連珠成線 連線成片

董衛(wèi)鳳

當新課程不再“新”，解決問題也不再是“問題”，“解決問題”還是讓老師們感到困惑。

教師困惑之一， “解決問題”的信息呈現(xiàn)花花綠綠可以接受，一個例題出來后，并不像以往“應用題”那樣有“相似情境、相似結構、相似問題”的練習也接受，但是例題和練習不匹配，練習范圍廣、變化多，讓人難以捉摸，學生錯誤多。教師困惑之二，當教師引導學生關注怎么解決問題的過程和方法，卻發(fā)現(xiàn)教材不再提供數(shù)量關系的分析，數(shù)量關系到底怎么控制一個“度”，教材沒有“完整總結”，“解決問題”似乎變得教學結構不清，思路難定。

問題即挑戰(zhàn)，面對教師在解決問題教學中的困惑，我們確立校本教研以“解決問題教學”為研究主題，主要探求幾個問題：怎樣正確解讀解決問題教學的教材？怎樣定位解決問題教學中的學生難點？怎樣進行解決問題學法指導？筆者和同事們以《有余數(shù)除法解決問題》教學節(jié)為例，對以上問題進行探索和研究。

一、解讀教材文本

我們首先思考教材，教材是否存在問題？我們教師究竟怎樣解讀教材？

思考一：解決問題的教材，真的很凌亂嗎？

解決問題的教材，真的是零打碎敲嗎？真的沒有章法嗎？真的是例題一類練習一類嗎？教研組的老師對二年級下冊“有余數(shù)除法解決問題”的第67-71頁進行了分析，選擇典型分析列表如下

教材解讀分析：

根據(jù)上表所示，人教版二年級下冊《有余數(shù)除法解決問題》的教材編寫，應該說教材的編寫者確實有其獨到之處。

（1）仔細解讀文本，類型全面并不凌亂：人教版二年級下冊第67頁到第71頁的有余數(shù)除法15道解決問題，涵蓋了有余數(shù)除法的幾大類型。第一類，與有余數(shù)除法計算教學緊密結合的問題，類似“可以坐滿幾輛車，會有剩余的人嗎？”的“兩問式”典型問題;第二類“至少要租幾條船”的“求至少”的“進一類”問題，第三類“最多可以買幾瓶？”的“求最多”的“去尾類”;第四類 “再過多少天是星期幾？”的等余問題類;如練習十五第6題;第五類“這條彩帶有多長”，有余數(shù)除法的逆用類。第六類綜合應用，多種情境組合的有余數(shù)除法解決問題。

（2）通讀2-5年級教材，呼應緊密一脈相承：

本課教學，對于有余數(shù)除法的計算，包括口算、筆算，學生已有了能力上的儲備。有余數(shù)除法為三年級學習一位數(shù)除多位數(shù)打基礎，解決問題部分與五年級的用“去尾法”“進一法”“四舍五入法”求商的近似值一脈相承，余數(shù)在周期性問題中的運用是一二年級“找規(guī)律”從圖形到式題的一次思維提升。

（3）橫向比較6個版本教材，思路相似目標接近：

筆者查找了人教版、蘇教版、北師大版、現(xiàn)代小學數(shù)學等幾個版本的關于有余數(shù)除法解決問題的電子課本。蘇教版、北師大版的教材把“有余數(shù)的除法”放在二年級下冊，西南師大版安排在二年級下冊，現(xiàn)代小學數(shù)學比較側重有余數(shù)除法解決問題的意義理解，而北師大版的數(shù)學關于有余數(shù)除法解決問題中的《租船》更具典型性，特別是其中關于最多與最少的闡述最明確，最清楚，對有余數(shù)除法的余數(shù)進行合理取舍能有明確的認識，而人教版關于此節(jié)的編寫優(yōu)點是起點低，但最后的提升深度綜合性特強，事實上各個版本的編寫形式不同，編排總體目標大略相同，各個側重點其實是一脈相承。

（4）再讀《課程標準》，更關注溝通思維聯(lián)系

為什么一個解決問題例題后面有這么多“看似不配套”的練習題，通過課程標準對解決問題的目標定位的再學習，解決問題的編排必然更具應用性，為構建良好的認知結構，溝通知識間的聯(lián)系，必然有相對豐富的編排形式，其目的是關注讓學生關注解決問題的過程，揭示思維的關鍵，溝通知識、方法之間的聯(lián)系。

教材解讀結論：

解決問題的教材并不凌亂，它對學生學習興趣激發(fā)、應用意識增強、創(chuàng)造意識提高方面的作用不容置疑，而且囊括各個類別，相對 “一個范例進行訓練” 要求更高，更注重內(nèi)在數(shù)量關系的理解和聯(lián)系。

二、解讀學習難點

教師經(jīng)常抱怨，學生對于解決問題的掌握得不好。那么解決問題的學生難點，難在何處？

思考二：解決問題的教材，學生學習的難點在哪？

分析人教版教材而下第六單元練習十五第8題（如圖），此題難度系數(shù)最大.

