基于反比傭金率約束的第一價格和第二價格拍賣模型

趙鳳榮，鄔 俊

(1.昆明理工大學 a.管理與經濟學院； b.國際學院，昆明 650093；2.內蒙古師范大學 計算機科學技術學院，呼和浩特 010022)

提要：通過假定反比傭金率的具體形式，采用貝葉斯-納什均衡分析，分別得出帶有保留價的第一價格和第二價格密封式拍賣中競拍者的唯一均衡報價策略，并深入分析了反比傭金率的系數(shù)與競拍者的均衡報價及拍賣參與者期望收益之間的關系。研究發(fā)現(xiàn)，競拍者和賣者的期望收益與反比傭金率的系數(shù)k呈反向變動，拍賣行的期望收益與k呈同向變動。通過計算第一價格和第二價格拍賣模型中賣者和拍賣行的期望收益，發(fā)現(xiàn)獲得的期望收益分別相等，說明著名的收益等價定理在基于反比傭金率約束的兩種拍賣機制中仍然成立。進一步分析賣者和拍賣行的期望收益，分別構造出最優(yōu)保留價和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)應該滿足的條件，與現(xiàn)有研究文獻的結論進行對比分析，說明該反比傭金率的設置及其結論的合理性。

自1961年Vickrey[1]對拍賣理論進行開創(chuàng)性研究以來，拍賣理論及應用受到廣大學者的關注。在市場經濟中，作為一種有效的價格均衡及資源配置機制，拍賣不僅在實踐中被廣泛使用，如藝術品、煙草、皮革、魚類、花卉和無線電頻譜使用權等拍賣活動[2]，其理論也得到了深入研究[3-4]。最具有代表性的成果有Riley和Samuelson[5]及Myerson[6]建立的收益等價定理，為人們研究標準拍賣機制提供了基準。2020年諾貝爾經濟學獎獲得者Wilson和Milgrom曾分別研究了共同價值拍賣和關聯(lián)價值拍賣，創(chuàng)造性地設計了非同質多物品的同步多輪拍賣機制，推動了拍賣理論向縱深發(fā)展[7]。在應用方面，關于石油、天然氣、采礦權和木材采伐權的拍賣實踐研究較多[8-9]。隨著電子商務的興起，網上拍賣風靡全球，主要有國外的eBay、Amazon、Yahoo、Sotheby和國內的易趣、阿里、京東等拍賣網站。因此，大量文獻對網上拍賣機制進行了深入探究，豐富了拍賣理論研究的內涵，增強了拍賣理論研究的實用價值。

傭金作為一種常見的用于調整競拍者、賣家和拍賣行之間收益分配的拍賣參數(shù)，一些學者對其進行了相關的理論研究。根據(jù)經濟模型中變量的分類，可以將研究傭金的拍賣文獻分為外生傭金率文獻和內生傭金率文獻兩類。

