基于二次奇異值分解法的張拉整體結(jié)構(gòu)找形分析

馮曉東，楊偉家，李 鋒，趙穎超，冷新中

(1.紹興文理學院 土木工程學院，浙江 紹興 312000；2.紹興市城投建筑工業(yè)化制造有限公司，浙江 紹興 312000； 3.浙江交工集團股份有限公司，浙江 杭州 310000；4.浙江省建工集團有限責任公司，浙江 杭州 310000)

張拉整體結(jié)構(gòu)是一種由連續(xù)的拉索與離散的壓桿組合而成的空間索桿張力結(jié)構(gòu)，構(gòu)件內(nèi)力以軸力的形式存在，可高效利用結(jié)構(gòu)材料的拉壓性能.也正因這種簡單的受力形式和高效的材料利用率，使該結(jié)構(gòu)的設(shè)計思想被應用于索穹頂結(jié)構(gòu)[1].此外，張拉整體結(jié)構(gòu)具有可折疊性，在產(chǎn)生大變形位移時只產(chǎn)生微小應變，因此在機器人[2]、航天航空[3]及生物學領(lǐng)域[4]都得以廣泛應用.

初始預應力為張拉整體結(jié)構(gòu)提供剛度，使其處于一種自平衡狀態(tài)，這一過程通常稱之為找形.在現(xiàn)有找形方法中往往以節(jié)點坐標、拓撲連接或初始預應力為變量，并根據(jù)變量的不同劃分為拓撲找形和預應力找形.找形策略上則大多采用優(yōu)化算法、動力松弛法、數(shù)值迭代法等求解手段獲取張拉整體結(jié)構(gòu)的初始形態(tài).在拓撲找形研究中，Gan[5]利用遺傳算法尋找非對稱的張拉整體結(jié)構(gòu).謝勝達[6]基于小生境遺傳算法對環(huán)形張拉整體結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化.Yin[7]采用直接加桿和遞歸加桿方式來構(gòu)造簡單多邊形張拉整體結(jié)構(gòu).在預應力找形研究中，早期由陳志華[8]提出張拉整體結(jié)構(gòu)的力密度法，可有效解決帶有索元的柔性空間結(jié)構(gòu)初始形態(tài)確定問題.Estrada[9]基于力密度法以最小彈性勢能為目標函數(shù)，采用矩陣相互迭代的方式求解結(jié)構(gòu)的初始力密度.Tran[10-12]結(jié)合力密度矩陣的特征值分解和平衡矩陣的奇異值分解，提出了一系列求解張拉整體結(jié)構(gòu)初始形態(tài)的方法.尚仁杰[13]則通過幾何作圖的方式求解張拉整體結(jié)構(gòu)的初始預應力大小.Wang[14]提出一種找形計算框架，無需考慮自應力模態(tài)就能處理滿足秩虧條件的力密度矩陣.K. Koohestani[15]提出一種基于LU分解的數(shù)值計算找形方法.

綜上所述，張拉整體結(jié)構(gòu)在找形方面的研究已較為成熟，構(gòu)形簡單的張拉整體結(jié)構(gòu)可快速求解其初始形態(tài)，但在求解形態(tài)復雜的張拉整體結(jié)構(gòu)的問題上，現(xiàn)有的方法在求解能力上略顯不足.因此，本文將基于力密度法和矩陣分析理論，根據(jù)結(jié)構(gòu)對稱性，對構(gòu)件分組歸類，通過二次奇異值分解的方式求解張拉整體結(jié)構(gòu)的初始力密度，為復雜張拉整體結(jié)構(gòu)的初始形態(tài)確定提供一條新的途徑.同時本文還提出一種新型張拉整體結(jié)構(gòu)構(gòu)形，采用不同分組計算該結(jié)構(gòu)的初始狀態(tài)，并制作實際模型以驗證該結(jié)構(gòu)的合理性，豐富了現(xiàn)有張拉整體結(jié)構(gòu)形態(tài)的分析理論與應用實踐.

