基于Matlab的過盈計(jì)算

摘要：在傳統(tǒng)過盈計(jì)算的基礎(chǔ)上，引入Matlab軟件，利用Matlab強(qiáng)大的計(jì)算能力，以及Simulink可視化、模塊化操作界面，針對過盈配合中復(fù)雜的結(jié)構(gòu)件的配合計(jì)算提出新方法。在此過程中結(jié)合制圖常用的CAD軟件，實(shí)現(xiàn)模型（CAD）、平臺(tái)（Simulink）、計(jì)算（Matlab）之間的聯(lián)合仿真，以實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)-計(jì)算的快速迭代，減輕初步方案設(shè)計(jì)中校核的工作量。在軸-齒輪過盈配合計(jì)算中，使用Matlab仿真計(jì)算得出的結(jié)果與有限元仿真計(jì)算結(jié)果趨于一致。另外，試驗(yàn)以及后續(xù)實(shí)際使用驗(yàn)證了這種結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性。

Abstract： On the basis of traditional interference calculation， Matlab software is introduced， Matlab's powerful computing power， and Simulink visualization and modular operation interface are used to propose a new method for the matching calculation of complex structural parts in interference fit. In this process， the CAD software commonly used in drawing is combined to realize the joint simulation between the model （CAD）， the platform （Simulink）， and the calculation （Matlab） to realize the rapid iteration of design-calculation ， reduce the workload of verification in the preliminary scheme design. In the calculation of the shaft-gear interference fit， the results obtained by using Matlab simulation calculation and the finite element simulation calculation results tend to be consistent. In addition， the test and subsequent actual use have verified the reliability and accuracy of this result.

關(guān)鍵詞：過盈計(jì)算;Matlab;Simulink;有限元;應(yīng)力

Key words： interference calculation;Matlab;Simulink;finite element;stress

中圖分類號(hào)：TP391.9? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-957X（2021）10-0001-04

0? 引言

在傳動(dòng)系統(tǒng)中，軸-套類零件過盈配合的穩(wěn)定性是保證整個(gè)系統(tǒng)可靠的重要一環(huán)，尤其是對采用過盈連接的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)來說其更為重要[1]。在每次設(shè)計(jì)中，軸-齒輪的過盈計(jì)算均是必不可少的一環(huán)。目前已有的經(jīng)典計(jì)算方法準(zhǔn)確度不高，且無法面對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的過盈配合計(jì)算，比如齒輪的輪輻結(jié)構(gòu);而基于Ansys的有限元計(jì)算方法，其前處理又太過復(fù)雜，并且針對后期模型的改動(dòng)，需要做大量的重復(fù)性工作[2][3]。這些已有的計(jì)算方法無法很方便高效的解決過盈連接設(shè)計(jì)工作中的問題，因此本文提出基于Matlab的過盈計(jì)算方法，以解決傳統(tǒng)計(jì)算方法面對復(fù)雜的連接結(jié)構(gòu)，無法準(zhǔn)確并快速的給出過盈量與傳遞扭矩之間的關(guān)系以及過盈中包容件與被包容件應(yīng)力分布情況的問題?；贛atlab的過盈計(jì)算方法，在大大降低工作量的同時(shí)，提高計(jì)算的準(zhǔn)確度[4]。在機(jī)械傳動(dòng)中，需要靠穩(wěn)定的連接結(jié)構(gòu)來保證傳動(dòng)的可靠性，而過盈連接因其結(jié)構(gòu)簡單、定心性強(qiáng)、受沖擊影響小、對軸的強(qiáng)度幾乎無削弱等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛采用。特別是在軌道車軸上更是如此。過盈連接主要是通過過盈產(chǎn)生的擠壓力使結(jié)合面緊密貼合，從而產(chǎn)生足夠的摩擦力以傳動(dòng)扭矩和軸向力[5]。

本文以某高鐵齒輪箱車軸與齒輪的過盈配合為例，運(yùn)用Matlab仿真軟件Simulink模塊，在計(jì)算過程中直接從CAD圖紙中提取模型信息，進(jìn)行聯(lián)合仿真計(jì)算，并以基于Ansys的有限元軟件進(jìn)行驗(yàn)證。

