平中見奇 以小見大

楊靜霞

摘? 要：以“能將矩形的周長和面積同時加倍嗎？”一課為例，對正方形、正多邊形、圓、矩形的“倍增”問題進(jìn)行了層層深入的探究，進(jìn)而深度思考綜合與實踐教學(xué)中生活與數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性，通過挖掘其蘊含的規(guī)律和學(xué)科育人價值，闡述綜合與實踐活動對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的作用.

關(guān)鍵詞：綜合與實踐;育人價值;提升素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教材中引入綜合與實踐活動，既是為了體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，強(qiáng)化應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)學(xué)生的綜合實踐能力和創(chuàng)新意識，也是為了鍛煉學(xué)生綜合運用所學(xué)知識的能力，從而提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力. 數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不僅是讓學(xué)生鞏固“四基”，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能. 基于此，上好綜合與實踐活動課，需要多方聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)與自然、數(shù)學(xué)與活動，相得益彰、相輔相成.

筆者在執(zhí)教魯教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（五·四學(xué)制）九年級上冊第一章“反比例函數(shù)”綜合與實踐“能將矩形的周長和面積同時加倍嗎？”一課時，發(fā)現(xiàn)這個課題巧妙地將代數(shù)知識和幾何知識融為一體，實現(xiàn)了用代數(shù)方法解決幾何問題的目的;同時在解決問題的過程中對培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會研究數(shù)學(xué)問題的基本思路、滲透數(shù)學(xué)思想方法、鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都有著非常積極的作用. 在此，筆者圍繞本課例的教學(xué)過程闡述對綜合與實踐活動課的認(rèn)識與思考.

一、教學(xué)內(nèi)容說明

“能將矩形的周長和面積同時加倍嗎？”一課是在學(xué)生具備了代數(shù)知識（一元二次方程、二元一次方程組、分式方程、反比例函數(shù)）和幾何知識（矩形、正方形、正多邊形、圓、相似等）的基礎(chǔ)上，結(jié)合生活中的實際問題展開研究的，在研究過程中遵循由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的方式，即從正方形到矩形再推廣到正多邊形和圓. 在解決問題的過程中，教師充分調(diào)動學(xué)生的知識儲備，打通各知識點之間的聯(lián)系. 既能實現(xiàn)代數(shù)知識之間的轉(zhuǎn)化，即把方程組、分式方程、函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程來解決，也能把二元一次方程組變形為反比例函數(shù)與一次函數(shù)，借助畫草圖觀察函數(shù)圖象，由交點判斷解的情況，滲透數(shù)形結(jié)合思想，又能把幾何知識代數(shù)化，由相似多邊形的性質(zhì)（周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方），轉(zhuǎn)化為方程來達(dá)到解決問題的目的. 解決問題的過程是數(shù)學(xué)知識高度抽象的過程，是直觀想象的過程，是邏輯推理的過程，是數(shù)學(xué)運算的過程. 通過建立方程和函數(shù)模型，達(dá)到由特殊到一般、由一般到特殊、化繁為簡的效果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性.

二、教學(xué)過程設(shè)計

1. 常規(guī)積累，溫故知新

（1）正方形的邊長為a，它的周長是多少？面積是多少？長方形的長為m，寬為n，它的周長是多少？面積是多少？

（2）已知邊長為1的正方形，是否存在另一個正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？

【說明】通過第（1）題復(fù)習(xí)正方形、長方形的周長和面積公式，激活學(xué)生的思維. 第（2）題由邊長為1的正方形開始研究，解決問題的過程會自然聯(lián)想到以下問題：周長為原來2倍時該正方形的面積增加了多少？面積為原來2倍時，該正方形的周長又是怎樣變化的？是否存在一個正方形，使其周長和面積同時是原正方形的2倍？由此，在解決問題的過程中不斷發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出新的問題，得到結(jié)論，從而激活學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生思考的興趣和探究的熱情.