1 找形算法

1.1 基本假定

本文中張拉整體結(jié)構(gòu)找形計算遵循以下基本假定：

(1)各單元連接方式為鉸接；

(2)不考慮自重及外部荷載；

(3)不考慮壓桿屈曲以及材料非線性；

(4)不考慮結(jié)構(gòu)的局部或整體失穩(wěn).

1.2 力密度法

對于任意張拉整體結(jié)構(gòu)已知有n個自由節(jié)點、nf個固定節(jié)點、b個單元.根據(jù)拓撲連接關(guān)系可知其關(guān)聯(lián)矩陣為Cb×n，假定連接單元k兩端節(jié)點為i和j，則關(guān)聯(lián)矩陣可如下表述：

(1)

定義Q=diag(q)，其中,q為構(gòu)件力密度，根據(jù)單元的受力情況可建立平衡方程：

(2)

式中，Q為力密度矩陣；X,Y,Z(Xf,Yf,Zf)為結(jié)構(gòu)中自有節(jié)點(固定節(jié)點)在x,y,z方向上的節(jié)點坐標矩陣；Cf為固定節(jié)點的關(guān)聯(lián)矩陣.

由于張拉整體結(jié)構(gòu)為自平衡結(jié)構(gòu)，節(jié)點均為自由節(jié)點，因此式(2)可轉(zhuǎn)化為

CTQCX=0CTQCY=0CTQCZ=0

(3)

再將上式簡化為

(4)

式中，A為平衡矩陣.

結(jié)構(gòu)的自應力模態(tài)數(shù)s和獨立位移模態(tài)數(shù)m可根據(jù)平衡矩陣A求得：

s=b-rA

(5)

m=dn-rA

(6)

1.3 矩陣分析理論

對平衡矩陣A進行奇異值分解得

A=UVWT

(7)

U=[u1u2Ludn]

(8)

W=[w1w2Lwb]

(9)

其中U,W為正交矩陣，V為由矩陣A的非負奇異值組成的對角矩陣.且此時的自應力模態(tài)可分為兩種情況[16]：

(1)自應力模態(tài)數(shù)為1(-b-rA)

在這種情況下，正交矩陣W可表示為

(10)

其中n1為力密度系數(shù)向量，滿足線性齊次方程(4).

(2)自應力模態(tài)數(shù)大于1(=b-rA)

在多自應力模態(tài)狀態(tài)下，正交矩陣可表示為

(11)

此時，可行自應力可由向量基的線性組合表示為：

q=α1n1+α2n2+…+αsns

(12)

在平衡矩陣A的計算過程中并不考慮結(jié)構(gòu)材料特性，經(jīng)奇異值分解得到的多組向量基可通過不同的線性組合，將存在無數(shù)種可行自應力結(jié)果，但并非必定滿足結(jié)構(gòu)拉壓構(gòu)件關(guān)系.為解決此問題，則需事先考慮結(jié)構(gòu)的拉壓關(guān)系，同時結(jié)合幾何對稱性，將構(gòu)件劃分為數(shù)個組別.

定義h為分組數(shù)量，則力密度矩陣可表示為

(13)

上式可簡化為

(14)

(15)

將式(12)代入式(14)得

(16)

(17)

(18)

因此，式(16)可以寫成

(19)

此時，線性齊次方程的所有解則取決于A的零空間矩陣維數(shù)[17].

(20)

(21)

(22)

(23)

在該情況下，式(19)無解，則說明幾何對稱性組別劃分不合理，即該張拉整體結(jié)構(gòu)在這種幾何對稱性下并不處于自平衡狀態(tài).為了得到可行解，需要增加組別劃分數(shù)量以此增大秩虧值直到以下兩種情況的出現(xiàn).