1? 過盈理論計(jì)算

1.1 經(jīng)典力學(xué)模型

在齒輪與車軸的過盈配合中，車軸作為動(dòng)力輸出，與齒輪（動(dòng)力輸入）之間僅靠過盈產(chǎn)生的摩擦阻力矩傳遞扭矩。根據(jù)彈性力學(xué)理論，將軸和齒輪之間的壓力看作沿結(jié)合面均勻分布的均布力，并且將材料看作是均勻理想的彈塑性材料，其受力分析如圖1所示，圖中左側(cè)為軸受力模型，右側(cè)為軸套（齒輪）受力模型。

1.2 受力分析計(jì)算

根據(jù)上述力學(xué)模型進(jìn)行分析計(jì)算，假設(shè)結(jié)合面的過盈量為e，則結(jié)合面的壓力pf為：

式中：e——結(jié)合面的過盈量（mm）;

df——結(jié)合面的直徑（mm）;

da——包容件外徑（mm）;

di——被包容件內(nèi)徑（mm）;

Ca、Ci——包容件、被包容件傳遞載荷所需的最小直徑變化量;

Ea、Ei——包容件、被包容件材料的彈性模量（MPa）;

νa、νi——包容件、被包容件材料的泊松比;

qa、qi——包容件、被包容件的直徑比。

在車軸過盈計(jì)算中，齒輪為斜齒輪，受到扭矩T與軸向力Fx的共同作用，故齒輪在扭矩與軸向力的作用下不產(chǎn)生滑移的最大扭矩T與結(jié)合面的壓力pf之間的關(guān)系如下：

式中：Ft——傳遞力（N）;Fx——軸向力（N）;K——安全系數(shù);lf——配合面長度（mm）;μ——配合面摩擦系數(shù)。

由結(jié)合面的壓力pf可計(jì)算出包容件和被包容件所受到的應(yīng)力。

式中：σa、σi——包容件、被包容件受到的應(yīng)力（MPa）。

2? Matlab仿真計(jì)算

2.1 Simulink仿真建模

利用上述經(jīng)典受力分析所建立的力學(xué)模型編制仿真程序，并由CAD導(dǎo)入模型，構(gòu)建齒輪和軸的離散化輪廓模型，用Matlab建立結(jié)合面的直徑df、包容件外徑da、被包容件內(nèi)徑di等隨著結(jié)合位置變化的離散化函數(shù)關(guān)系。本文給出計(jì)算的主要過程，提供選擇過盈量的過盈-扭矩曲線，并根據(jù)選擇的配合公差得到最大過盈量，以此來計(jì)算面壓力和繪制包容件、被包容件的應(yīng)力分布曲線。

在Matlab中的Simulink模塊中建立可視化仿真單元（如圖2所示），其中主程序?yàn)橛?jì)算的核心程序，內(nèi)部采用上述的經(jīng)典受力分析。圖2中左上角的“幾何參數(shù)”是CAD導(dǎo)出的輪廓模型經(jīng)過函數(shù)的轉(zhuǎn)化而形成的可供Matlab直接讀取使用的曲線函數(shù)。過盈量e在計(jì)算中可有多種選擇，在第一種模式下e是一次函數(shù)變化曲線，由此可以計(jì)算繪制出過盈量-扭矩曲線，這為最小過盈量的選擇提供理論計(jì)算依據(jù)。后兩者為校核模式，在選出配合與公差后使用，可計(jì)算出包容件、被包容件的應(yīng)力，校核結(jié)合件是否發(fā)生塑性變形。本文擬將主程序?qū)懗鲆怨﹨⒖肌?/p>

圖2以某高鐵齒輪箱齒輪與軸的數(shù)據(jù)為輸入條件，其中電機(jī)短路時(shí)齒輪受到的扭矩為36820N.m，在齒輪中產(chǎn)生的軸向力為40130N，摩擦系數(shù)為0.14。

2.2 Matlab主程序

使用matlab函數(shù)創(chuàng)建主程序，如下所示：

function T = quxian（quxian11， quxian12， quxian21，

quxian22， e， u， Ea， Ei， va， vi， Fx）

[～， m11] = size（quxian11）;

