二階可微型線對渦旋壓縮機性能的影響

方占萍，許世鵬

(1.酒泉職業(yè)技術(shù)學院 新能源工程學院，甘肅 酒泉 735000；2.甘肅省太陽能發(fā)電系統(tǒng)工程重點實驗室, 甘肅 酒泉 735000)

引言

以腔體容積變化為工作原理的渦旋壓縮機因具有排量大[1]、性能高、結(jié)構(gòu)緊湊、可靠性高等諸多優(yōu)點被廣泛應用在制冷和空調(diào)等領域[2-3]，并隨著研究的深入，其應用已拓展到渦旋增壓器、渦旋泵、渦旋膨脹機等領域[4-6]。渦旋型線作為渦旋壓縮機設計的基礎，其設計方法是決定渦旋壓縮機整機性能的根本因素。

目前渦旋型線的設計方法主要有等截面設計法和變截面設計法。等截面設計法采用1條解析曲線，因其固有特點，數(shù)學描述簡單，加工較為方便，但壓縮比較低且毛坯材料的利用率不高。在等截面型線設計中，吳臻等[7]采用基圓漸開線構(gòu)建了動靜渦旋盤，并建立了動靜渦旋盤相嚙合的三維流場數(shù)值模型；陳玉坤等[8]建立了等截面渦旋壓縮機工作腔的幾何模型，對工作腔中的氣體流動進行了數(shù)值模擬；李超等[9]在多載荷耦合作用下，對等截面渦旋壓縮機動渦旋盤的應力應變進行了深入分析。相對于等截面設計法，變截面設計法采用2條及以上曲線，雖然數(shù)學表述比較復雜，但能通過較少的圈數(shù)實現(xiàn)高的壓縮比，同時還能充分利用毛坯材料，因此變截面設計法成為了研究的熱點，得到了國內(nèi)外相關(guān)學者的廣泛關(guān)注。AHMAD等[10]利用建立的渦旋型線幾何模型，模擬了渦旋盤在壓縮過程中的運動變化；郝勝利等[11]建立了電動車空調(diào)用變壁厚渦旋壓縮機的型線方程，并對其容積性能、動力性能和熱力學性能進行了分析計算；劉國平等[12]利用有限元分析法對建立的渦旋型線幾何模型進行了動態(tài)溫度場分析；彭斌等[13]利用基圓漸開線-高次曲線-圓弧的組合形式建立了變截面渦旋壓縮機的數(shù)學模型并對其開展了試驗研究；王君等[14]采用全嚙合渦旋型線的設計方法，建立了一種新型的全嚙合變截面渦旋齒；侯才生等[15]利用Frenet標架對變截面渦旋型線進行了深入分析。這些研究極大地推動了渦旋壓縮機變截面型線設計法的發(fā)展，但研究中均未涉及變截面型線在連接點處是否二階可微的問題，而二階可微與渦旋型線的光順密切相關(guān)，從而直接影響渦旋壓縮機的綜合性能。因此有必要對變截面型線的二階可微進行深入研究，進而嘗試改進變截面型線的設計方法，提高渦旋壓縮機的整機性能。

本研究基于渦旋型線設計理論，建立二階可微變截面渦旋型線的容積模型和動力學模型，并在實際工況參數(shù)下，對渦旋型線的容積性能和作用在動渦旋上的氣體力進行模擬分析，且與傳統(tǒng)一階可微型線進行對比，為渦旋壓縮機變截面型線設計與方法研究拓寬了思路。

1 幾何模型的建立

1.1 基線方程

圖1為變截面渦旋壓縮機型線的基線圖。該基線由2段基圓漸開線和1段高次曲線構(gòu)成，并且是按照基圓漸開線、高次曲線、基圓漸開線的順序依次將3段曲線在連接點φ1和φ2(φ3)處連接，各段曲線的基線方程表示為：

圖1 渦旋型線的基線

第1段基圓漸開線方程:

(1)

式中,a—— 基圓半徑

φ—— 型線的切向角

第2段高次曲線方程:

(2)

式中,Rg—— 高次曲線的基圓半徑

Rs—— 展弦

可表示為Rs=B0+B1φ+B2φ2+B3φ3，B0,B1,B2,B3為待定系數(shù)，可由連續(xù)性條件確定。Rg與Rs兩者之間存在如下的關(guān)系:

(3)

第3段基圓漸開線方程:

(4)

式中,φmax為型線的最大切向角。

1.2 型線的連續(xù)性條件

要使各段型線在連接點處能夠光滑連接，需滿足一定的連續(xù)性條件，為便于說明該連續(xù)條件，此處將型線方程表示為向量函數(shù)r(φ)的形式。

1) 點連續(xù)

