漫話數(shù)學(xué)文化

摘 要：數(shù)學(xué)文化是一種理性思維方法在實(shí)踐過(guò)程中不斷形成的數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其應(yīng)用，它的主要特征有以下幾點(diǎn)：數(shù)學(xué)的思維性、數(shù)學(xué)的量化性、數(shù)學(xué)的發(fā)展性、數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.通過(guò)這樣的歸納，并有效滲透于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，促進(jìn)學(xué)生理性思維的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)理性思維

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2021）24-0010-02

收稿日期：2021-05-25

作者簡(jiǎn)介：晏鴻（1975-），男，中學(xué)高級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)作為一種文化，已得到了社會(huì)的認(rèn)可，數(shù)學(xué)文化不同于語(yǔ)言，藝術(shù)，技術(shù)一類的文化，它屬于科學(xué)文化.數(shù)學(xué)文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，在遠(yuǎn)古時(shí)期產(chǎn)生的人類語(yǔ)言中就蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)元素，出現(xiàn)了“有”、“無(wú)”兩個(gè)朦朧的數(shù)學(xué)概念，可用來(lái)表示食物的無(wú)或有.進(jìn)而“有”生“一”、“一”生“二”、“二”生“三”與“多”，產(chǎn)生了多個(gè)不同的原始數(shù)學(xué)概念.大約1萬(wàn)年前，人們?cè)谌粘５霓r(nóng)耕生活中，經(jīng)常會(huì)碰到關(guān)于怎樣記錄年份、季節(jié)、日期，怎樣計(jì)算獵物數(shù)，種子數(shù)的問(wèn)題.為了便于交流，還需要有數(shù)的名稱，這就出現(xiàn)了埃及人和美索不達(dá)米亞人的劃印、刻痕的原始數(shù)字標(biāo)記，產(chǎn)生了最早的書(shū)寫自然數(shù)的方法.約5000年以前，埃及人已會(huì)用其他符號(hào)表示“十”和更大的自然數(shù).我國(guó)從上古時(shí)期開(kāi)始，也創(chuàng)造出了屬于自己的，具有本民族特色的計(jì)數(shù)方法.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，現(xiàn)實(shí)的需要為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了不竭的動(dòng)力，數(shù)學(xué)必須同步于社會(huì)的發(fā)展，解決人類生活中出現(xiàn)的新問(wèn)題，反之?dāng)?shù)學(xué)又在解決這些新問(wèn)題的過(guò)程中，不斷地豐富、發(fā)展和充實(shí)自身.總之?dāng)?shù)學(xué)是伴隨著人類的出現(xiàn)而誕生的.人類通過(guò)勞動(dòng)，不但創(chuàng)造大量的物質(zhì)財(cái)富，也創(chuàng)造了數(shù)學(xué)學(xué)科與數(shù)學(xué)文化.

數(shù)學(xué)作為一種文化的主要特征有以下幾點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)的思維性;（2）數(shù)學(xué)的量化性;（3）數(shù)學(xué)的發(fā)展性;（4）數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.

一、數(shù)學(xué)的思維性

數(shù)學(xué)是人類探索現(xiàn)實(shí)世界存在的數(shù)量關(guān)系和空間形式的研究成果，并將這些思維成果進(jìn)一步豐富和推廣，應(yīng)用于人類本身的科學(xué).因此，數(shù)學(xué)是思維的成果，思維是數(shù)學(xué)的核心，思維推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展.

例1 如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.同理對(duì)于高中階段的圓錐曲線來(lái)說(shuō)，雖然圓是相似的，但是橢圓（或雙曲線）是不相似的.那么所有的拋物線是否相似呢？

分析 對(duì)于兩個(gè)不同的拋物線，當(dāng)我們對(duì)它經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)平移后總可使它們的頂點(diǎn)都移到坐標(biāo)原點(diǎn)，開(kāi)口都向上，使y軸成為它們的對(duì)稱軸.（圖形如右），設(shè)兩拋物線方程為c1：y=a1x2和c2： y=a2x2，a1≠a2，a1，a2∈R+為定值.從原點(diǎn)O作射線y=kx交c1，c2于A，B兩點(diǎn)，可得Aka1，k2a1，Bka2，k2a2，∴OAOB=k2a12+k4a12k2a22+k4a22=a2a1（為定值），所以兩拋物線c1，c2相似.由a1，a2的任意性知所有拋物線均相似.

從這個(gè)例子就足以說(shuō)明思維是數(shù)學(xué)的基石，思維推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展.