2. 新知探究，總結(jié)規(guī)律

活動1：正方形“倍增”問題.

某公園棧道、古亭、小山風(fēng)景如畫，美不勝收. 春天到了，游人越來越多，停車場漸漸不夠用了. 景區(qū)要把邊長為10米的正方形停車場擴(kuò)建成周長和面積同時是原來2倍的正方形停車場，你能利用所學(xué)知識，幫助工作人員實現(xiàn)這種設(shè)計方案嗎？為什么？試在表1中呈現(xiàn)你的思路.

【說明】以學(xué)生熟悉的情境引入，激發(fā)學(xué)生愛家鄉(xiāng)、建設(shè)家鄉(xiāng)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，引起學(xué)生探究問題和解決問題的欲望. 嘗試從“定周長”和“定面積”兩個角度研究，為后面研究矩形的方法遷移做好鋪墊.

追問：對于任意正方形，是否存在另一個正方形，它的周長和面積同時是已知正方形的2倍？n倍呢？為什么？試在表2中呈現(xiàn)你的思路.

結(jié)論：對于任意正方形，都不存在周長和面積同時倍增的情況.

【說明】通過追問，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生考慮任意正方形的周長和面積多倍增加的情況. 學(xué)生經(jīng)歷用字母表示邊長并推理的過程，體會從特殊到一般的研究過程. 通過研究任意正方形周長和面積加倍的過程，發(fā)現(xiàn)若加倍前后兩個正方形的相似比為k，則周長和面積同時加倍可以用方程k2 = k表示，解得k = 0或者k = 1. 顯然，當(dāng)k = 0時，不存在周長和面積同時加倍的正方形;當(dāng)k = 1時，兩個正方形全等. 通過及時總結(jié)、提煉出研究問題的方法，使得后面的拓展研究有“法”可依.

活動2：枚舉.

思考1：除了正方形，還有哪些圖形也具有“不存在同時加倍”這種特點？試舉例說明，并思考原因.

結(jié)論：對于任意變化前后相似的平面圖形，都不存在周長和面積同時倍增的情況.

【說明】首先，由正方形聯(lián)想到正多邊形和圓，把從正方形中得出的結(jié)論進(jìn)行推廣，體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣和獲得新結(jié)論的驚喜，感受舉一反三、化多為一的魅力. 其次，進(jìn)一步反思：怎樣才能夠存在“周長和面積同時加倍”的圖形？進(jìn)而想到減弱對正方形的限制條件，另辟蹊徑，聯(lián)想到矩形可能存在“倍增”的情況.

活動3：矩形“倍增”問題.

如果將長20米、寬10米的矩形停車場，擴(kuò)建成周長和面積同時是原來2倍的矩形停車場，你認(rèn)為能否實現(xiàn)？類比前面的方法進(jìn)行研究，盡可能多地想出探究解決的方法，完成后小組交流，并填寫表3.

學(xué)生先獨立完成，然后小組合作研究. 學(xué)生根據(jù)周長和面積公式發(fā)散思維，總結(jié)了如下四種解決問題的方法.

方法1：設(shè)擴(kuò)建后矩形的長為x米，則寬為[60-x]米，由面積公式列出一元二次方程[x60-x=400.] 化為一般形式，即[x2-][60x+400=0.] 由[Δ>0，] 可知存在周長和面積同時為已知矩形2倍的矩形.

方法2：設(shè)擴(kuò)建后的矩形的長為x米，寬為y米，列方程組得[x+y=60，xy=400.] 消元后轉(zhuǎn)化為一元二次方程[x2-][60x+400=0.] 以下略.

方法3：設(shè)擴(kuò)建后的矩形的長為x米，寬為[400x]米，由周長公式列出分式方程[x+400x=60.] 去分母后化為整式方程[x2-][60x+400=0.] 以下略.

方法2和方法3都可以轉(zhuǎn)化為方法1得解.