第2段高次曲線r2(φ2)的末端與第3段基圓漸開線r3(φ3)的首端達到點連續(xù)，需滿足:

r2(φ2)=r3(φ3)

(5)

2) 一階可微

在連接點處斜率要相同，并且切矢方向相同。設α2和α3分別為型線r2(φ2)和r3(φ3)在連接點處切矢的模長，則兩型線一階可微的條件為:

(6)

3) 二階可微

兩渦旋型線r2(φ2)和r3(φ3)曲率相等，且法矢方向要一致，要滿足如下條件:

(7)

同理，第1段基圓漸開線與第2段高次曲線在連接點處也需滿足上述連續(xù)性條件。若滿足上述條件中的前2個條件，則為一階可微；若同時滿足上述3個條件，則為二階可微。

綜合上述基線方程并對渦旋型線的齒頭進行雙圓弧修正后，運用法向等距法得到動、靜渦旋的嚙合圖，如圖2所示。

圖2 動靜渦旋的嚙合

2 型線的容積性能

2.1 腔體容積計算

動、靜渦旋嚙合構(gòu)成了一系列封閉的月牙形腔體，由外到內(nèi)依次稱為吸氣腔(第一壓縮腔)、壓縮腔(第二壓縮腔)和排氣腔(第三壓縮腔)。

1) 吸氣腔容積

當主軸轉(zhuǎn)角θ∈[0,φ2-φ1)時，吸氣腔由第3段基圓漸開線和第2段高次曲線構(gòu)成，此時腔體的容積為:

V11(θ)=2hRor[Rg(φ2)-a+L2+L3]

(8)

式中,Ror—— 回轉(zhuǎn)半徑

h—— 渦旋齒高

L2—— 第2段高次曲線對應基線的弧長

L3—— 第3段基圓漸開線對應基線的弧長

按下式進行計算:

(9)

(10)

當主軸轉(zhuǎn)角θ∈[φ2-φ1，2π]時，吸氣腔由2段基圓漸開線和1段高次曲線共同構(gòu)成，此時其容積為:

V12(θ)=2hRor(L1+L2+L3)

(11)

其中:

(12)

(13)

(14)

式中,L1為第1段基圓漸開線對應基線的弧長。

綜上所述，當θ∈[0,2π]時，吸氣腔容積為:

V1(θ)=V11(θ)+V12(θ)

(15)

當主軸轉(zhuǎn)角θ=0時壓縮腔閉合，此時第一壓縮腔容積V1(0)即為行程容積，該容積能夠反映渦旋壓縮機的壓縮性能，對整機容積效率的影響較大。

2) 壓縮腔容積

第1段基圓漸開線和第2段高次曲線構(gòu)成了壓縮腔，故第二壓縮腔容積為:

V2(θ)=2hRor{L1+L2+[Rg(φ3-4π)-

Rg(φ3-2π)]}

(16)

其中：

(17)

(18)

3) 排氣腔容積

如圖3所示為雙圓弧修正渦旋齒的示意圖，圖中φ為修正展角；?為漸開線發(fā)生角；λ為修正圓弧中心角；Rd為修正大圓弧半徑；Rx為修正小圓弧半徑；γ為修正角。通過計算該渦旋齒，可得修正齒頭的軸向投影面積為：

圖3 雙圓弧修正渦旋齒的示意圖

(19)

θ*為開始排氣角，大小為θ*=2π-γ。當θ>θ*時，第二壓縮腔與排氣腔連通，并合并為最大的中心排氣腔，此時該腔體由第1段基圓漸開線和修正雙圓弧構(gòu)成，其腔體容積為：

(20)

2.2 壓縮比

壓縮比是衡量渦旋壓縮機性能的一個重要指標，定義為:

(21)

式中,κ為絕熱指數(shù)，通常取κ=1.3。

3 型線的動力學性能

渦旋壓縮機在運行時，多個壓縮腔會同時進行氣體壓縮，但由于壓縮腔內(nèi)的壓力不同，會使氣體對動、靜渦旋產(chǎn)生氣體作用力[16]。相對于靜渦旋，作用于動渦旋上的氣體力對渦旋壓縮機的整機性能影響較大，因此本研究著重對作用在動渦旋上的氣體力進行討論。為便于分析計算，將氣體作用力劃分為軸向氣體力、切向氣體力和徑向氣體力3類。

3.1 軸向氣體力

軸向氣體力是沿主軸軸線方向作用在動渦旋上的力，該氣體力會使動、靜渦旋相互脫離，導致徑向氣體泄漏量增加，計算公式為:

(22)

式中,pi為第i個壓縮腔的氣體壓力。

根據(jù)各壓縮腔容積隨主軸轉(zhuǎn)角θ的變化規(guī)律，并假設壓縮過程按絕熱進行，則第i個壓縮腔對應的氣體壓力為:

(23)

