縮感知理論處理回波信號并計算頻移流程示意圖如圖2所示。

圖2 壓縮感知理論處理回波信號并計算頻移流程示意圖Fig.2 Schematic diagram of processing echo signal and calculating frequency shift by using compressed sensing theory

3 仿真實驗及結(jié)果分析

3.1 回波信號設(shè)計

寬帶聲學(xué)多普勒測速設(shè)備發(fā)射信號一般采用偽隨機(jī)編碼序列調(diào)制后的余弦信號，本文首先在無噪聲干擾情況下進(jìn)行原理性驗證實驗，不考慮波束開角，基于復(fù)協(xié)方差法的點(diǎn)回波寬帶測頻模型設(shè)計寬帶回波信號，假設(shè)得到無噪聲干擾的理想原始回波信號為s(t)= cos(2π(f0+fd)t+?(t))，其中參數(shù)設(shè)置為：采樣頻率fs= 20 MHz，中心頻率f0= 624 kHz，編碼序列[0,1,0,0,1,1,1]，編碼信號碼元數(shù)L= 7，一次編碼的發(fā)射脈沖寬度為896 μs，填充系數(shù)Q=4。假設(shè)回波信號中心頻率f0對應(yīng)的多普勒頻移fd=1000 Hz。

3.2 壓縮感知重構(gòu)回波信號仿真實驗

為比較原始回波信號在不同稀疏基和觀測矩陣下使用OMP 算法的信號重構(gòu)效果，分別選擇高斯隨機(jī)矩陣和伯努利隨機(jī)矩陣為觀測矩陣，離散傅里葉變換基和離散余弦變換基作為變換基。信號重構(gòu)質(zhì)量的衡量標(biāo)準(zhǔn)為相關(guān)系數(shù)，表示為

其中，X為原始信號，為重構(gòu)信號。

參數(shù)設(shè)置壓縮比例為M/N(N為原始信號長度，M為觀測后信號長度，M/N在[0,1]內(nèi)取值)，迭代次數(shù)設(shè)置K= 100。考慮到實驗的隨機(jī)性，對每次仿真過程重復(fù)100 次取平均值，仿真實驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 兩種測量矩陣下原始回波信號與重構(gòu)回波信號相關(guān)系數(shù)隨壓縮比例變化關(guān)系圖Fig.3 Relationship diagram of correlation coefficient between original signal and reconstructed signal with compression ratio under two measurement matrices

從上述實驗結(jié)果可以看出，使用離散傅里葉變換基的重構(gòu)信號與原始信號相關(guān)性明顯優(yōu)于離散余弦變換基。為比較觀測矩陣分別為高斯隨機(jī)矩陣和伯努利隨機(jī)矩陣時的重構(gòu)效果，在不同變換基下分別使用兩種觀測矩陣對信號進(jìn)行觀測，由圖3可知，在離散傅里葉變換基下，使用兩種觀測矩陣重構(gòu)信號與原始信號的相關(guān)系數(shù)整體變化趨勢為隨著壓縮比例的增加而增加，即信號的相關(guān)性隨著壓縮比例增加而提高。當(dāng)壓縮比例大于0.2時，相關(guān)系數(shù)變化趨于穩(wěn)定并且兩種觀測矩陣下的相關(guān)系數(shù)差異不明顯。壓縮比例比較小時，使用高斯隨機(jī)矩陣的信號相關(guān)系數(shù)略大于伯努利隨機(jī)矩陣，隨著壓縮比例提高，使用兩種觀測矩陣下的信號相關(guān)系數(shù)相當(dāng)且趨于穩(wěn)定。因此，在下一步仿真實驗中，選擇離散傅里葉基作為變換基和高斯隨機(jī)矩陣作為觀測矩陣。

當(dāng)壓縮比例為0.4 時，選擇高斯隨機(jī)矩陣和離散傅里葉變換基，使用OMP 算法得到重構(gòu)信號與原始信號時域和頻域?qū)Ρ热鐖D4所示。此時，重構(gòu)回波信號與原始回波信號的相關(guān)系數(shù)大于0.98，重構(gòu)回波信號與原始信號具有很好的相關(guān)性。

圖4 原始回波信號與重構(gòu)回波信號時域和頻域?qū)Ρ葓DFig.4 Comparison of original signal and reconstructed signal in time domain and frequency domain

3.3 重構(gòu)回波信號的頻移計算

為驗證不同壓縮比例下重構(gòu)效果對頻移計算的影響，利用復(fù)協(xié)方差法計算重構(gòu)回波信號頻移。按照2.4 節(jié)圖2所示信號解調(diào)、低通濾波、實復(fù)變換、復(fù)自相關(guān)、頻移求解過程對重構(gòu)回波信號進(jìn)行處理，考慮實驗隨機(jī)性，每個壓縮比例下實驗重復(fù)100 次，對計算結(jié)果取均值。多普勒頻移偏差定義為?f=(其中，為估計多普勒頻移均值，fd為真實多普勒頻移值)；相對頻移偏差定義為?f/fd×100%；測量標(biāo)準(zhǔn)差定義為

