層狀地基中考慮樁端應(yīng)力泡形擴(kuò)散的單樁沉降計(jì)算方法

王立興 吳文兵 楊曉燕 張?jiān)迄i 王奎華

摘 要：基于虛土樁模型，研究了樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)對(duì)單樁沉降的影響。結(jié)合虛土樁模型和Boussinesq解，提出考慮樁端應(yīng)力泡形擴(kuò)散的應(yīng)力泡形虛土樁模型來(lái)考慮樁端土對(duì)樁的支承作用;利用荷載傳遞法，對(duì)樁周土采用雙折線模型，推導(dǎo)得到層狀地基中考慮樁端應(yīng)力泡性擴(kuò)散的單樁沉降解析解;討論了彈性極限位移、彈性抗剪切剛度系數(shù)、附加應(yīng)力值等參數(shù)對(duì)單樁沉降的影響;結(jié)合工程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，將該方法與現(xiàn)有理論解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了方法的合理性。應(yīng)力泡形虛土樁模型的最大優(yōu)勢(shì)在于能夠較嚴(yán)格地給出樁端應(yīng)力擴(kuò)散邊界，具有更廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)螛冻两?應(yīng)力泡形虛土樁;層狀地基;應(yīng)力擴(kuò)散;荷載傳遞法

中圖分類(lèi)號(hào)：TU473.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-6717（2021）06-0065-09

Abstract： Based on the fictitious soil pile model， the effect of pile-end stress diffusion on the settlement of a single pile has been investigated theoretically. Firstly， a pile-end stress-bubble fictitious soil pile model considering the spread of the pile-end stress-bubble was proposed to simulate the supporting effect of the pile end soil on the pile body by combining the fictitious soil pile model and Boussinesq solution. Then， based on the load transfer method， an analytical solution of single pile settlement considering pile-end stress-bubble diffusion in layered foundation was derived by utilizing the double-broken-line model for the soil around the pile. Furthermore， the effects of parameters such as elastic limit displacement， elastic shear stiffness coefficient and additional stress value on the settlement of single pile were discussed based on the present solution. Finally， combining with the actual engineering data， the present method was validated by comparing with existing theoretical solution. The stress-bubble fictitious soil pile model is more meaningful for engineering applications on account of the obvious advantage that the stress diffusion boundary at pile end can be given more strictly.

Keywords：single pile settlement; stress-bubble fictitious soil pile; layered soils; stress diffusion; load transfer method

樁基沉降計(jì)算是樁基工程設(shè)計(jì)中非常重要的部分。學(xué)者們對(duì)樁基沉降進(jìn)行了廣泛而深入的研究，得到了很多有價(jià)值的單樁沉降計(jì)算方法，如荷載傳遞法[1-7]、剪切位移法[8-10]、彈性理論法[11-13]、規(guī)范法[14]和數(shù)值計(jì)算法[15-17]等，其中，荷載傳遞法因可通過(guò)不同的樁土相互作用模型來(lái)反映樁土共同作用、地基層狀特性而被學(xué)者廣泛運(yùn)用。總的來(lái)說(shuō)，基于荷載傳遞法的樁土相互作用模型主要有理想彈塑性模型[1，4-6]、雙折線硬化模型[3，18]、三折線模型[19]及雙曲線模型[7]，通過(guò)選取不同的樁土相互作用模型，可以較準(zhǔn)確地得到不同土性中單樁的沉降，具有較好的工程適用性。

上述研究采用荷載傳遞法計(jì)算樁基沉降時(shí)，均將樁端土對(duì)樁的支撐作用簡(jiǎn)化為彈簧模型，彈簧參數(shù)可結(jié)合樁端土硬化特性、非線性特性等根據(jù)實(shí)測(cè)的樁端反力位移曲線反演確定。然而，這種彈簧支撐模型存在一些不足：無(wú)法考慮樁端土體的層狀特性;無(wú)法建立樁端土層物理力學(xué)性質(zhì)與彈簧參數(shù)之間的相互關(guān)系;且無(wú)法反映持力層內(nèi)及以下土體性質(zhì)的變化對(duì)單樁沉降的影響[20]。為此，Wu等[20-21]提出了虛土樁模型，并用于樁基縱向和扭轉(zhuǎn)動(dòng)力特性分析。隨后，王奎華等[22]率先將虛土樁模型應(yīng)用于層狀地基中的單樁沉降計(jì)算分析，并提出采用錐型虛土樁模型來(lái)考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)對(duì)單樁沉降的影響[23]，辛冬冬等[24]將虛土樁模型推廣到層狀地基中的群樁沉降分析。盡管虛土樁模型能很好地考慮樁端層狀特性對(duì)基樁靜動(dòng)力學(xué)特性的影響，且能在一定程度上考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)，但虛土樁的合理長(zhǎng)度及應(yīng)力擴(kuò)散影響范圍到底多大仍不得而知。