此題的題意為：

有康乃馨22枝、玫瑰16枝，蘭花10枝，請用7枝康乃馨、3枝玫瑰、2枝蘭花扎成一束。這些花最多可以扎成多少束這樣的花束？

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

結論：這些花最多可以扎成3束這樣的花束。

我們對此內(nèi)容進行前測和后測。

前測：二年級未上過該內(nèi)容的同學前測正確率為4%。

后測：二年級非實驗班和三年級同學已經(jīng)學過該內(nèi)容，后測正確率32%和37%。學生的錯誤樣式如下：

后測錯誤樣式

錯誤樣式一：

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

結論：最多可以扎成5束

分析原因：學生理解可能“最多”要找商中最大的那個數(shù)的。

錯誤樣式二：

22+16+10=48（枝） 7+3+2=12（枝） 4 8÷12=4（束）

結論：最多可以扎成4束

分析原因：可能，受有余數(shù)除法結構思維定勢影響，人為構造一個總數(shù)和一個每份數(shù)。

錯誤樣式三：

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

3+5+5=13（束）

結論：最多可以扎成13束

分析原因：學生理解幾個扎在一起，就是把幾個商合并起來。

老師們很困惑——（1）教材為什么編寫綜合性這么強的解決問題？（2）此題歸結到哪一種數(shù)學思想呢？（3）此題與前面所學的有余數(shù)除法到底是什么樣的關系呢？

教師關于解決問題的抱怨，其實并不僅僅因為解決問題的練習數(shù)量少范圍廣，更在于教材關于解決問題凸顯“數(shù)學思考”的發(fā)展，綜合性較原來要強多了，而我們的學生探究和分析能力彰顯薄弱。

老師們很期待——（1）有什么辦法讓學生比較順暢地理解類似題目的題意？（2）可以建構怎樣的模型讓突破學生認知難點？（3）怎樣讓學生的模糊識記變成意義理解，形成分析理解探究能力？

結論：既然是難點，就有必要把此類題目進行研究，在學生感覺困惑之處加以點撥，幫助學生突破難點。

三、關于解決問題學法指導

鑒于以上對課程標準及教材的解讀和對學生認知發(fā)展水平的分析，教研組的成員認為：學生解決問題的難點已經(jīng)明確，解決問題的目標已可以準確定位，由此歸結為學法指導方面的問題：解決問題如何使教學“形神均不散”，有效突破教學難點，從而構建良好的認知結構（知識同化），提升數(shù)學思考的能力？

策略一：抓內(nèi)核主干，殊途同歸體現(xiàn)“神不散”

著名數(shù)學家華羅庚曾有句名言：讀書要從薄到厚，再從厚到薄。數(shù)學學習更是如此。人教版教材，有余數(shù)除法解決的問題，共編排六種類型，屬于“大而全”，而一個例題是無論如何無法囊括所有類型的，那這些類型必然有一個核心主干。

分析有余數(shù)除法解決問題的類型，盡管千變?nèi)f化，但都可以歸結到運算意義——有余數(shù)除法的意義、商和余數(shù)的意義。而抓住這一點，等于抓住了解決問題的主干。

比如《有余數(shù)除法解決問題》的導入部分，筆者安排了一組辨析題：

①扇子隊有25人，演出時隊形變換，每個圓圈站4人，可以站成幾個圈，還剩幾人？

②扇子隊有25人，演出時隊形變換，站成4個圓圈，每個圓圈幾人，還剩幾人？

解題1：25÷4=6（圈）……1（人）

解題2：25÷4=6（人）……1（人）

這一組題，從外在形式上看，是結果單位名稱的不同，但是從數(shù)學角度看，當學生解決問題后，最后歸結到對除法意義的理解上，實際是映射了數(shù)學課程標準的這句話：解決問題教學必須讓學生經(jīng)歷從現(xiàn)實背景中感受和體驗數(shù)學，發(fā)展學生根據(jù)運算意義解決問題的能力。

“這一組題非常有意思”，有位特級教師這樣評價，“解答后，讓孩子們辨析這組題的題目和答案的異同，那就會真正去想商和余數(shù)的意義?！?/p>

思考：課程標準指出，將小學應用題教學與運算教學緊密結合，讓學生在建立數(shù)學概念、原理和方法的過程中理解和解答應用題，發(fā)展學生根據(jù)實際情況和運算意義解決問題的能力。