對回波信號進(jìn)行處理所得相對測頻偏差和標(biāo)準(zhǔn)差與壓縮比例關(guān)系如圖5(a)所示，壓縮比例大于0.2 時，頻移偏差絕對值小于0.2 Hz，之后隨壓縮比例提高變化不大，此時對應(yīng)圖5(b)相對頻移偏差小于0.02%。圖5(c)顯示實驗標(biāo)準(zhǔn)差總體隨壓縮比例的上升而下降，且當(dāng)壓縮比例大于0.2 后變化不大。信號處理中殘差產(chǎn)生的原因是利用OMP 算法對信號進(jìn)行重構(gòu)并不是對信號的精確重構(gòu)，而是以貪婪迭代思想在一定誤差范圍內(nèi)尋找原始信號的最佳近似值來逼近原始信號。結(jié)合圖3相關(guān)系數(shù)與壓縮比例關(guān)系可看出，重構(gòu)誤差對頻移計算結(jié)果造成的影響處于較小范圍內(nèi)。

圖5 頻移偏差絕對值、相對頻移偏差和標(biāo)準(zhǔn)差與壓縮比例關(guān)系Fig.5 Relationship between absolute value of frequency shift deviation,relative frequency shift deviation and standard deviation and compression ratio

當(dāng)回波信號含有噪聲時，同樣應(yīng)用壓縮感知理論對回波信號進(jìn)行處理，并用OMP 算法對信號進(jìn)行重構(gòu)。并且為了對壓縮感知與帶通采樣兩種方法的回波信號處理效果進(jìn)行比較，在同一段回波信號內(nèi)加入與信號頻帶相同帶寬的噪聲后，分別用兩種回波信號處理方法對回波信號進(jìn)行處理?；谛盘柌蓸臃绞讲煌?，在信號采樣數(shù)據(jù)率相同的條件下，即使壓縮感知壓縮采樣后的數(shù)據(jù)量與帶通采樣對回波信號采樣后數(shù)據(jù)量一致，分別利用壓縮感知方法和帶通采樣方法對不同信噪比條件下的回波信號進(jìn)行處理。頻移計算結(jié)果相對頻移偏差與標(biāo)準(zhǔn)差如圖6所示。

由圖6看出，在0～30 dB不同信噪比條件下，基于壓縮感知方法與帶通采樣方法處理寬帶回波信號在頻移計算結(jié)果上有相似的規(guī)律，隨著信噪比提高，相對頻移偏差與標(biāo)準(zhǔn)差逐漸降低，在達(dá)到一定信噪比后趨于穩(wěn)定。整體來看，在低信噪比條件下，分別應(yīng)用兩種方法處理的回波信號相對頻移偏差低于1%，應(yīng)用壓縮感知方法的相對頻移偏差略小但差距不明顯。在高信噪比條件下，分別應(yīng)用兩種方法處理的回波信號相對頻移偏差低于0.1%，能夠達(dá)到較好測頻效果。綜合圖6誤差分析，在相同的仿真條件下，分別應(yīng)用壓縮感知與帶通采樣兩種方法對回波信號進(jìn)行處理的頻移計算結(jié)果無明顯差異，兩種方法下測頻效果相當(dāng)。

圖6 不同信噪比條件下相對頻移偏差與標(biāo)準(zhǔn)差Fig.6 Relative frequency shift deviation and standard deviation under different SNR conditions

綜合以上實驗分析，在不考慮波束開角、基于復(fù)協(xié)方差法的點(diǎn)回波寬帶測頻模型下，應(yīng)用壓縮感知方法處理無噪聲理想回波信號的相對頻移偏差小于0.1%，可達(dá)到較理想測頻效果。對具有噪聲干擾的0～30 dB 寬帶多普勒回波信號，對比帶通采樣方法和壓縮感知方法處理寬帶回波信號的頻移計算結(jié)果可知，應(yīng)用兩種方法處理回波信號的測頻效果相當(dāng)，滿足寬帶聲學(xué)多普勒測速的精度要求。

4 結(jié)論

本文將壓縮感知重構(gòu)信號理論應(yīng)用于寬帶多普勒測速的回波信號處理，對比分析了在不同變換基和測量矩陣下利用OMP 算法對回波信號的重構(gòu)效果。在點(diǎn)回波測頻模型下，基于復(fù)協(xié)方差法估計重構(gòu)回波信號的頻移。對比0～30 dB不同信噪比條件下，應(yīng)用壓縮感知方法和帶通采樣方法處理寬帶多普勒回波信號的性能。仿真實驗結(jié)果表明，應(yīng)用壓縮感知方法處理寬帶多普勒測速的回波信號可得到比較理想的測頻效果；在相同噪聲條件下，應(yīng)用壓縮感方法處理后的回波信號能夠獲得與帶通采樣方法相當(dāng)?shù)臏y頻效果，頻移計算結(jié)果符合寬帶聲學(xué)多普勒測速的精度要求。壓縮感知理論的應(yīng)用有助于解決現(xiàn)有回波信號處理所需采樣率高、采樣數(shù)據(jù)量大和占用存儲空間多的問題，可為寬帶多普勒測速回波信號的數(shù)字化處理提供一種新的思路。