為了更好地分析樁端土性質(zhì)對(duì)單樁沉降的影響，筆者基于Boussinesq解提出了一種應(yīng)力泡形虛土樁模型來(lái)考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)，并基于荷載傳遞法對(duì)樁側(cè)土采用雙折線模型、對(duì)樁端土采用應(yīng)力泡形虛土樁模型，考慮樁端土中實(shí)際附加應(yīng)力的分布情況，推導(dǎo)得到了成層地基中的單樁樁頂沉降計(jì)算公式。

1 數(shù)學(xué)模型及假設(shè)條件

1.1 應(yīng)力泡形虛土樁模型的建立

根據(jù)Boussinesq解可知，樁端土體中附加應(yīng)力大致的分布規(guī)律為：在徑向上隨著徑向半徑的增加逐漸減小，在豎向上隨著深度的增加也逐漸減小，在整體空間中呈橢球型泡狀分布，即應(yīng)力泡。假設(shè)樁端對(duì)土體的作用力為均布荷載形式，根據(jù)Boussinesq解可以求出樁端土中應(yīng)力分布形式的解析式，然后建立應(yīng)力泡形虛土樁模型。建立如圖1所示的軸對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)系，基于Boussinesq解，通過(guò)積分可以求得圓形均布荷載作用下地基土體中任意一點(diǎn)的豎向應(yīng)力分布[25]。

式中：σ-為附加應(yīng)力分布線;σz為地基中任意點(diǎn)的豎向應(yīng)力;P為樁端平均應(yīng)力，即均布荷載;z為任意點(diǎn)的深度，即距樁端的豎向距離;R為任意點(diǎn)的徑向距離，即距均布荷載的水平距離;r0為樁體半徑，即圓形荷載的作用半徑;r為均布荷載微單元距離均布荷載中心（即樁軸心）的距離;θ為均布荷載微單元與任意點(diǎn)在水平面上投影的夾角。

將式（1）求解得到的相同數(shù)值的豎向應(yīng)力等值線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周就形成一系列以z軸為中心的三維應(yīng)力等值面，將等值面以?xún)?nèi)的土體看作是受荷主體，即為應(yīng)力泡形虛土樁的主體部分，如圖2所示。

1.2 樁土相互作用模型的建立

樁周土采用雙折線模型，如圖3所示，荷載傳遞函數(shù)為

式中：u為樁周土的位移;ub為樁周土的彈性極限位移;fs為單位長(zhǎng)度樁周側(cè)摩阻力;λ為理想彈塑性模型的彈性抗剪切剛度系數(shù)，kN/m2。

樁端土采用應(yīng)力泡形虛土樁模型，把樁端至基巖之間的應(yīng)力泡形土體看成“土樁”，即所謂虛土樁，其參數(shù)分別取各實(shí)際土層參數(shù)，而變形按類(lèi)似于樁的平面假定。根據(jù)樁端土層成層性情況及樁端土體性質(zhì)和受力環(huán)境是否變化而把實(shí)體樁和虛土樁一共分為n（n>m）段，其中實(shí)體樁分成m段，虛土樁分成N（即N=n-m）段，從實(shí)體樁頂部向下依次編號(hào)為1、2、…、i、…、m、m+1、…、n，各樁段厚度分別為l1、l2、…、li、…、ln，實(shí)體樁總長(zhǎng)為L(zhǎng)1，虛土樁總長(zhǎng)為L(zhǎng)2，各段樁的埋深分別為z1、z2、…、zi、…、zn。計(jì)算時(shí)，可以將虛土樁各樁段再細(xì)分為很薄的圓柱體進(jìn)行近似計(jì)算，計(jì)算精度由單元數(shù)N控制，計(jì)算中可以直接將樁土體系按照m+N段進(jìn)行計(jì)算。具體的樁體分段與樁土相互作用體系簡(jiǎn)圖如圖2所示。由式（1）可求得虛土樁各深度樁段對(duì)應(yīng)的半徑Ri，即各段實(shí)體樁和虛土樁的半徑分別為

1.3 樁土體系相關(guān)假設(shè)