假定傭金率是外生給定的文獻主要有，Greenleaf等[10]將流拍罰金引入帶有傭金的拍賣模型，發(fā)現(xiàn)拍賣行采取流拍罰金與較低傭金的組合比僅使用傭金具有帕累托占優(yōu)，并且該策略鼓勵賣者設置較低的保留價，首次將流拍罰金引入到拍賣機制中，但未涉及傭金率的設置問題。Ginsburgh等[11]研究了第二價格密封式拍賣中拍賣行分別對買家和賣家收取傭金時均衡報價和相關收益及福利的變化情況，發(fā)現(xiàn)較高的傭金率使買賣雙方的境況都略有惡化，福利變化方向相同。雖然該文將傭金與福利關聯(lián)起來，但僅分析了一種拍賣機制下的傭金收取情況。王彥等[12]首先研究了在獨立私人價值模型和關聯(lián)價值模型的框架下，第一價格和第二價格拍賣中獲勝的競拍者按成交價的一定比例向拍賣行支付傭金的情況，發(fā)現(xiàn)競拍者的報價與傭金率成反向變動，但其期望收益與傭金率無關，兩種機制中賣者的收益相等，收益等價定理仍然成立。畢志偉等[13]在前期研究[12]的基礎上進一步研究了關聯(lián)價值模型下第一價格和第二價格拍賣機制中傭金率對均衡報價和買賣雙方收益的影響。雖然這兩篇論文將傭金率引入到第一價格和第二價格拍賣機制中，但僅分析了傭金率對拍賣結果的影響，沒有將保留價與之結合起來進行分析，也未探討如何制定一個最佳的傭金率。Wang[14]進一步研究了第一價格和第二價格密封式拍賣中當傭金率是交易價格的線性函數(shù)時，風險中性的競標者的均衡報價策略，并發(fā)現(xiàn)第二種拍賣機制的均衡報價策略是主導策略。但在研究第一價格密封式拍賣機制時，只分析了競拍者的私人估價服從均勻分布這一特殊情況，因此結論具有一定的局限性。基于此，楊衛(wèi)星等[15-]將Wang對第一價格拍賣中均衡策略的研究推廣到一般分布的情形，并研究了賣者、拍賣行和競拍者之間的期望收益問題，在一定程度上豐富了Wang的研究，但創(chuàng)新性略顯不足。王明喜等[16]同時分析了第一價格和第二價格拍賣中傭金率和保留價與均衡報價和拍賣參與者期望收益之間的關系，并推導出最優(yōu)保留價的表達式。這篇論文將研究擴展到第二價格密封式拍賣模型，但沒有深入分析最優(yōu)傭金率的設置。楊衛(wèi)星等[17-19]進一步將傭金率具體化，分別研究了傭金率與成交價成反比和線性關系時第一價格和第二價格密封式拍賣模型的報價策略及收益問題，可是均未涉及最優(yōu)保留價和最優(yōu)反比傭金率的設置問題。

假定傭金率是內生決定的文獻主要有，Rochet等[20]根據(jù)競拍者人數(shù)是外生還是內生將拍賣市場分為單邊市場和雙邊市場，分別探討了兩種市場機制中賣方接受的價格與稅收(或傭金)之間的關系。Loertscher等[21]從理論上證明了當傭金率是內生變量時拍賣行在實際拍賣中使用賣者定價且收取變化很小的線性傭金的原因，并將Myerson的最優(yōu)機制進行了一定的推廣。劉樹林等[22]對傳統(tǒng)的第一價格拍賣模型進行了擴展，分析了帶有傭金率和保留價時拍賣參與者之間的博弈行為，首次提出最優(yōu)傭金率及其滿足的條件，是國內研究傭金率和保留價的經典之作，為后續(xù)研究提供了新思路。冉茂盛等[23-24]運用博弈理論分別研究了網上一口價拍賣模型中最優(yōu)一口價、最優(yōu)傭金率和最優(yōu)定額傭金的設置問題。其將傭金率應用于使用臨時一口價的網上拍賣模型，豐富了傭金率的理論和應用場景。江朝力等[25]在廣義第一價格拍賣機制下研究了互聯(lián)網廣告實時競價中最優(yōu)傭金率的設置問題，分析了保留價有無時需求方期望支出與傭金率的關系，進一步擴展了內生傭金率的適用范圍，但僅分析了一種拍賣機制。雖然已有學者[17-18]研究了反比傭金率的存在性及其與拍賣參與者收益之間的關系問題，但對反比傭金率的設置還存在一定的不足，楊衛(wèi)星[17-18]分別在對賣者和第二價格拍賣中競拍者期望收益的推導中遺漏了一些特殊情況，并且均沒有分析如何設置最優(yōu)保留價和最優(yōu)反比傭金率。另外，據(jù)2015年修訂的《中華人民共和國拍賣法》第四章拍賣程序第四節(jié)傭金中的第五十六條和五十七條規(guī)定“收取傭金的比例按照同拍賣成交價成反比的原則確定”[26]，因此研究拍賣機制中反比傭金率的設置具有一定的現(xiàn)實意義和實用價值。