二、數(shù)學(xué)的量化性

數(shù)學(xué)是一種科學(xué)文化，它同時(shí)又滲入人文科學(xué)之中，數(shù)量化是數(shù)學(xué)文化區(qū)別于其它文化的顯著特點(diǎn)之一.其中數(shù)學(xué)運(yùn)算是許多科學(xué)研究、日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中所必須用到是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，它是解決許多疑難問(wèn)題的鑰匙，這種量化性在人文科學(xué)中也顯示出它的魅力.

在日常生活中，人們常常喜歡用數(shù)量化來(lái)論理喻事.例如，如果我們將時(shí)間當(dāng)做橫軸，價(jià)值當(dāng)做縱軸，把自己的人生價(jià)值刻畫(huà)在坐標(biāo)系上.就會(huì)發(fā)現(xiàn)一些“時(shí)間點(diǎn)”處于高峰，一些“時(shí)間點(diǎn)”置于低谷.如果高峰的點(diǎn)密密麻麻，連成價(jià)值的“實(shí)線”，就會(huì)感到欣慰，沒(méi)有虛度光陰;如果處于低谷的點(diǎn)比比皆是，構(gòu)成無(wú)為的“虛線”，就難免嘆息惆悵;如果橫軸的下方還存在“點(diǎn)”，那將會(huì)是人生的悔恨恥辱.

數(shù)學(xué)的量化性在人文科學(xué)中刻畫(huà)得最深刻的莫過(guò)于中國(guó)的一句古語(yǔ)：“三個(gè)臭皮匠，頂一個(gè)諸葛亮”.其實(shí)這句名言是可以用統(tǒng)計(jì)概率的方法加以證明的.

假設(shè)有3個(gè)臭皮匠，獨(dú)立解決一個(gè)問(wèn)題的可能性分別為：P（A）=0.45，P（B）=0.55，P（C）=0.60，則他們?nèi)嗽谝黄鹬辽儆幸粋€(gè)人能解決一個(gè)問(wèn)題的可能性為：

P（AUBUC）=0.45+0.55+0.60-0.45×0.55-0.55×0.60-0.60×0.45+0.45×0.55×0.60=0.901

0.901說(shuō)明三個(gè)“臭皮匠”也能夠解決百分之九十以上的問(wèn)題，足足可以頂個(gè)“諸葛亮”.由此產(chǎn)生另一句名言“一個(gè)好漢三個(gè)幫”.

在自然科學(xué)中，數(shù)學(xué)的量化性更是功不可滅，沒(méi)有準(zhǔn)確的計(jì)算，人類怎么能發(fā)射火箭，登上月球并順利返回;沒(méi)有量化的計(jì)算，更沒(méi)有汽車、高樓、手機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、區(qū)塊鏈等等現(xiàn)代文化.數(shù)量化是每個(gè)人必須具備的基本數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，每個(gè)人都應(yīng)當(dāng)具備運(yùn)用這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)的能力，它包括良好的數(shù)學(xué)直觀、對(duì)數(shù)據(jù)信息的敏感度、以及把具體問(wèn)題數(shù)量化的能力，都是日常生活中不可缺少的解決問(wèn)題的工具，是美好生活的必需品.

三、數(shù)學(xué)的發(fā)展性

數(shù)學(xué)始終處于“否定—?jiǎng)?chuàng)新—再否定”的循環(huán)發(fā)展過(guò)程之中，而每一個(gè)否定，都使得數(shù)學(xué)得到加深拓寬、增維添元，都使得數(shù)學(xué)進(jìn)一步走向完善，并涌現(xiàn)出新數(shù)學(xué)分支且由此得到進(jìn)一步廣泛的應(yīng)用.

無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生，打破了任何兩個(gè)數(shù)的可公度性，使數(shù)擴(kuò)大到實(shí)數(shù)，虛數(shù)的產(chǎn)生破壞了人們的常規(guī)理念，但數(shù)系又?jǐn)U大到復(fù)數(shù).19世紀(jì)末，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論曾被認(rèn)為是理想狀態(tài)，而幾個(gè)集合悖論的出現(xiàn)，就使它的基礎(chǔ)產(chǎn)生了動(dòng)搖，但數(shù)學(xué)并沒(méi)有停止發(fā)展，一門新的學(xué)科，“模糊數(shù)學(xué)”由此產(chǎn)生了.