1）樁土體系呈線彈性狀態(tài)，實(shí)體樁樁身截面均勻，虛土樁以應(yīng)力泡的形式存在。

2）樁體與土體之間沒(méi)有相對(duì)滑移，實(shí)體樁與虛土樁的各樁段交界面之間為完全連續(xù)接觸，滿(mǎn)足連續(xù)性條件。

3）樁單元中任意點(diǎn)的位移只與該點(diǎn)的樁周側(cè)摩阻力有關(guān)，虛土樁端部為剛性支撐。

4）地基中同一土層的物理力學(xué)性質(zhì)沿深度方向不變。

5）虛土樁的力學(xué)行為與樁體相符合，參數(shù)為土體參數(shù)。

2 樁頂沉降計(jì)算方程建立及求解

根據(jù)荷載在樁身的傳遞機(jī)理，樁體的截面軸力及位移隨深度的增加，逐漸減小，且隨著樁頂荷載的增加，截面軸力及位移逐漸向樁底發(fā)展。因此，隨著荷載的增加，樁周土由淺入深逐漸進(jìn)入塑性階段。根據(jù)樁土體系所處狀態(tài)的不同，分3個(gè)階段分別給出樁頂荷載和沉降的計(jì)算公式。需要說(shuō)明的是，由于樁基受力后通常僅對(duì)樁周徑向一定范圍內(nèi)的土體產(chǎn)生影響，這里所指的樁周土體即樁基應(yīng)力影響范圍內(nèi)的土體。

首先推導(dǎo)荷載傳遞函數(shù)基本微分方程，根據(jù)樁上任意一個(gè)單元體的靜力平衡條件，可以得到

式中：E為該樁段彈性模量;A為該樁段截面面積;P為該樁段頂部荷載。

對(duì)式（5）兩端求導(dǎo)，并將式（4）代入，可得荷載傳遞法的基本微分方程

2.1 樁周土全部處于彈性階段

當(dāng)樁頂荷載較小時(shí)，樁周土全部處于彈性階段，根據(jù)式（4）～式（6），此時(shí)第i個(gè)樁段截面位移u（x）應(yīng)滿(mǎn)足方程

式中：Pi為第i段樁體頂部荷載;Si為第i段樁體頂部位移;zi為第i段樁體截面到樁頂?shù)木嚯x;Ei為第i段樁體彈性模量;Ai為第i段樁體橫截面積;λi為第i段樁體彈性抗剪切剛度系數(shù)。

各虛土樁段面積Ai值計(jì)算采用式（8）。

根據(jù)式（12）和式（14）可以遞推得到樁體頂部剛度K1，進(jìn)而根據(jù)樁頂荷載P1，就可以求得樁頂沉降值S1。

式（12）和（14）中所需要的計(jì)算參數(shù)均可以由實(shí)測(cè)的土層參數(shù)直接或間接計(jì)算得到。因此，根據(jù)式（11）～式（15）就可以求得樁頂沉降值。

2.2 樁周土部分處于塑性階段

樁周土部分處于塑性階段時(shí)，樁土的相互作用體系簡(jiǎn)圖如圖4所示，塑性樁段的長(zhǎng)度為L(zhǎng)a，由于塑性樁段的長(zhǎng)度La與樁頂荷載和樁周土的性質(zhì)有關(guān)，在實(shí)際工程應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)確定樁周土處于塑性階段的深度La。

根據(jù)假設(shè)，當(dāng)樁周土部分處于塑性階段時(shí)，可以依據(jù)樁周土所處的狀態(tài)把樁分為兩個(gè)部分，即塑性段和彈性段，先按照式（11）～式（15）計(jì)算彈性樁段的剛度，再按照式（18）計(jì)算塑性樁段的剛度，就可以得到單樁樁頂沉降值。

2.3 樁周土全部處于塑性階段

樁周土全部處于塑性階段時(shí)，如圖4所示，即La=L1+L2?？汕蟮玫趎段樁的樁頂荷載及位移為

當(dāng)樁周土全部處于塑性階段時(shí)，結(jié)合式（18）和式（19）遞推就可以得到單樁樁頂沉降值。

3 計(jì)算參數(shù)的選取及影響

3.1 彈性極限位移ub

對(duì)于彈性極限位移，很多學(xué)者都有研究，目前有經(jīng)驗(yàn)法[26-27]、經(jīng)驗(yàn)公式法[28]及應(yīng)變計(jì)測(cè)試方法[29]。為了在實(shí)際工程應(yīng)用中方便取值，建議采用應(yīng)變計(jì)測(cè)試方法進(jìn)行計(jì)算。

式中：s0為樁頂沉降量;ubi為第i段樁土體系的極限位移;li為第i段樁的長(zhǎng)度;εi為靜載試驗(yàn)中在樁頂作用承載力設(shè)計(jì)值時(shí)第i個(gè)測(cè)試面的應(yīng)變。