綜上，本文假設拍賣行向獲勝的競拍者收取的反比傭金率為c=k/b，采用貝葉斯-納什均衡分析方法，通過分析第一價格和第二價格拍賣機制中競拍者的期望收益，從而得到其均衡報價策略，并深入探討了反比傭金率的系數(shù)對競拍者的均衡報價策略以及拍賣參與者期望收益的影響，證明了對于競拍者、賣者和拍賣行來說，兩種機制是等價的，最后討論了最優(yōu)保留價和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)的設置問題。完善了現(xiàn)有文獻所提出的拍賣模型中反比傭金率不能為零的缺陷，進一步豐富了收益等價定理并構造出最優(yōu)保留價和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)應該滿足的條件等內容，同時將所得結論與現(xiàn)有研究文獻進行對比，證明了帶有反比傭金率的拍賣模型的可行性，為拍賣行如何設置傭金率提供了有力的參考。

一、模型及符號

(一)模型假設

賣者和拍賣行決定選擇第一價格或第二價格密封式拍賣模式進行拍賣，每個競拍者根據(jù)自己對拍品的私人價值進行報價，其目標均是實現(xiàn)自身期望收益的最大化。將反比傭金率設置成c=k/b，其中k≥0，b為競拍者的報價，且b>0。拍賣行采取單邊傭金制，只有獲勝的競拍者按成交價的反比傭金率c向拍賣行支付傭金。賣者將保留價設置成r，且向競拍者公開，因此拍品的最低成交價應為r，即競拍者的估價應該滿足v≥(1+k/b)r，那么競拍者參與或不參與拍賣的無差異最低估價v*滿足b(v*)=r，又因為v*=(1+k/b(v*))r，所以推出v*=r+k。因為估價低于v*的競拍者不能獲得正的收益，所以保留價r的設置將其排除在外，這里規(guī)定他們的報價為零，即當v

(二)符號說明

為了更加清晰地討論，表1系統(tǒng)總結了文中兩種拍賣模型使用的相關符號及其所代表的含義。此外，筆者使用下標F和S來區(qū)分第一價格和第二價格拍賣中的符號。在整篇文章中，遞減、遞增和單調性都是弱意義上的[27]。

表1 符號說明

二、均衡報價策略

(一)第一價格密封式拍賣

在帶有反比傭金率和保留價的第一價格密封式拍賣中，競拍者基于期望收益最大化決定他們的報價，其均衡報價策略由定理1給出。

定理1當反比傭金率為c=k/b、保留價為r時，第一價格密封式拍賣中估價為v的競拍者的對稱均衡報價策略可以表示為

(1)

其中，v*=r+k，當v≥v*時，bF(v)是v的增函數(shù)，且有bF(v)≤v。

證明：根據(jù)第一價格密封式拍賣機制，當某個競拍者的私人估價為v，而報價為B，其余競拍者的報價策略為bF(v)時，該競拍者贏得拍品后獲得的期望收益可以表示為

(2)

在對稱的貝葉斯-納什均衡中，當B=bF(v)時，競拍者獲得最大的期望收益，從而競拍者的最優(yōu)報價策略滿足以下一階條件：

由于b(v*)=r，對上式簡化后求解可得到式(1)。

上面證明了競拍者選擇均衡報價策略的必要條件，充分性的證明方法與王明喜等研究[16]類似，這里不再論證。因此，在第一價格密封式拍賣機制中，式(1)是競拍者的貝葉斯-納什均衡報價策略，也是其最優(yōu)報價。再對式(1)求v的一階偏導數(shù)可知，bF(v)是v的增函數(shù)。

