基于ARIMA與線性回歸組合模型的汽車銷量預(yù)測分析*

桂思思 孫 偉 徐曉鋒

（1.武漢智慧生態(tài)科技投資有限公司 武漢 430119）（2.神龍汽車有限公司 武漢 430056）（3.武漢昱升光器件有限公司 武漢 430073）

1 引言

隨著汽車的逐漸普及，汽車在人們的出行消費(fèi)中占有越來越重要的地位，而汽車行業(yè)的飛速發(fā)展與激烈競爭，也給各個品牌的主機(jī)廠提出了更高的要求，實(shí)時掌握品牌未來的汽車銷量，能夠更好按需安排生產(chǎn)計(jì)劃，控制汽車庫存量，更能有效地為市場部門提供有針對性的營銷數(shù)據(jù)支撐。

我們可以在各類文獻(xiàn)中找到關(guān)于汽車銷量的預(yù)測模型研究，如文獻(xiàn)［1］基于汽車市場的月度銷量進(jìn)行中長期預(yù)測，提出了基于結(jié)構(gòu)關(guān)系識別的汽車銷量預(yù)測方法。文獻(xiàn)［2］分析了我國汽車銷量的主要影響因素，如經(jīng)濟(jì)環(huán)境、汽車價格、基礎(chǔ)設(shè)施環(huán)境等因素，并計(jì)算出各影響因素的灰色關(guān)聯(lián)分析，提出了基于回歸分析的汽車銷量預(yù)測模型。文獻(xiàn)［3］根據(jù)我國汽車市場的月度銷量數(shù)據(jù)，并基于具有季節(jié)調(diào)整的ARIMA進(jìn)行汽車銷量預(yù)測。

筆者進(jìn)行調(diào)研發(fā)現(xiàn)，各類預(yù)測模型并未在各品牌的汽車主機(jī)廠得到廣泛應(yīng)用，分析原因主要為：1）主機(jī)廠更關(guān)注于面向單品牌的汽車銷量預(yù)測，而現(xiàn)有預(yù)測模型大都根據(jù)汽車市場的總體情況，分析汽車行業(yè)的宏觀影響因素進(jìn)行建模，與面向單品牌的銷量預(yù)測影響因素存在差異；2）部分模型選取的預(yù)測數(shù)據(jù)對主機(jī)廠來說比較難以獲取，如有些模型需要統(tǒng)計(jì)全國公路里程，有些涉及品牌情感因素的分析需要抓取外部網(wǎng)站的數(shù)據(jù)。本文根據(jù)主機(jī)廠的數(shù)據(jù)現(xiàn)狀，分析面向品牌汽車銷量預(yù)測的主要因素，提出一種基于ARIMA與線性回歸組合模型的單品牌汽車銷量預(yù)測模型的建立方法。

2 影響因素分析

在汽車行業(yè)，面向普通大眾的單品牌汽車銷售流程大體為

1）單品牌的銷售線索搜集。主機(jī)廠從各大垂直網(wǎng)站、自媒體、以及進(jìn)4S店的用戶登記數(shù)據(jù)獲取銷售線索，銷售線索記錄的往往是有購車意向的客戶信息。

2）對銷售線索進(jìn)行跟進(jìn)。這個過程主要是銷售人員和客戶進(jìn)行溝通，跟進(jìn)、價格談判等。

3）銷售線索的成交。銷售線索成交后將轉(zhuǎn)化為銷售訂單，也就是普遍意義上的汽車銷售。

從上述流程流程中可以看出，銷售線索是影響汽車銷售的一個重要因素，也是汽車品牌主機(jī)廠真正掌握的售前數(shù)據(jù)之一。另外，普通的單品牌汽車銷售會受到近期或去年同期銷售情況的影響，因此歷史銷量也是進(jìn)行銷量預(yù)測的另一重要指標(biāo)。下文中我們根據(jù)某汽車品牌提供的2014年～2018年銷售線索及歷史銷量數(shù)據(jù)，對影響因素進(jìn)行具體分析與建模。