通過(guò)靜載試驗(yàn)，將加載到極限承載力時(shí)測(cè)試得到的樁頂沉降量和應(yīng)變值代入式（20），就可以求得樁土彈性極限位移。

3.2 彈性抗剪切剛度系數(shù)λ

與彈性極限位移類(lèi)似，為了在實(shí)際工程應(yīng)用中方便取值，建議彈性抗剪切剛度系數(shù)采用應(yīng)變計(jì)測(cè)試方法進(jìn)行計(jì)算。

式中：τui為第i段樁的極限側(cè)摩阻力;τi與ui為靜載試驗(yàn)?zāi)骋患?jí)荷載作用下計(jì)算得到的第i段樁的側(cè)摩阻力與相對(duì)位移。

在雙折線模型中，λ為斜線段斜率，知道任一點(diǎn)的側(cè)摩阻力和相對(duì)位移就可以計(jì)算得到抗剪切剛度系數(shù)。

3.3 附加應(yīng)力值σz

由式（1）可以看出，附加應(yīng)力值σz是利用應(yīng)力泡形虛土樁模型分析單樁沉降的一個(gè)重要參數(shù)，選取不同的附加應(yīng)力值σz意味著選用了范圍大小不同的應(yīng)力泡形虛土樁模型，如圖5所示。樁端土體的沉降對(duì)樁頂沉降有較大的貢獻(xiàn)，因此，選取范圍不同的應(yīng)力泡形虛土樁模型對(duì)樁頂沉降影響很大。

3.3.1 算例1：樁端土為軟弱土

為了考慮樁端應(yīng)力泡范圍不同的影響，取上硬下軟雙層土作為算例1，實(shí)體樁深度范圍內(nèi)為硬黏土，虛土樁范圍內(nèi)為軟弱土，土層參數(shù)來(lái)源于文獻(xiàn)[30]，如表1所示。

樁身彈性模量Ep=3×104 MPa，樁身半徑r0=0.5 m，樁頂荷載P取2 000、3 000、4 000 kN，附加應(yīng)力值σz取0.1P～0.000 01P，虛土樁部分按照0.5 m分層計(jì)算，得到樁頂?shù)某两抵等鐖D6所示。

如圖6所示，在樁側(cè)土為硬土，樁端土為軟土的雙層地基中，附加應(yīng)力范圍對(duì)樁頂沉降的影響不明顯，沉降變化不大。整體上，隨著附加應(yīng)力范圍的增大（即應(yīng)力泡形虛土樁范圍增大），樁頂沉降隨之減小，但減小幅度不大。

3.3.2 算例2：樁端土為硬黏土或砂性土

取上軟下硬雙層土作為算例2，實(shí)體樁深度范圍內(nèi)為軟弱土，虛土樁范圍內(nèi)為硬黏土或砂性土，各參數(shù)取值如表2所示。

樁身彈性模量Ep=3×104 MPa，樁身半徑r0=0.5 m，樁頂荷載P取2 000、3 000、4 000 kN，附加應(yīng)力值σz取0.1P～0.000 01P時(shí)，虛土樁部分按照0.5 m分層計(jì)算，得到樁頂?shù)某两抵等鐖D7所示。

如圖7所示，在樁側(cè)土為軟土，樁端土為硬土的雙層地基中，附加應(yīng)力范圍對(duì)樁頂沉降的影響明顯，尤其是附加應(yīng)力分布線σ-從0.1～0.001變化時(shí)，沉降變化較大，特別是當(dāng)附加應(yīng)力分布線σ-從0.003～0.004變化時(shí)會(huì)有一個(gè)沉降突變，這是由于應(yīng)力泡的影響深度大于樁端土的厚度，即應(yīng)力泡下端部分變成了基巖，而基巖不發(fā)生沉降，因此樁頂沉降突然減小。但整體上，隨著附加應(yīng)力范圍的增大（即應(yīng)力泡形虛土樁范圍增大），樁頂沉降隨之減小，并且當(dāng)附加應(yīng)力范圍的增大到一定值后，樁頂沉降變化幅值變小。

綜合上述分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樁周土性好時(shí)，樁以側(cè)阻為主，應(yīng)力泡形虛土樁范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響不大;而當(dāng)樁周土性差時(shí)，樁以端承為主，應(yīng)力泡形虛土樁范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響明顯;且當(dāng)應(yīng)力泡的影響深度大于樁端土層厚度時(shí)，會(huì)有沉降值的突變。實(shí)際工程中，應(yīng)針對(duì)不同類(lèi)型的樁周土及樁端土的性質(zhì)與樁端土的厚度，選擇合適的應(yīng)力泡范圍，當(dāng)樁端土厚度并非過(guò)大時(shí)，可以選擇應(yīng)力泡的影響深度等于樁端土厚度時(shí)的應(yīng)力泡作為虛土樁模型的邊界進(jìn)行計(jì)算。