推論1在帶有反比傭金率c=k/b約束的第一價格拍賣機制中，競拍者的對稱均衡報價與保留價r呈同向變動，而與反比傭金率系數(shù)k呈反向變動。

證明：對式(1)分別求r和k的一階偏導數(shù)，可知前者大于零，后者小于零，因此bF(v)關于r遞增而關于k遞減。

推論2在帶有反比傭金率c=k/b約束的第一價格拍賣機制中，競拍者的期望收益隨保留價r和反比傭金率系數(shù)k的增大而減小，隨r和k的減小而增大，即均呈反向變動。

證明：將式(1)代入式(2)可得競拍者的期望收益為

其中，v≥v*且v*=r+k。因為在分布函數(shù)F給定的情況下，當r或k變大時，使得v*增大，從而使對應的積分區(qū)間變小，進而導致πF的值減小，因此競拍者的期望收益與r和k均呈反向變動。

推論1和2的結論分別與劉樹林等[22]論文中定理1的(ii)和(iii)及王明喜等[16]論文中推論1和2的結論一致，可見，在第一價格密封拍賣中，無論是傭金率還是某種形式的反比傭金率都會通過影響競拍者的報價，從而影響競拍者的期望收益。因此，競拍者在參加帶有反比傭金率和保留價的第一價格密封式拍賣時，其報價不僅低于他對拍品的私人價值，并且要比沒有反比傭金率拍賣時的報價還低，這樣才能盡可能減少受到的損失。

(二)第二價格密封式拍賣

在沒有傭金率和保留價的標準第二價格密封式拍賣中，競拍者的報價等于其私人估價是弱占優(yōu)策略[29]。王彥等[12]研究得出，在第二價格密封式拍賣中，當拍賣行設置了傭金率k時，競拍者的最佳報價為v/(1+k)，其中v為私人估價。王明喜等[16]給出了在傭金率c和保留價r同時存在的第二價格密封式拍賣中競拍者弱占優(yōu)均衡報價策略的表達式，該表達式與王彥等[12]論文中的式(11)相同，只不過此時估價v≥v*，其中v*=(1+c)r。本文通過設定反比傭金率的具體表達式，探討其結果與現(xiàn)有文獻的異同。

定理2當反比傭金率為c=k/b、保留價為r時，第二價格密封式拍賣中競拍者的弱占優(yōu)對稱均衡報價策略為

bS(v)=v-k，v≥v*。

(3)

證明：由于對稱性，設某個私人估價為v的競拍者對應的報價為bS(t)，其他競拍者采用均衡報價策略，y表示其余n-1個競拍者中的最高估價，則他的期望收益為

(4)

顯然，當t=v時期望收益最大，根據(jù)包絡定理和一階條件有

解得 bS(v)=v-k 證畢。

經對比，當v*=v，k=0時，退化后的式(3)與McAfee等[28]論文中的結果一致。該結論與王明喜等[16]文中注記2的描述一致，說明本文研究結論的可靠性。

推論3在帶有反比傭金率c=k/b約束的第二價格拍賣機制中，競拍者的對稱均衡報價與保留價r和參與競拍的人數(shù)均無關，而與反比傭金率系數(shù)k呈反向變動。

證明：由式(3)可知，均衡報價僅由v和k決定，與r和n無關，且k的一階偏導數(shù)小于零，因此，bS(v)關于k遞減，而與保留價和競拍者的人數(shù)均無關。

從定理2可知，與不帶傭金率和保留價的傳統(tǒng)拍賣模型相比，帶有反比傭金率c=k/b的拍賣模型中競拍者的均衡報價降低。這一結論與直覺相符，因為獲勝的競拍者需要向拍賣行支付傭金，所以競拍者報價更加謹慎。

推論4在帶有反比傭金率c=k/b約束的第二價格拍賣機制中，競拍者的期望收益隨保留價r和反比傭金率系數(shù)k的增大而減小，隨r和k的減小而增大，即均呈反向變動。