方法4：把方法2中的兩個二元一次方程變形為一次函數(shù)[y=60-x]和反比例函數(shù)[y=400x，] 畫出函數(shù)圖象，觀察交點情況，判斷解的存在性.

【說明】通過讓學(xué)生類比正方形的研究方法和思路探究矩形的周長和面積“倍增”問題，體會用代數(shù)方法研究幾何問題的一般思路. 在學(xué)生獨立思考、小組交流的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對得出的四種方法進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)方程組、分式方程、函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，圖象法可直觀判斷存在性但數(shù)值有誤差，準(zhǔn)確性不足，因此，從中選出最優(yōu)方法是列一元二次方程. 讓學(xué)生在經(jīng)歷知識的形成過程中，體會建模、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法在解決實際問題中的作用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和直觀想象能力.

思考2：對于任意矩形，是否存在另一個矩形，它的周長和面積同時是已知矩形的2倍？為什么？填寫表4.

當(dāng)已知矩形長為m，寬為n時，設(shè)所求矩形的長為[x，] 那么它的寬為[2m+n-x.] 根據(jù)題意，可得[x2m+n-x=2mn，] 即[x2-2m+nx+][2mn=0. ]因為[Δ>0，] 可得[x1+x2=2m+n，x1x2=2mn，] 所以這個方程有正數(shù)解，說明這樣的矩形存在. 解方程得[x1=][m+n+m2+n2]，[x2=m+n-m2+n2].

【說明】用優(yōu)選出的列一元二次方程的方法，通過求解方程解釋一般矩形的周長和面積同時“倍增”問題的存在性，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程. 問題的設(shè)計層層遞進(jìn)，在步步深入的推進(jìn)中，引導(dǎo)學(xué)生明確“存在性”問題的實質(zhì)即是對“方程是否有解”的討論. 這種用運算結(jié)果驗證幾何問題的“存在性”的方法，幫助學(xué)生建立了數(shù)學(xué)模型，有利于今后廣泛推廣使用.

3. 延伸思考，提出問題

問題1：正方形是特殊的矩形，為什么矩形能“倍增”而正方形不能呢？

問題2：類比本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，你覺得矩形的周長和面積還可以怎樣“倍增”或者“倍減”？

【說明】該環(huán)節(jié)意在激發(fā)學(xué)生不斷思考，深入探究本節(jié)課的研究內(nèi)容. 正方形是特殊的矩形，即滿足思考2中[m=n]的情況，方程顯然有解，但解為[x1=2+2m，] [x2=2-2m，] 說明把正方形的周長和面積同時倍增2倍后得到的圖形是矩形. 而矩形的周長和面積雖然可以“倍增”，但“倍增”前后的矩形與原矩形不具有相似的特點. 問題2意在引導(dǎo)學(xué)生類比、猜想研究將矩形的周長和面積“倍增”為n倍或者“倍減”為已知矩形的[1n]的情況，引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)和提出新問題，這不僅可以鞏固研究方法，深入理解解決問題的基本思路，而且能培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力和批判精神.

4. 課堂小結(jié)，歸納提升

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識？用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

【說明】反思使人進(jìn)步. 教師引導(dǎo)學(xué)生反思解決問題的基本思路是發(fā)現(xiàn)問題、猜想結(jié)論、驗證結(jié)論、形成規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律、拓展研究;用到的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想;用到的學(xué)習(xí)方法有類比、分類、從特殊到一般. 課堂小結(jié)有利于學(xué)生養(yǎng)成及時反思的習(xí)慣，同時不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

5. 布置作業(yè)，課后拓展

（1）解決課堂中提出的問題：拓展研究“倍增”或者“倍減”矩形的周長和面積.

（2）實踐活動：運用本節(jié)課學(xué)到的方法，幫助家長至少解決一個實際問題.