凸顯概念意義，挖掘運算意義，溝通內(nèi)在聯(lián)系，正確理解商和余數(shù)的意義，理解除法的意義，可以溝通六大類問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，萬變不離其宗，使解決問題從“大而全”到“少而精”，從而使學生的數(shù)學學習有完整而系統(tǒng)的建構，書由此從厚而薄。

策略二：揭思維關鍵，溝通知識方法聯(lián)系

學生解決問題，因為個體生活背景和認知水平的差異，會出現(xiàn)各種各樣的解題策略與思考，這其實是很好的教學資源，通過典型題例辨析，可以促感性認知升華，去除表象抽取特征，實現(xiàn)數(shù)學模型的意義建構。

例：二年級34位師生去參加跨湖橋美食節(jié)，每張桌子限坐4人，至少需要幾張桌子？

跨湖橋美食節(jié)，洪七公叫化雞每份8元，20元錢最多可以買幾份？

解決這個問題，我們讓學生進行“三辨”。

第一辨：商加1與商不加1的辨析

對于第一問，學生有兩種解法。

解法1：34÷4=8（張）……2（人）;……………………（×）

解法2：34÷4=8（張）……2（人）8+1=9（張）?！?? ?（√）

兩種解法的區(qū)別，第一種是兩問式典型有余數(shù)除法解題思維定勢，第二種是商和余數(shù)進行合理取舍。通過兩種方法的辨析，歸結到商和余數(shù)的意義，強調(diào)余下2人必須要給他們安排座位，去掉余數(shù)，所以商8必須加上1。

第二辨：“至少需要幾張桌子？”與典型“兩問式”問題的差異

孩子們解決問題時其實已經(jīng)明白了余數(shù)要合理的取舍。重點引導對“至少”認識，明確“至少”在保證人人有座位的情況下的“至少”，這樣讓孩子們在理解商為什么要加1時，不僅僅是一種直覺和感性認識，而是學會了對題目信息的剖析，使自己的解答顯得有理有據(jù)，在感性認識的基礎上升華。

第三辨：“至少”與“最多”辨析

至少需要幾張桌子？最多可以買幾份？

最多與至少，是一組很值得回味的概念情境，通過組題辨析，學生能從實際問題的解決中理解有余數(shù)除法的應用，而且引導孩子們關注題中信息的剖析，能豐富孩子們對有余數(shù)除法解決問題不同的表達形式。

結論：“第一辨”實質(zhì)是學生解決問題的原點，從實際生活中理解有余數(shù)除法的意義，關注學生剖析、梳理、提煉、處理數(shù)學信息的能力，讓他們根據(jù)信息提出數(shù)學問題。“第二辨”是觸發(fā)學生對不同問題情境不同目標指向的思考，讓學生明確“問題不同”導致解決問題的答案和思考不同，讓學生們理解小學數(shù)學學習不是也不可能所有問題都是典型的“問題”和“解決問題”，它必然需要有意義的接受——思維的訓練?！暗谌妗笔墙鉀Q問題后的思路整理和回顧，從前面兩個梯度的問題對比，引發(fā)學生對于“至少”與“最多”的理解，讓學生自主探索、合作交流中分析。這樣的“三辨”，由低到高，揭示了數(shù)學思考的思維本質(zhì)，溝通了知識方法的聯(lián)系，實現(xiàn)解決問題的意義建構。

策略四：情境串接，一線串珠 “形不散”？

由于解決問題類型各不相同，如果老師只是照本宣科地按照順序一題一題呈現(xiàn)，學生一則興趣不大，二則目標定位較高，學習效果肯定不會很理想。所以考慮創(chuàng)設數(shù)學情境，就像主題圖一樣，把每部分的題材串起來，既凸顯數(shù)學性，又照顧學生的生活和年齡實際，讓課堂“形神都不散”

為此，一線串珠，把不同目標取向的數(shù)學素材用適當?shù)那榫秤行Т印Ｔ诮虒W預案設計時，我們充分利用了“跨湖橋美食節(jié)”這個實實在在的地方資源，有機容納四個類別問題（如下表），達到形不散。

本課的教學，教師選取的是“跨湖橋文化節(jié)”的主題情境，但在教學中每一個環(huán)節(jié)教師都盡量少說“廢話”，關于生活主題情境的闡述，除了課前談話1分鐘左右以外，其它各個環(huán)節(jié)連結語總時間不超過1分鐘。

“我覺得整體的課結構很好。能夠緊密結合當?shù)氐奈幕M行教育。不過請注意，課的引入過程中，介紹當?shù)氐囊恍┗顒?，要快一些不要化時間太多。這些事學生是相對比較熟悉的，所以不必太詳細?！保ㄌ丶壗處熤笇?。）