證明：將式(3)代入式(4)并化簡可得，競拍者的期望收益為

由于v≥v*，v*=r+k且分布函數(shù)F已知，所以當r或k變大時，使得v*增大，從而使積分區(qū)間變小，導致πS的值減小，因此競拍者的期望收益與r和k均呈反向變動。該結論與推論2一致，說明無論第一價格還是第二價格拍賣，當保留價為r、反比傭金率為c=k/b時，競拍者的期望收益與r和k均呈反向變動。但與王明喜等[16]論文中推論4的結論不同，因為其只考慮了第二高報價大于等于最低估價v*這一種情況，因而所得結論具有一定的局限性。本文全面考慮了第二價格拍賣可能出現(xiàn)各種情況時競拍者的期望收益。綜上，競拍者在參加帶有反比傭金率和保留價的第二價格密封式拍賣時，報價要低于他對拍品的私人價值，否則會導致期望收益下降甚至為負。

三、期望收益

根據(jù)前面推出的競拍者均衡報價策略，在帶有反比傭金率約束的第一價格和第二價格拍賣機制中，當保留價存在時分別計算賣者和拍賣行獲得的期望收益，發(fā)現(xiàn)收益等價定理仍然成立。

(一)賣者的期望收益

證明：在第一價格密封式拍賣中，商品流拍后的收益和拍賣成功時的收益共同構成了賣者的期望收益，具體為

(5)

將式(1)代入式(6)，對括號中的被積函數(shù)應用分部積分并化簡得

(6)

在第二價格密封式拍賣中，商品流拍后的收益、僅有一個競拍者的估價高于v*時的收益和至少有兩個競拍者的估價高于v*時的收益三部分共同構成了賣者的期望收益，具體表示為

(7)

此結論與楊衛(wèi)星[17]論文中的結論不同，雖然其在計算第一價格和第二價格密封式拍賣中賣者的期望收益時，均忽略了商品流拍的情況，但不影響問題的本質；二者結論不同的關鍵原因是楊衛(wèi)星研究中[17]在計算第二價格密封式拍賣中賣者的期望收益時，沒有考慮僅有一個競拍者的估價高于v*的情況，即忽略了式(7)等號右邊的第二項。

推論5在帶有反比傭金率c=k/b約束的第一價格和第二價格拍賣機制中，當賣者設置的保留價為r，拍品成功售出時賣者的期望收益與反比傭金率系數(shù)k呈反向變動。

綜上，對于賣者而言，當他一旦確定了商品的保留價，就不必糾結于采用第一價格還是第二價格密封式拍賣，因為基于反比傭金率約束的兩種拍賣機制給他帶來的期望收益相等，關鍵是設置一個合理的保留價。

(二)拍賣行的期望收益

證明：因為只有當商品成功售出時拍賣行才能獲得收益，所以在第一價格密封式拍賣中，由式(5)可知，拍賣行的期望收益為等號右側第二項乘以反比傭金率k/b，即為

(8)

同理，在第二價格密封式拍賣中，拍賣行的期望收益為式(7)等號右側后兩項分別乘以對應的反比傭金率k/r和k/b，即為

(9)

如果僅分析存在保留價的情況，而令反比傭金率為0時，退化后的定理3和定理4就與Riley等[5]論文中命題1的結論一致。

推論6在帶有反比傭金率c=k/b約束的第一價格和第二價格拍賣機制中，當賣家設置的保留價為r時，拍賣行的期望收益與反比傭金率系數(shù)k呈同向變動。

證明：對式(8)或式(9)求k的一階偏導數(shù)，其結果大于零，所以推論6成立。該結論與直覺相符，因為c=k/b，所以c隨k的增加而變大，拍賣行的收益因此而增加，反之亦然。