【說明】一方面，要求學(xué)生在課后解決本節(jié)課還沒有解決好的問題和困惑;另一方面，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活、關(guān)心民生，主動用數(shù)學(xué)知識幫助家長解決實際問題. 把本節(jié)課的研究方法延伸到課堂之外、生活之中，內(nèi)化于心，真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價值.

三、對綜合與實踐課程的感悟與思考

1. 綜合與實踐課程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)性

源于實踐，曲徑通幽. 綜合與實踐課程的產(chǎn)生源于現(xiàn)實生活的需要，現(xiàn)實生活中的許多問題都可以用數(shù)學(xué)知識和方法來解決. 例如，本節(jié)課雖然是簡單的周長和面積“倍增”問題，但是需要學(xué)生具備一定的閱讀理解能力，能讀懂題意，然后把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識來解決問題. 這就要求教師把生活與數(shù)學(xué)融通起來，善于到生活中尋找情境，發(fā)現(xiàn)能夠用數(shù)學(xué)知識來解決的現(xiàn)實問題，豐富綜合與實踐課程的題材. 本節(jié)課以學(xué)生身邊的公園停車場的設(shè)計為問題情境，解決現(xiàn)實生活中存在的問題. 要解決問題首先需要關(guān)注到問題的細(xì)節(jié)，改造停車場，可以改造為同種圖形，也可以考慮改造為不同的圖形. 首先，仔細(xì)閱讀領(lǐng)會文本的內(nèi)容，分類轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;其次，借助數(shù)學(xué)思想方法來解決問題，從而發(fā)揮數(shù)學(xué)為現(xiàn)實生活服務(wù)的功能，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活”的宗旨.

2. 綜合與實踐課程涉及的內(nèi)容具有綜合性

縱橫聯(lián)系，渾然一體. 綜合與實踐課程的內(nèi)容既然來源于生活中的實際問題，在解決問題的過程中，我們必然要用到多方面的數(shù)學(xué)知識. 例如，縱向來看，本節(jié)課用到了列方程（組）解應(yīng)用題、反比例函數(shù)、圖象法等;橫向來看，要從“定周長”和“定面積”兩個角度來進(jìn)行探究;整體上看，運用數(shù)形結(jié)合思想突破難點. 其中既用到了幾何中的相似知識，又用到了代數(shù)中的方程與函數(shù)模型，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的融會貫通，及用代數(shù)方法解決幾何問題的常規(guī)思路.

3. 綜合與實踐課程的活動中探究和思考的方法具有規(guī)律性

異中找同，歸納類比. 綜合與實踐課程的設(shè)計應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由易到難，由特殊到一般. 本節(jié)課中，首先研究的是最基礎(chǔ)的正方形或者矩形，遵循由少到多、由數(shù)字到字母的順序有序推進(jìn)研究. 研究思路從特殊的圖形到一般的圖形，既通過計算驗證了矩形周長和面積“倍增”成立，也通過推理驗證了所有具有同類特征的圖形都具有相同的性質(zhì)，進(jìn)而為后續(xù)的規(guī)律探索奠定了堅實的基礎(chǔ)，這是在教師的引導(dǎo)下對科學(xué)規(guī)律的再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造.

4. 綜合與實踐課程具有數(shù)學(xué)育人價值

品之有味，平中見奇. 綜合與實踐活動課的開展，不僅讓學(xué)生掌握了基礎(chǔ)知識和基本技能，積累了基本活動經(jīng)驗，鍛煉運用基本數(shù)學(xué)思想方法的能力，很好地落實了“四基”，更重要的是有效引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，提高了學(xué)生的“四能”，落實立德樹人的根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育的功能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 本節(jié)課鍛煉了學(xué)生的直觀想象能力，體現(xiàn)了會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界;鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力，體現(xiàn)了會用數(shù)學(xué)思維思考世界;鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，體現(xiàn)了會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

總之，綜合與實踐課程的研究對促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，促進(jìn)學(xué)生人生觀、價值觀、世界觀的形成起到了積極的作用.

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