定義χ=[χ1,χ2,…,χh]，表示h組可行自應力模態(tài)向量基系數(shù).分組后的自應力計算如下式表示：

(24)

(25)

2 穩(wěn)定性判斷

(26)

L=diag(I)

(27)

E=CTdiag(q)C

(28)

式中，I為單元長度的矢量表達；e為單元楊氏模量的矢量表達；a為單元橫截面積的矢量表達；I3為三維單位矩陣；E為力密度矩陣；?為張量積.

若結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，則KT正定.所以對于任意一個無窮小位移D，矩陣KT的二次型是正定的.

DTKTD>0

(29)

(30)

由于KE和KE處于非滿秩狀態(tài)，且零空間包含剛體位移，因此需忽略前6個剛體位移情況，通過最小特征值λ1反映結(jié)構(gòu)的剛度強弱情況.

3 算例

本文提出一種基于立方多面體結(jié)構(gòu)的新型張拉整體結(jié)構(gòu).該結(jié)構(gòu)共有12個節(jié)點，每個節(jié)點均連接6根構(gòu)件，共有12根壓桿(紅色)和24根拉索(藍色)，結(jié)構(gòu)拓撲連接方式如圖1，具體節(jié)點坐標如表1.通過式(4)、(5)可得到該結(jié)構(gòu)的自應力模態(tài)數(shù)為6，屬于多自應力模態(tài)結(jié)構(gòu)，因此其初始力密度存在多種可能.采用本文所提出的找形算法求解該張拉整體結(jié)構(gòu)的初始力密度，需事先根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何對稱性對構(gòu)件進行分組.分組情況的不同可能會導致初始力密度的找形結(jié)果不同.

圖1 新型張拉整體結(jié)構(gòu)模型Fig.1 The new tensegrity structure model

表1 節(jié)點的坐標Tab.1 The nodal coordinates of the structure

3.1 幾何對稱找形分析

在上述初始力密度作用下，可根據(jù)式(26)考慮該結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，其中切向剛度矩陣特征值如表3所示，從表中可以看出最小特征值為正值，則說明結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定狀態(tài).

表2 張拉整體結(jié)構(gòu)初始力密度(h=5)Tab.2 Initial force density of the tensegrity structure(h=5)

表3 12桿張拉整體結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣特征值(h=5)Tab.3 Eigenvalues of the tangent stiffness matrix of the 12-strut tensegrity structure(h=5)

圖2 空間12桿張拉整體結(jié)構(gòu)單元分組情況(h=5)Fig.2 Elemental grouping of the 12-strut spatial tensegrity structure(h=5)

對比兩種分組結(jié)果，由于分組的不同，最終得到的力密度值也會隨之改變，從表5中可以看出h=5情況下結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣最小特征值仍為正值，因此可以保證在該力密度作用下結(jié)構(gòu)仍處于穩(wěn)定狀態(tài)，同時對比表3，在均滿足結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的條件下，12組分組(h=12)情況下結(jié)構(gòu)所形成的剛度要略優(yōu)于5組分組(h=5)的結(jié)構(gòu).

通過內(nèi)點法優(yōu)化(圖6)，可以看出力密度標準差處于波動下降，在經(jīng)過60次迭代后趨于穩(wěn)定，同時一階最優(yōu)值在前15次迭代時已趨于0.最終得到的初始力密度值計算設(shè)計誤差為k=8.892 0e-14，具體力密度數(shù)值如表6所示.

表5 空間12桿張拉整體結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣特征值(h=12)Tab.5 Eigenvalues of the tangent stiffness matrix of the 12-struts tensegrity structure in space(h=12)

圖4 空間12桿張拉整體結(jié)構(gòu)分組情況(h=12)Fig.4 Elemental grouping of the 12-strut spatial tensegrity structure(h=12)

圖5 空間12桿張拉整體結(jié)構(gòu)(h=36)Fig.5 The 12-strut spatial tensegrity structure(h=36)

圖6 目標函數(shù)的迭代過程(h=36)Fig.6 Convergence process of the target function(h=36)

表6 張拉整體結(jié)構(gòu)初始力密度(h=36)Tab.6 Initial force density of the tensegrity structure(h=36)

同時需對結(jié)構(gòu)進行穩(wěn)定性計算，求解得到切線剛度最小特征值為20.4484大于0，則說明結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，具體數(shù)據(jù)如表7.單根構(gòu)件各為一組的情況同樣符合非對稱結(jié)構(gòu)的分組求解方式.因此，本文算法也可適用于非對稱結(jié)構(gòu)的初始力密度求解.