結論：教學情境既激發(fā)興趣，又始終明確數(shù)學教學的目標要求，達到形神都不散。

策略五：化靜為動，直觀表象構建思維支撐點

人教版練習十五的第8題，無論前測還是后測，都顯示一個事實，學生獨立解決這個問題有難度。下面是根據(jù)教材改編的教學素材：跨湖橋文化節(jié)十大名菜展評中推出一道“孔雀開屏”。

癥狀：根據(jù)前測和后測，學生近50%的學生能得到三個算式，

14÷3=4（盤）……2（個）7÷1=7（盤）19÷2=9（盤）……1（個）

但是得到正確答案“4 ”很難

難點分析：為什么此題對學生而言很難，綜合性體現(xiàn)在哪？

設計這道題目的編寫者的意圖，除了讓學生鞏固理解“最多”的余數(shù)取舍方法，此題蘊含的數(shù)學思想是什么？筆者感覺此題設計是兩次“最多”的綜合運用，第一次是余數(shù)的取舍，“蘋果多余的只數(shù)”要去掉，“菠蘿多余的只數(shù)”要去掉;第二次是組合事物商的取舍，“橙子多余的盤數(shù)”要去掉，“菠蘿多余的盤數(shù)”要去掉，蘊含的數(shù)學思想的根據(jù)是“包含與排除”的初步理解，7、4、9只能共同擁有4，所以最多只能做4盤“孔雀開屏”。

難點根源：多樣物體進行“兩次取舍”，其中蘊含的數(shù)學思想，學生缺乏感性經(jīng)驗支撐

采取對策：抽象的“數(shù)學思想”，用具體直觀演示做支撐。第一層面讓學生從數(shù)學數(shù)量和數(shù)學思想方法的角度尋找解決問題的策略，第二層面借助課件直觀地演示，用動態(tài)的形式，讓學生在感性認知的基礎上理解剛才的知識，形成同化。

課堂片段：同學們有很多答案，咱們用課件幫助我們證明一下。（先放菠蘿，再放蘋果，最后放橘子。）（生隨著課件演示，說出每次變化。）

動態(tài)演示—————————————————————

逐步演示后提問：最多能放幾盤？為什么？

學生思考后回答：4盤。此時有學生已經(jīng)能表達自己的思維：因為4是三個商中最小的，大家都包含有的量，所以當幾樣東西組合在一起，要選擇商最少的，咱們把這句話讀一讀。我們發(fā)現(xiàn)：幾類事物組合在一起，取商最小的。這是數(shù)學思考的飛躍。

結論收獲：現(xiàn)行小學數(shù)學教材為教師提供了豐富的教學資源，教材例題和習題內(nèi)容也比較貼近學生的生活實際，符合學生的年齡特點，但這些畢竟是靜止的東西，要引起學生的注意和興趣還有很大的欠缺，而學生往往對活動的事物更感興趣。如果遭遇思維過程相對復雜、學生理解有一定的困難的內(nèi)容，適當改變習題呈現(xiàn)方式，把這些靜止的資源活動化，可以增加直觀性、趣味性，更利于突破難點。

上例中抽象的“數(shù)學思想”，用具體直觀演示做支撐，化靜為動，在學生有了直觀感受以后，再留時間讓學生自查、內(nèi)化，并有提升和總結性的語言，幫助學生表達自己的認識，這樣他們對這類問題的解決就會比較到位。

綜上所述，解決問題在內(nèi)容上，并不局限典型例題，關注解決問題的思維過程;在形式上，突破了例題和練習“單打一”形式，更豐富更廣闊，感覺上給教師帶來很多困難。實質(zhì)上，解決問題這樣的編排更關注原先“應用題”編排的目標的落實——重視思維方法的訓練（分析思維、綜合思維）和思維品質(zhì)的培養(yǎng);

所以，突破“解決問題”教學疑難，對教師而言，必須對教材深入剖析，包括挖掘教材每道題的編排意圖和代表類型，包括數(shù)學知識和生活情境之間的生長點聯(lián)結點，包括眾多版本的的教材的比較分析，這需要創(chuàng)新和探索;必須對學生進行深入分析，包括剖析學生已有生活經(jīng)驗和認知起點，包括剖析學生思維困惑的成因和對策，這需要創(chuàng)新和探索;必須對學生進行適恰的學法指導，重視算式意義的理解、思路的表述和思維關鍵的揭示，重視分析方法的討論和數(shù)量關系的提煉，任何數(shù)學問題的解決都不能直接依賴已有的知識和方法，只有通過對已掌握的知識和方法的重新組合并生成新的策略和方法，才能實現(xiàn)問題的解決，這也需要創(chuàng)新和探索。