% quxian11為被包容件內(nèi)輪廓離散曲線，并計(jì)算數(shù)據(jù)的大小。

[x11， ～] = min（quxian11， []， 2）;

% 查找數(shù)據(jù)的起始位置。

[～， m12] = size（quxian12）;

% quxian12為被包容件外輪廓離散曲線，并計(jì)算數(shù)據(jù)的大小。

[x12，～]=min（quxian12， []， 2）; [～， m21]=size（quxian21）;

% quxian21為包容件內(nèi)輪廓離散曲線，并計(jì)算數(shù)據(jù)的大小。

[x21， ～]=min（quxian21， []， 2）; [～，m22]=size（quxian22）;

% quxian22為包容件外輪廓離散曲線，并計(jì)算數(shù)據(jù)的大小。

[x22，～]=min（quxian22， []， 2）; xmin=[x11，x12，x21，x22];

%查找四條曲線數(shù)據(jù)的起始位置。

x0 = max（xmin， []， 2）; x0max=x0（1， 1）;

%提取起始點(diǎn)橫坐標(biāo)。

xmax = [m11， m12， m21， m22]; x1min = min（xmax）;

%提取四條輪廓曲線中最短曲線終止點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

xmax = [m11， m12， m21， m22]; x1max = max（xmax）;

%提取四條輪廓曲線中最長曲線終止點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

shuzu0 = zeros（2， x11（1， 1）*10）;

shuzu1 = zeros（2， x1max-x11（1， 1）*10-m11）;

quxian11 = cat（2， shuzu0， quxian11， shuzu1）;

shuzu0 = zeros（2， x12（1， 1）*10）;

shuzu1 = zeros（2， x1max-x12（1， 1）*10-m12）;

quxian12 = cat（2， shuzu0， quxian12， shuzu1）;

shuzu0 = zeros（2， x21（1， 1）*10）;

shuzu1 = zeros（2， x1max-x21（1， 1）*10-m21）;

quxian21 = cat（2， shuzu0， quxian21， shuzu1）;

shuzu0 = zeros（2， x22（1， 1）*10）;

shuzu1 = zeros（2， x1max-x22（1， 1）*10-m22）;

quxian22 = cat（2， shuzu0， quxian22， shuzu1）;

%以上為統(tǒng)一曲線的起始和終止點(diǎn)位置，并統(tǒng)一數(shù)據(jù)矩陣的長度。

xx = quxian11（1， ：）;

jisuan11 = 2*quxian11（2， ：）; %被包容件內(nèi)徑。

jisuan12 = 2*quxian12（2， ：）; %被包容件外徑。

jisuan21 = 2*quxian21（2， ：）; %包容件內(nèi)徑。

jisuan22 = 2*quxian22（2， ：）; %包容件外徑。

% 以下為過盈計(jì)算。

qa = jisuan21./（jisuan22+eps）; %包容件直徑比。

qi = jisuan11./jisuan12; %被包容件直徑比。

Ca = （1+qa.*qa）./（1-qa.*qa）+va; %包容件剛性。

Ci = （1+qi.*qi）./（1-qi.*qi）+vi; %被包容件剛性。

pf = e/jisuan12./（Ca/Ea+Ci/Ei）; %結(jié)合面壓力。

ea = pf.*jisuan21.*Ca/Ea;

%包容件結(jié)合面直徑變化量。

ei = pf.*jisuan12.*Ci/Ei;

%被包容件結(jié)合面直徑變化量。

FT = 0; DF = 0;

%以下為計(jì)算結(jié)合面壓力隨結(jié)合位置的函數(shù)關(guān)系，以及扭矩T和過盈量e的函數(shù)關(guān)系。

for i = x0max*10+1：x1min+x0max*10

if jisuan21（1， i）-jisuan12（1， i） < 0.1

Ft = （0.1*pi*u*pf（1， i）*jisuan12（1， i））;

DF = DF+jisuan12（1， i）;

else

pf（1， i） = 0; Ft = 0;

end

FT = Ft+FT;

end

for i = 1：x0max*10

pf（1， i） = 0;

end

for i = x1min+x0max*10：x1max

pf（1， i） = 0;

end

df = DF/x1min;