表7 空間12桿張拉整體結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣特征值(h=36)

4 張拉整體結(jié)構(gòu)模型制作

由于張拉整體結(jié)構(gòu)仍處于理論計算階段，因此仍需制作模型對本文所提出的新型張拉整體結(jié)構(gòu)加以驗證.在模型制作過程中采用3 mm直徑圓柱木棒為壓桿，1 mm直徑彈力繩為拉索.在模型制作完成后，嘗試改變彈力繩拉伸長度，用于模擬拉索上不同初始力密度的施加狀態(tài)，從而進一步說明在不同初始力密度狀態(tài)下，該張拉整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定狀態(tài).

4.1 模型制作

(31)

(32)

聯(lián)立兩個方程可得：

(33)

由于理論模型中最終索單元長度均一致，所以li=lj，且設(shè)置初始第1組索長為10.0 cm，最終索長為15.0 cm，根據(jù)式(33)，可求解出第2組初始索長為12.5 cm.而后對結(jié)構(gòu)計算模型進行力學模型簡化，完成初始模型制作，具體流程如下：

(1)裁剪16段長度為12.0±2 cm的彈力繩和8段10.0±2 cm的彈力繩，其中2 cm為預留長度，用于拉伸后的長度調(diào)節(jié)或節(jié)點綁扎固定，同時需保證拉伸后彈力繩長度均可達到15.0 cm.再根據(jù)計算得到的最終構(gòu)件長度比例，還需裁剪4段長度為21.2 cm的木棒和8段長度為26.0 cm的木棒，以及12段3 cm塑料膠管，作為節(jié)點連接套筒，具體如圖7所示，其中忽略木棒受壓時的長度變化；

(2)可先制作4組由1根21.2 cm的木棒與2根26.0 cm的木棒用塑膠套筒連接形成的三角構(gòu)件；

(3)根據(jù)理論模型的拓撲連接形式，利用彈力繩將4個三角構(gòu)件連接成形.其中，索桿節(jié)點采用綁扎的方式進行固定，同時剪掉多余部分；

(4)當所有單元都已按照理論模型連接后，需測量各個拉索長度是否達到預設(shè)長度.若未達到，則需解開綁扎節(jié)點，重新調(diào)整彈力繩長度，而后重新綁扎，直至所有拉伸后的彈力繩長度達到預設(shè)長度，最終模型如圖8所示.

當按照不同分組結(jié)果制作模型時，可根據(jù)式(33)，事先假定一組構(gòu)件初始長度，通過改變彈力繩的初始長度，進而改變各單元的力密度值.

圖7 材料準備Fig.7 Material preparation

圖8 空間十二桿張拉整體結(jié)構(gòu)實體模型Fig.8 Entity model of the 12-strut spatial tensegrity structure

5 結(jié)論

(1)本文的找形方法對幾何對稱張拉整體結(jié)構(gòu)具有高效的求解能力，同時也適用于指定拉壓構(gòu)件的幾何非對稱張拉整體結(jié)構(gòu)的初始力密度找形.

(2)本文算法將空間十二桿張拉整體結(jié)構(gòu)構(gòu)件分別劃分為5組，12組以及36組，以力密度標準差為目標函數(shù)，均可求解出最優(yōu)初始力密度，證實了該算法可有效求解幾何對稱張拉整體結(jié)構(gòu)的初始力密度.

(3)基于找形結(jié)果，利用彈力線模擬拉索，木棒模擬壓桿，制作空間十二桿張拉整體結(jié)構(gòu)，驗證了本文算法的有效性及合理性.