基于神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化算法的分數(shù)階PIλDμ控制

謝玲玲,秦 龍

(廣西大學 電氣工程學院,廣西 南寧 530004)

隨著科技水平的不斷提高,對控制器性能精度和智能化的要求越來越高。傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器結構簡單,易于操作,但參數(shù)選擇的局限性,導致其穩(wěn)定范圍小,控制系統(tǒng)性能不高。相比于整數(shù)階PID控制器,分數(shù)階PIλDμ控制器的控制范圍更大、控制效果更好[1]。

分數(shù)階PIλDμ控制器具有5個控制參數(shù),擴大了參數(shù)整定的范圍,可以更方便地控制被控對象,具有更好的控制效果[2]。為了更好地優(yōu)化分數(shù)階PIλDμ控制器參數(shù),國內(nèi)外學者將智能算法引入分數(shù)階參數(shù)整定過程中[3]。文獻[4]在解決生物地理學算法收斂不精確的問題時引入了一種改進生物地理學優(yōu)化算法,加快了尋優(yōu)速度。文獻[5]將改進的粒子群優(yōu)化算法應用到分數(shù)階PIλDμ控制器復合的控制算法中,使系統(tǒng)的抗干擾能力加強。文獻[6]提出了將改進狀態(tài)空間模型算法與分數(shù)階PID控制器相結合的優(yōu)化方法,使系統(tǒng)具有更好的時域響應性能。文獻[7]在分數(shù)階PIλDμ控制器設計中引入人工蜂群的智能優(yōu)化算法,簡化了控制器的結構,但該算法較易陷入局部最優(yōu)的問題。

為了使系統(tǒng)可以更好地被控制,科研工作者將大量的人工智能算法與傳統(tǒng)的PID控制結合起來。其中,人工神經(jīng)網(wǎng)絡是一種以人腦基本特性為基礎的控制算法,具有很強的自學習能力和快速尋優(yōu)等特點[8]。為解決分數(shù)階PIλDμ控制器難以整定的難題,本文提出了一種基于誤差反向傳播(Back propagation,BP)神經(jīng)網(wǎng)絡算法與分數(shù)階PIλDμ控制器相結合的方法。首先,將分數(shù)階PIλDμ控制器數(shù)字化,然后通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡算法調(diào)節(jié)突觸權值,經(jīng)調(diào)整后輸出量作為分數(shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)值,最終實現(xiàn)了一種BP神經(jīng)網(wǎng)絡分數(shù)階PIλDμ控制器的設計。對分數(shù)階被控系統(tǒng)和整數(shù)階被控系統(tǒng)進行對比實驗仿真,期望可以驗證本文設計的控制器具有有效性。

1 分數(shù)階PIλDμ控制器

分數(shù)階PIλDμ控制器的結構框圖如圖1所示。圖中,R(s)為系統(tǒng)的輸入,Y(s)為系統(tǒng)輸出,Kp為比例系數(shù),Ki為積分系數(shù),Kd為微分系數(shù),λ為積分階次,μ為微分階次[9]。

圖1 分數(shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)結構框圖

由圖1可得,分數(shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)為

(1)

式中:積分階次λ與微分階次μ分別滿足0<λ<2、0<μ<2?？刂菩盘栐跁r域下的表達式為

u(t)=Kpe(t)+KiD-λe(t)+KdDμe(t)

(2)

由式(2)可知,當λ=μ=0時,為P控制器;當λ=1,μ=0時,為PI控制器;當λ=0,μ=1時,為PD控制器;當λ=μ=1時,為整數(shù)階PID控制器[10]。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡分數(shù)階PID控制器

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡的構建

神經(jīng)網(wǎng)絡學習算法本質(zhì)上就是求解被控對象誤差函數(shù)最小值問題,可選用“最速下降法”,沿誤差函數(shù)的負梯度方向?qū)崿F(xiàn)權系數(shù)修正[11]。根據(jù)運行狀態(tài),調(diào)節(jié)分數(shù)階PIλDμ控制器的5個參數(shù),直到控制系統(tǒng)的誤差達到最小,使輸出層神經(jīng)元的輸出狀態(tài)對應為分數(shù)階PIλDμ控制器的5個參數(shù)[12]。通過神經(jīng)網(wǎng)絡的自學習以及加權系數(shù)的智能調(diào)整,最終使被控對象的控制效果達到最佳狀態(tài)。本文采用的BP神經(jīng)網(wǎng)絡結構如圖2所示。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)結構圖

圖2中,輸入信號為系統(tǒng)輸入信號r、系統(tǒng)輸出信號y、誤差信號e以及偏差信號l;相應的輸出信號為分數(shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)Kp、Ki、Kd、λ和μ。

網(wǎng)絡輸入層輸入輸出公式為

(3)

式中:輸入變量個數(shù)M取決于被控系統(tǒng)的復雜程度[13]。本文M=4。

網(wǎng)絡隱含層的輸入和輸出分別為

(4)

隱含層神經(jīng)元的活化函數(shù)取正負對稱的Sigmoid函數(shù)

(5)

即網(wǎng)絡輸出層的輸入和輸出分別為

(6)

輸出層的5個輸出分別與分數(shù)階PIλDμ控制器的Kp、Ki、Kd、λ和μ相對應。因為這5個參數(shù)都是取正數(shù),因此輸出層的活化函數(shù)選取非負的Sigmoid函數(shù)[14]

(7)

取性能指標函數(shù)如下

(8)