進一步研究發(fā)現(xiàn)：

因此，帶有反比傭金率的第一價格密封式拍賣中賣者和拍賣行的收益之和等于不帶傭金時賣者的期望收益。同理，帶有反比傭金率的第二價格密封式拍賣中賣者和拍賣行的收益之和等于不帶傭金時賣者的期望收益。由此可以得出推論7。

推論7在第一價格和第二價格密封式拍賣中，與不帶傭金時的收益相比，反比傭金率的設置減少了賣者的期望收益，該部分全部轉化為拍賣行的期望收益。

綜上所述，定理3和定理4說明，在帶有反比傭金率約束且設置了保留價的第一價格和第二價格拍賣規(guī)則中，賣者和拍賣行無論選擇哪種拍賣機制，獲得的期望收益均相等，即著名的收益等價定理仍然成立。因此，對于賣者和拍賣行來說，不必為選擇哪種拍賣方式而困擾，關鍵是設置恰當?shù)谋Ａ魞r和反比傭金率系數(shù)，將商品以合適的價格拍出，盡量避免流拍，從而實現(xiàn)二者的期望收益最大化。

四、最優(yōu)保留價和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)的確定

(一)最優(yōu)保留價

賣者如果設置一個較高的保留價可能會使競拍者產生反感，甚至直接將部分有意向的競拍者拒之門外；如果設置一個較低的保留價，則對競拍者的約束性較差，失去了保留價原有的作用，還會給賣者帶來一定的損失。因此對于賣者而言，制定一個恰當?shù)谋Ａ魞r顯得尤為重要。

定理5基于反比傭金率c=k/b約束的第一價格和第二價格密封式拍賣中，賣者設置的最優(yōu)保留價r應滿足

(10)

證明：根據(jù)賣者的期望收益表達式(6)，對其求r的一階偏導數(shù)，從而得到最優(yōu)保留價應滿足以下一階條件：

(11)

結合v*=r+k，可以解出式(10)。

上面是最優(yōu)保留價r存在的必要條件，下面證明r存在的充分條件。對式(11)進一步求r的偏導數(shù)，得到

因為當r滿足式(10)時該式小于零，所以賣者的期望收益取得極大值，從而說明此時的r是賣者的最優(yōu)保留價。

推論8最優(yōu)保留價r隨反比傭金率系數(shù)k的增大而減小，隨k的減小而增大，即呈反向變動。

證明： 對式(10)用隱函數(shù)求導方法可得

因此，r與k的變動方向相反。

推論9最優(yōu)保留價r隨商品流拍價值v0的增大而增大，隨v0的減小而減小，即呈同向變動。

證明：與推論8的證明類似，對式(10)用隱函數(shù)求導方法可得

因此，r與v0的變動方向相同。推論9的結論與實際相符，對于賣者來說，當拍品的私人價值較高時，他自然會制定一個較高的保留價，反之則制定較低的保留價。

(二)最優(yōu)反比傭金率系數(shù)

通常傭金問題由拍賣行決定，如果拍賣行設置的反比傭金率過高，可能會影響競拍者和賣者的積極性，甚至導致競拍者惡意降低報價；如果設置的反比傭金率過低，則對競拍者的約束性較差，降低拍賣行的期望收益。因此，制定一個恰當?shù)姆幢葌蚪鹇曙@得尤為重要。

假設賣者的保留價r是外生給定的，根據(jù)拍賣行的期望收益可以推出最優(yōu)反比傭金率系數(shù)k應滿足的條件，如定理6所示。

定理6基于反比傭金率c=k/b約束的第一價格和第二價格密封式拍賣中，拍賣行設置的最優(yōu)反比傭金率系數(shù)k應同時滿足

(12)

(13)