3 預(yù)測模型建立

3.1 模型建立方法

模型的建立方法如下四步。

步驟1提取相關(guān)因素。檢驗(yàn)相關(guān)因素的相關(guān)性，提取相關(guān)性較高的相關(guān)因素作為多元線性回歸的自變量。

步驟2提取自回歸自變量。建立自回歸序列，對序列進(jìn)行差分，并根據(jù)自相關(guān)和偏相關(guān)參數(shù)進(jìn)一步對ARIMA模型定階。

步驟3結(jié)合步驟1和步驟2提取的自變量建立多元線性回歸模型。

步驟4對模型進(jìn)行擬合、驗(yàn)證及調(diào)整，對各參數(shù)顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，得到較完備的最終模型。

3.2 線性回歸模型建立

回歸分析是研究一個變量關(guān)于另一些變量的具體依賴關(guān)系的計(jì)算方法和理論，根據(jù)自變量的變化來預(yù)測因變量的變化，變化關(guān)系一般為相關(guān)關(guān)系，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個常用的方法，被廣泛地應(yīng)用于社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變量之間的影響因素和關(guān)聯(lián)的研究。

通過R語言將該品牌的銷售線索數(shù)據(jù)與銷量數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)因素分析，計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)為0.8052126，可以看出該品牌的銷售線索與汽車銷量之間的相關(guān)性很高。建立以銷售線索Xi為自變量，銷量Yi為因變量的線性回歸模型如下

上式中β0為截距項(xiàng)，βi為模型的參數(shù)，誤差項(xiàng)εi是隨機(jī)變量。

3.3 ARIMA模型建立

該品牌汽車銷量的月度數(shù)據(jù)具有長期趨勢、季節(jié)變動，隨機(jī)波動的特點(diǎn)，我們選擇通過自回歸模型進(jìn)行分析，自回歸模型被廣泛地應(yīng)用于包含銷量預(yù)測在內(nèi)的時間序列的分析與預(yù)測中。

ARIMA模型是對非平穩(wěn)時間序列進(jìn)行分析的方法，在對序列進(jìn)行差分后建立自回歸移動平均模型，季節(jié)性的ARIMA模型是在ARIMA模型的基礎(chǔ)上加入了季節(jié)的考慮而改進(jìn)的模型，假設(shè)對于Yt的隨機(jī)時間序列，經(jīng)過d階差分后為平穩(wěn)序列，模型滿足如下模型結(jié)構(gòu)：

其中B為延遲算子，有BpYt=Yt-p，誤差項(xiàng)是當(dāng)期的隨機(jī)干擾εt，為零均值白噪聲序列。其中：

稱該模型為AR IM A(p，d，q)(P，D，Q) m

首先建立該品牌以月為單位的銷量數(shù)據(jù)的原始序列Yt，t=1，2，3，…對銷量數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢查，時序圖如圖1，可以看出時序圖有明顯的遞減趨勢，單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的p值為0.2904，顯著大于0.05，該序列是非平穩(wěn)序列，自相關(guān)圖圖2顯示，自相關(guān)系數(shù)長期大于零，說明序列間有相關(guān)性。

圖2 自相關(guān)圖

對序列進(jìn)行一階差分?yt=?yt-?yt-1，如圖3顯示一階差分之后序列的時序圖在均值附近比較平穩(wěn)的波動，進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，p值為0.01，表明一階差分之后序列是平穩(wěn)的。

圖3 一階差分時序圖

對一階差分后的序列進(jìn)行自相關(guān)和偏相關(guān)判斷如圖4和圖5，從自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖可以看出，acf拖尾，pacf截尾，并且可以看出lag值延遲12階處，自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都顯著非零，說明一階差分后序列具有季節(jié)效應(yīng)。