空間的維數(shù)分為一維、二維、三維、四維的整數(shù)維數(shù)是如此根深蒂固地扎根于人們的大腦之中，但隨著“雪花曲線”的出現(xiàn)，我們得到面積有限的雪花，它的周長(zhǎng)卻可趨于無(wú)限，那么“雪花曲線”的維數(shù)是一維還是二維呢？在一塊有限的空間里怎樣才能放進(jìn)一條要多長(zhǎng)就有多長(zhǎng)的曲線呢？如果我們放下了，由于它被壓擠在一起，勢(shì)必密密麻麻地完全覆蓋了一塊面積.如果是這樣，邊界曲線已經(jīng)沒(méi)有我們直觀中的線狀形象了，這樣的曲線你還能稱它為曲線嗎？如果不稱為曲線，又不稱為面，那應(yīng)稱為什么呢？隨著這個(gè)問(wèn)題的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造了專論分?jǐn)?shù)維數(shù)的學(xué)科—分形學(xué).并為工程、化學(xué)、測(cè)量、物理、機(jī)械等許多領(lǐng)域里提供了無(wú)窮無(wú)盡的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)從河圖洛書(shū)到八卦文化，從勾股定理到幾何作圖，從黃金分割到圓周率的計(jì)算，從哥尼斯堡到莫比烏斯，從平面鑲嵌到離奇分形，無(wú)不充滿著變化和發(fā)展.“變”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)唯有不斷改變，才會(huì)越來(lái)越強(qiáng)大.

四、數(shù)學(xué)的應(yīng)用性

數(shù)學(xué)的價(jià)值在于它的應(yīng)用性.它具備簡(jiǎn)捷而不繁瑣，互補(bǔ)而不互斥，相容而不矛盾，以及或可近似或可精確的諸多稟性，使得數(shù)學(xué)與其它學(xué)科水乳交融，你中有我，我中有你，和諧共處，象石榴籽一樣緊緊抱在一起.正如美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)：“詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，繪畫(huà)能使人賞心悅目，音樂(lè)能激發(fā)和撫慰情懷，哲學(xué)能使人獲得智慧，而數(shù)學(xué)卻能提供以上的一切.”

數(shù)學(xué)的應(yīng)用性還體現(xiàn)在我們學(xué)過(guò)見(jiàn)過(guò)的一些古詩(shī)詞中，從中能找到一種數(shù)學(xué)意境，讓人遐想，讓人品味.如：“大謨孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”;“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，惟見(jiàn)長(zhǎng)江天際流”;“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”;“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”;“白發(fā)三千丈”;“日行八萬(wàn)里”等詩(shī)文，都隱含著數(shù)學(xué)的思想，數(shù)學(xué)的理念.甚至連玩的游戲，若用數(shù)學(xué)來(lái)進(jìn)行指導(dǎo)，也會(huì)使人耳目一新.

例2 有5張撲克牌分別是紅桃A、K、Q、L、10，將它們從左到右依次按AKQL10序排列，每次可平行移動(dòng)一張或相鄰的二張牌（移兩張時(shí)這兩張不能分開(kāi)），移動(dòng)三次，要將它們的次序從左至右變成10LQKA的次序.試問(wèn)應(yīng)該怎樣移動(dòng)呢？

下面我們用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題如下：從已知排序到結(jié)果的排序，A改變了四個(gè)位置，K改變了二個(gè)位置，Q沒(méi)有改變，L改變了二個(gè)位置，10改變了四個(gè)位置，故一共改變了12個(gè)位置.如果只能移動(dòng)三次，則最佳移動(dòng)應(yīng)該每次移12÷3=4個(gè)位置，即每次移二張牌，平移兩個(gè)位置，順著此思路可簡(jiǎn)捷地找到下列解法：

AKQL10→QLAK10→QK1OLA→10LQKA

此外，數(shù)學(xué)具有育人的價(jià)值，它在培養(yǎng)人的思維能力，良好的個(gè)性品質(zhì)和辨證唯物主義的世界觀方面，與人文科學(xué)和其它自然科學(xué)起著相輔相成的作用.至于它的其它一些價(jià)值（包括預(yù)見(jiàn)和對(duì)人力、物力、時(shí)間的節(jié)?。?，也不斷轉(zhuǎn)化為巨大的社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，這就是數(shù)學(xué)文化的實(shí)用性.

數(shù)學(xué)發(fā)展到今天已成為人們不可或缺的知識(shí)，這也是數(shù)學(xué)工作者既平凡，又偉大之處，愿數(shù)學(xué)伴隨著我們每一個(gè)人.

參考文獻(xiàn)：

[1]晏鴻.二個(gè)常規(guī)問(wèn)題背后的新故事[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（20）：127.

[責(zé)任編輯：李 璟]