式中,p0為吸氣壓力，一般取p0=0.1013 MPa。

3.2 切向氣體力

沿主軸切線方向作用在動渦旋上的氣體作用力，稱為切向力。該作用力會使動渦旋發(fā)生自轉(zhuǎn)并產(chǎn)生傾覆力矩，其計算公式為：

(24)

式中，Lti為切向氣體力作用線長度，具體可表示為：

(25)

(26)

(27)

3.3 徑向氣體力

徑向氣體力是沿動、靜渦旋基圓中線方向作用在動渦旋上的氣體力，該作用力會使動、靜渦旋的徑向間隙增大，導致切向氣體的泄漏量加劇。計算公式為：

(28)

式中,Lri為徑向氣體力作用線長度，具體可表示為:

(29)

(30)

(31)

4 算例分析

以渦旋制冷壓縮機為例，已知設計參數(shù)為：a=2.069 mm，h=35 mm，Ror=3 mm，連接點φ1=2.5 π，φ2=3.5 π，φ3=5.5 π。對渦旋型線的壓力性能、容積性能和作用在動渦旋上的氣體作用力進行數(shù)值模擬，結(jié)果如表1和圖4～圖8所示。

表1 不同連續(xù)條件下的型線性能

在由2條及以上曲線組合而成的變截面型線中，確保兩曲線在連接點處能夠光順連接，是提升渦旋壓縮機綜合性能的關(guān)鍵。以往對組合型線在連接點處的研究，僅僅只是考慮將兩曲線拼接，即只保證了2曲線在連接點處一階可微，而并未將曲線的光順性考慮在內(nèi)，這樣會使渦旋型線的性能降低，同時也不利于渦旋齒的加工。二階可微能夠使兩曲線在連接點處的曲率相等，確保了曲線的光順性。如表1中數(shù)據(jù)所示，是一階可微和二階可微條件下，得出的型線性能，可明顯看出，二階可微型線的各個性能均優(yōu)于一階可微型線的性能，即光順的型線性能更好。

圖4是根據(jù)渦旋型線的幾何理論，模擬計算得出的不同連續(xù)條件下渦旋壓縮機工作腔容積的變化規(guī)律?？梢钥闯?，雖然一階可微和二階可微型線的工作容積變化規(guī)律相似，但二階可微型線的行程容積較大。與一階可微型線相比，二階可微型線的行程容積提高了19.20%，壓縮比提高了17.13%。

圖4 工作腔容積變化規(guī)律

如圖5所示，為渦旋壓縮機壓縮腔內(nèi)氣體壓力的變化曲線圖，當主軸轉(zhuǎn)角θ在0～2π時，吸氣腔尚未完全閉合，此時外界與吸氣腔是相通的，工作腔內(nèi)壓力即為外界的氣體壓力；當θ≥2π時，工作腔內(nèi)的氣體開始被壓縮，此時氣體的壓力值不斷增大；當θ>θ*時，進入排氣階段，排氣腔與外界相通，此時雖然腔體內(nèi)的容積在不斷減小，但氣體壓力值無變化，即為等壓壓縮。

圖5 氣體壓力變化曲線

圖6～圖8中，F(xiàn)a1,Ft1和Fr1分別表示一階可微條件下的軸向、切向和徑向氣體力，F(xiàn)a2,Ft2和Fr2則分別表示二階可微條件下的軸向、切向和徑向氣體力。

圖6 軸向氣體力

圖7 切向氣體力

圖8 徑向氣體力

由圖6和圖7可知，軸向力Fa和切向力Ft都隨著主軸轉(zhuǎn)角θ的增大而先減小再增大最后變小，并且在二階可微條件下受到的氣體作用力均明顯小于一階可微條件下所受的力，而較小的氣體力對于渦旋壓縮機性能的提升是有益的。

由圖8可知，徑向氣體力Fr的變化較復雜，二階可微條件下所受的氣體力較小，有利于減小切向氣體的泄漏量。

5 結(jié)論

(1) 構(gòu)建了二階可微變截面渦旋型線，分析了封閉月牙形腔體的容積特性，并建立了渦旋型線的動力學隨主軸轉(zhuǎn)角的動態(tài)變化歷程；

(2) 將二階可微應用在組合型線設計中，不但解決了傳統(tǒng)型線設計中只考慮將兩段型線連接在一起而忽視型線光順性的問題，而且也明顯提升了渦旋型線的性能；

(3) 對渦旋型線的壓力、容積性能和作用在動渦旋上的氣體作用力進行了模擬分析，結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的一階可微渦旋型線相比，二階可微型線具有更大的壓力、行程容積和壓縮比，且3種氣體作用力均明顯較小，這為設計高效率和全性能要求的渦旋壓縮機奠定了良好的基礎，同時也為渦旋型線的設計提供了一種新的方法。