圖4 一階差分自相關(guān)圖

圖5 一階差分偏自相關(guān)圖

圖6 兩次差分后自相關(guān)圖

圖7 兩次差分后偏相關(guān)圖

將ARIMA（1，1，0）（0，1，0）12模型各值帶入到式（2）中，可得該品牌基于歷史銷量的時間序列表達(dá)式為

3.4 模型組合

自回歸模型本身就是多元線性回歸模型的一種，通過式（3）可以確認(rèn)t時刻的隨機(jī)變量Yt是Yt-1、Yt-2、Yt-12、Yt-13、Yt-14的多元線性回歸。因此將上述自變量結(jié)合式（1），形成多元線性回歸方程（8），如下：

β0為截距項(xiàng)，β1～β6為模型的參數(shù)，Xt為t時刻銷售線索，Yt-1、Yt-2、Yt-12、Yt-13、Yt-14為對應(yīng)t-1、t-2、t-12、t-13、t-14時刻的歷史銷售數(shù)據(jù)，誤差項(xiàng)εt為t時刻隨機(jī)變量。

4 模型驗(yàn)證與調(diào)整

通過R語言進(jìn)行模型驗(yàn)證及參數(shù)調(diào)整，首先驗(yàn)證只有銷售線索變量的模型，根據(jù)式（1）進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，提取可決系數(shù)R2為0.5003，Rˉ2為0.4897，可以看出樣本擬合度不高，根據(jù)式（8）對組合后的模型進(jìn)行擬合度檢驗(yàn)，提取可決系數(shù)R2為0.8288，Rˉ2為0.8043，可決系數(shù)明顯提高，對模型進(jìn)行單個變量的顯著性檢驗(yàn)，各項(xiàng)t檢驗(yàn)的p值如表1，可以看出截距項(xiàng)的t檢驗(yàn)結(jié)果為不顯著。

表1 式（4）各變量的t檢驗(yàn)p值

剔除截距項(xiàng)，得到式（9）：

根據(jù)式（9）對進(jìn)行擬合度檢驗(yàn)，提取可決系數(shù)R2為0.9833，Rˉ2為0.981，可決系數(shù)進(jìn)一步提高，對模型進(jìn)行單個變量的顯著性檢驗(yàn)，各項(xiàng)t檢驗(yàn)的p值如表2，均小于0.05，模型整體顯著性檢驗(yàn)F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為421.8，兩個自由度為6和43，對應(yīng)的檢驗(yàn)P值為2.2e-16，說明模型整體是顯著的。

表2 式（5）各變量的t檢驗(yàn)p值

根據(jù)該模型預(yù)測值的百分比誤差RPE如表3。其中RPE計(jì)算公式如式（10），其中y^t為t時刻預(yù)測值，yt真實(shí)值。

表3 預(yù)測值的百分比誤差

5 結(jié)語

該模型在對2018年4月～2018年11月的銷量預(yù)測中，除了7月RPE值較大，其他預(yù)測偏差均在8%以內(nèi)，預(yù)測效果較為理想，證明了該模型建立方法的可行性。

銷售線索及歷史銷量數(shù)據(jù)是影響單品牌銷量預(yù)測的重要因素，在模型的建立過程中不可相同對待，銷售線索與銷量密切相關(guān)，可直接作為線性回歸模型的因變量處理，而歷史銷量具有趨勢性和季節(jié)性的特點(diǎn)對銷量預(yù)測的影響更加復(fù)雜，因此需要通過非平穩(wěn)時間序列的分析進(jìn)行模型因變量的提取，最后再將各個因變量進(jìn)行模型組合。整個模型建立過程中線性回歸模型是建模的基礎(chǔ)模型，各個因變量的提取是模型建立的關(guān)鍵。本文提出建模思路及方法符合大多數(shù)汽車品牌的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，較易實(shí)現(xiàn)，可為面向單品牌的汽車銷量預(yù)測提供參考。