證明：根據(jù)式(8)或式(9)，對其求k的一階偏導數(shù)，從而得到最優(yōu)反比傭金率系數(shù)k應滿足以下一階條件：

于是，可以解出式(12)。

上面是k存在的必要條件，下面證明k存在的充分條件。對上式進一步求k的偏導數(shù)，化簡后得

顯然，當式(13)成立時上式小于零。

因此，當k同時滿足定理6中的兩個條件時，拍賣行的期望收益取得極大值，從而說明此時的k是拍賣行的最優(yōu)反比傭金率系數(shù)。

五、算例驗證

為了說明本文設置的反比傭金率的可實施性和所得結論的正確性，下面通過一個數(shù)值算例來驗證。假設拍賣市場上只有一個賣者、一個拍賣行和兩個競拍者競拍一件不可分割的拍品，即n=2，商品流拍后的殘值v0=0.15，競拍者對拍品的私人估價v～U[0，1]，根據(jù)概率論知識可得F(v)=v，對應的概率密度函數(shù)為f(v)=1。為了簡化所研究的問題，不考慮拍品的生產成本。當給定r=0.3時，根據(jù)式(12)可以求出k=0.386，該值滿足式(13)，可見0.386是最優(yōu)的反比傭金率系數(shù)，因此定理6是可行的。此時帶有反比傭金率約束的第一價格和第二價格拍賣機制中均衡報價和期望收益的結果如圖1所示。

圖1 兩種機制下均衡報價和期望收益的比較

由圖1可知，當根據(jù)給定的保留價確定出最優(yōu)反比傭金率系數(shù)后，除競拍者的最高估價等于最低估價v*這種特殊情況外，第一價格密封式拍賣模式中獲勝的競拍者的均衡報價明顯低于第二價格密封式拍賣時的均衡報價，即bF(v)

六、結論與展望

結合我國拍賣法律對傭金率的規(guī)定，改進現(xiàn)有文獻中反比傭金率設置的不足，完善其部分推導缺陷，并給出了最優(yōu)保留價和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)應滿足的條件，使帶有反比傭金率的拍賣模型更加符合實際。通過對競拍者、賣者和拍賣行之間的博弈行為進行分析，得到如下結論：(1)競拍者在兩種拍賣模式中均存在貝葉斯-納什均衡報價策略，且均衡報價都低于獲勝者的真實估價，說明由于反比傭金率和保留價的存在，競拍者的報價更加謹慎。尤其是參加第一種拍賣時，競拍者的報價要更低，否則會導致收益下降甚至為負。(2)競拍者的期望收益與保留價r和反比傭金率的系數(shù)k均呈反向變動，表明r和k對競拍者有消極作用，因此賣者和拍賣行應該設置合理的保留價和反比傭金率系數(shù)，從而激勵競拍者參與拍賣。(3)經比較分析發(fā)現(xiàn)，在具有反比傭金率約束的第一價格和第二價格拍賣模式中賣者和拍賣行獲得的期望收益分別相等，說明在同時考慮反比傭金率和保留價時著名的收益等價定理仍然成立。因此，對于賣者和拍賣行來說，不必糾結于采用何種拍賣形式，因為兩種拍賣形式給他們帶來的期望收益是相等的。(4)通過分別對賣者和拍賣行的期望收益求r和k的偏導數(shù)，得到最優(yōu)保留價和最優(yōu)反比傭金率系數(shù)應該滿足的條件；進一步研究還發(fā)現(xiàn)最優(yōu)保留價與反比傭金率的系數(shù)呈反向變動，而與商品的流拍價值呈同向變動。因此，賣者一方面應合理估計拍品的私人價值，另一方面應與拍賣行共同協(xié)商確定出最優(yōu)的保留價和反比傭金率，避免商品流拍，從而實現(xiàn)雙贏。

本文通過具體算例驗證了上述結論的正確性，但研究還存在一定的局限性，以下問題需要深入探討：進一步豐富反比傭金率的表示形式、優(yōu)化結論使其在其他拍賣機制中具有可移植性和健壯性以及拓展最優(yōu)保留價和最優(yōu)傭金率的研究空間。