按照梯隊下降法修正網(wǎng)絡的權系數(shù),即按E(K)對加權系數(shù)的負梯度方向進行搜索調(diào)整,并且附加一個慣性項[12]

(9)

式中:η為學習效率;α為慣性系數(shù)。

根據(jù)上述分析,可得網(wǎng)絡輸出層權的學習算法為

(10)

同理,可得隱含層加權系數(shù)的學習算法

(11)

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡分數(shù)階PIλDμ控制器

BP神經(jīng)網(wǎng)絡分數(shù)階PIλDμ控制器結構圖如圖3所示。

圖3 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的分數(shù)階PIλDμ控制器結構圖

分數(shù)階PIλDμ控制器的神經(jīng)網(wǎng)絡算法流程如下:

(1)初始化。確定BP網(wǎng)絡的結構并給出各神經(jīng)層的加權系數(shù)初始值W選定學習率和數(shù)。

(2)采樣得到控制器的信號rin(k)和yout(k),計算此時的誤差error(k)=rin(k)-yout(k)。

(3)計算神經(jīng)網(wǎng)絡各層神經(jīng)元的輸入和輸出,輸出的5個參數(shù)即為Kp、Ki、Kd、λ和μ。

(4)根據(jù)式(2),計算分數(shù)階PIλDμ輸出u(k)。

(5)根據(jù)式(10)和式(11)進行神經(jīng)網(wǎng)絡學習,突觸權值在線調(diào)整,最終實現(xiàn)Kp、Ki、Kd、λ和μ參數(shù)的最優(yōu)化。

(6)置k=k+1,返回步驟(2)直到控制器的誤差最小。

3 實驗仿真分析

為驗證本文設計算法的有效性,分別選取整數(shù)階和分數(shù)階控制對象進行實驗仿真。首先選取整數(shù)階為被控對象,其傳遞函數(shù)如下

(12)

系統(tǒng)G1(s)開環(huán)階躍響應曲線如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)G1(s)開環(huán)階躍響應曲線

采用文獻[15]設計的自適應差分進化算法整數(shù)階控制器為Gk1(s),分數(shù)階控制器為Gk2(s)

(13)

采用文獻[7]設計的人工蜂群算法進行參數(shù)整定得到的控制器Gk3(s)為

(14)

應用本文算法進行參數(shù)整定得到分數(shù)階PIλDμ控制器為

(15)

圖5為被控系統(tǒng)G1(s)在控制器Gk1(s)、Gk2(s)、Gk3(s)和Gk4(s)分別作用下的階躍響應曲線。從圖中可看出,和其他3種控制器相比,本文設計的分數(shù)階PIλDμ控制器具有較好的調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)定性。

圖5 G1(s)在幾種控制器下的階躍曲線

G1(s)在不同控制器下的性能指標,如表1所示。

表1 G1(s)在不同控制器下的性能指標

從表1可以看出,對于整數(shù)階被控系統(tǒng),本文設計的控制器減少了上升時間和調(diào)節(jié)時間,降低了超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差,提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

其次,選取分數(shù)階控制對象,進行實驗仿真,其傳遞函數(shù)如下[15]

(16)

G2(s)系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應曲線如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)G2(s)開環(huán)階躍響應曲線

文獻[1]中設計的分數(shù)階PIλDμ控制器Gp1(s)為

(17)

文獻[7]中采用人工蜂群方法設計的分數(shù)階控制器Gp2(s)

(18)

文獻[15]中采用改進差分進化方法設計的分數(shù)階控制器Gp3(s)為

(19)

采用本文方法得到的分數(shù)階PIλDμ控制器Gp4(s)為

(20)

被控制系統(tǒng)G2(s)在Gp1(s),Gp2(s),Gp3(s)和Gp4(s)4種控制器下的階躍響應曲線,如圖7所示。

圖7 G2(s)在幾種控制器下的階躍曲線

由圖7可以看出,針對G2(s)分數(shù)階系統(tǒng),相比于文獻[1]、文獻[7]和文獻[15]的方法,本文設計的分數(shù)階PIλDμ控制器具有超調(diào)量小、上升時間短、穩(wěn)定性高的優(yōu)點。

Gp2(s)在不同控制器下的性能指標,見表2。

從表2中可以看出,Gp4(s)控制器在上升時間、調(diào)節(jié)時間等方面比其他控制器的控制效果好。被控系統(tǒng)G2(s)在開環(huán)控制、幅值裕度和相角裕度算法、人工蜂群方法算法以及神經(jīng)網(wǎng)絡算法控制下的伯德Bode圖如圖8所示。

表2 Gp2(s)在不同控制器下的性能指標

圖8 G2(s)在不同響應下的Bode圖

從圖8可以看出,被控系統(tǒng)在本文設計控制器作用下的相角裕度比文獻[1]中設計的要大。

4 結束語

由于傳統(tǒng)的PID控制器控制效果不太理想以及分數(shù)階PIλDμ控制器可調(diào)參數(shù)多,使得分數(shù)階PIλDμ控制器參數(shù)整定的難度變大。因此,本文提出了一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡與分數(shù)階PIλDμ控制器相結合的方法。實驗表明,當被控對象為整數(shù)階系統(tǒng)時,該控制器具有較好的調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)定性;當被控對象為分數(shù)階系統(tǒng)時,該控制器具有超調(diào)量小、上升時間短、穩(wěn)定性高等優(yōu)點?？傊?相比于其他整定方法,該方法在系統(tǒng)的控制精度和控制效果等方面具有優(yōu)越性,仿真結果驗證了所提方法的有效性。