4 工程實(shí)例分析

王奎華等[23]提出了考慮應(yīng)力擴(kuò)散角的樁頂沉降計(jì)算模型，并通過(guò)計(jì)算兩根試樁的沉降與實(shí)測(cè)值對(duì)比驗(yàn)證了其實(shí)用性。為驗(yàn)證該方法的合理性及實(shí)用性，對(duì)文獻(xiàn)[23]中的T3、T4樁進(jìn)行擬合，并將擬合結(jié)果與原文實(shí)測(cè)值及其計(jì)算值做對(duì)比分析，與文獻(xiàn)[23]保持一致，采用樁周土處于彈性階段公式計(jì)算。樁周土及樁端土的物理力學(xué)性質(zhì)參數(shù)來(lái)源于文獻(xiàn)[23]，如表3所示。

T3試樁：樁直徑為800 mm，樁長(zhǎng)61.8 m;T4試樁：樁直徑為1 000 mm，樁長(zhǎng)73.8m，樁身彈性模量Ep=3.3×107 kPa。采用本文解計(jì)算各樁頂沉降量并與文獻(xiàn)[23]計(jì)算結(jié)果及實(shí)測(cè)值對(duì)比，見(jiàn)圖8及圖9。利用該方法計(jì)算時(shí)，T3樁與T4樁的虛土樁部分取至第15層粉土底部，根據(jù)式（1）計(jì)算虛土樁影響深度剛好為第15層粉土底部時(shí)的T3試樁附加應(yīng)力值為0.000 36P，T4試樁附加應(yīng)力值為0.001 2P，并分別選取此時(shí)的應(yīng)力泡范圍作為虛土樁邊界進(jìn)行計(jì)算。

與兩根試樁的實(shí)測(cè)值與文獻(xiàn)[23]的擴(kuò)散角法計(jì)算值對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，該方法考慮應(yīng)力泡形擴(kuò)散的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[23]考慮應(yīng)力擴(kuò)散角的計(jì)算結(jié)果較為接近，與實(shí)測(cè)結(jié)果具有較好的一致性。與文獻(xiàn)[23]的錐形虛土樁模型相比，該模型的最大優(yōu)勢(shì)在于能夠較嚴(yán)格地給出樁端應(yīng)力擴(kuò)散邊界，因而具有更廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)論

1）基于虛土樁模型并結(jié)合Boussinesq解，提出了考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)的應(yīng)力泡形虛土樁模型，并建立了基于該模型單樁沉降計(jì)算的解析解。該解能夠計(jì)算樁側(cè)土體處于彈性及塑性階段時(shí)的樁頂荷載沉降曲線，參數(shù)明確，應(yīng)用簡(jiǎn)便，可以用于工程現(xiàn)場(chǎng)單樁沉降量的計(jì)算分析，為樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)提供較為準(zhǔn)確的沉降值。

2）當(dāng)樁周土性較好時(shí)，樁側(cè)摩阻力發(fā)揮主要作用，樁周土承擔(dān)主要荷載，應(yīng)力泡范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響不明顯，可取較小范圍的應(yīng)力泡形虛土樁;當(dāng)樁周土性較差時(shí)，樁端阻力發(fā)揮主要作用，樁端土承擔(dān)主要荷載，應(yīng)力泡范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響明顯，應(yīng)針對(duì)不同類(lèi)型的樁周土及樁端土的性質(zhì)與樁端土的厚度，選擇合適的應(yīng)力泡范圍。

3）通過(guò)分析不同附加應(yīng)力取值對(duì)單樁樁頂沉降量的影響發(fā)現(xiàn)，當(dāng)應(yīng)力泡的影響深度大于樁端土厚度時(shí)，會(huì)發(fā)生沉降量的突變。因此，在工程應(yīng)用中，可以選取應(yīng)力泡的影響深度恰好是樁端土厚度時(shí)的應(yīng)力泡形虛土樁模型進(jìn)行計(jì)算。

4）該方法與錐形虛土樁模型對(duì)兩根試樁的沉降計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比表明，該方法的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果有較好的一致性。同時(shí)，該模型的最大優(yōu)勢(shì)在于能夠較嚴(yán)格地給出樁端應(yīng)力擴(kuò)散邊界，因而具有更廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。

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（編輯 黃廷）