T = sqrt（FT^2-Fx^2）*df/2000; %扭矩輸出。

a = （1-qa.^2）./（（3+qa.^4）.^0.5）; c = （1-qi.^2）/2;

Qsa = pf./a;Qsi = pf./c;

plot（xx， Qsa'， '-'）;

%包容件應(yīng)力隨結(jié)合點(diǎn)位置變化的曲線關(guān)系。

hold on

plot（xx， Qsi'， '-'）;

%被包容件應(yīng)力隨結(jié)合點(diǎn)位置變化的曲線關(guān)系。

end

2.3 仿真結(jié)果

上述程序運(yùn)行后，通過控制不同的輸入和輸出，可以得到圖3過盈量e-扭矩T曲線圖（圖中藍(lán)色斜線）。安全系數(shù)取1.1，用需要達(dá)到的目標(biāo)扭矩T0繪制一條橫線（圖中紅色橫線），此橫線與過盈量e-扭矩T曲線相交點(diǎn)即為最小過盈量，經(jīng)計(jì)算最小過盈量為0.211mm。

根據(jù)最小過盈量以及公差配合表，查表計(jì)算得到最大過盈量為0.287mm。修改輸入條件，計(jì)算在最大過盈量下包容件和被包容件的應(yīng)力，計(jì)算結(jié)果如圖4所示，藍(lán)色為包容件的結(jié)合面面壓力，紅色曲線為被包容件的結(jié)合面面壓力。

3? 有限元計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證校核

3.1 有限元仿真設(shè)置

本文的Matlab方法需要經(jīng)過更為詳細(xì)的有限元計(jì)算進(jìn)行校核。利用有限元軟件對軸和齒輪的過盈配合進(jìn)行仿真，并與使用Matlab軟件計(jì)算出的軸和齒輪的應(yīng)力結(jié)果進(jìn)行對比，以校核Matlab方法的可行性、準(zhǔn)確性。

為了使有限元與Matlab的計(jì)算模型保持一致，并降低計(jì)算機(jī)的計(jì)算量，對模型進(jìn)行簡化處理，如下所示：

①去除模型中修飾性倒角、倒圓以及對網(wǎng)格質(zhì)量影響較大的孔結(jié)構(gòu);

②去除多余無效部分，保留計(jì)算中需要的關(guān)鍵模型;

③對齒輪輪齒部分作簡化處理。

如圖5所示，采用六面體網(wǎng)格結(jié)構(gòu)對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共計(jì)39896個(gè)單元、181143個(gè)節(jié)點(diǎn)。

邊界條件：

在齒輪外圈設(shè)置固定約束，給結(jié)合面施加最大過盈約束，摩擦系數(shù)選取0.14。

3.2 仿真結(jié)果以及對比

仿真運(yùn)算后，選取特征點(diǎn)，并繪制軸上應(yīng)力-結(jié)合位置曲線（如圖6、圖7、圖8所示）。因?yàn)樽笥覂蓚?cè)對稱，故只顯示左側(cè)計(jì)算結(jié)果。有限元仿真結(jié)果與Matlab仿真結(jié)果對比（如圖9所示），其變化趨勢一致，并且數(shù)值上非常接近，同理再次對比齒輪上有限元與Matlab應(yīng)力-結(jié)合位置曲線，二者變化趨勢一致，數(shù)值接近。經(jīng)計(jì)算峰值誤差率約為8.5%，遠(yuǎn)低于±20%，誤差率的均方差不足4%，低于5%。峰值誤差出現(xiàn)在變化曲率較大的區(qū)域，考慮到有限元結(jié)果為手工選點(diǎn)，存在人為的誤差，以及直徑突變處，存在仿真與實(shí)際不符的情況，對比結(jié)果符合預(yù)期，證明該方法針對復(fù)雜形狀的包容件、被包容件具有快速、誤差低、計(jì)算結(jié)果可靠等優(yōu)勢。

本論文引用的高鐵齒輪箱已投入使用，在加載試驗(yàn)以及線路運(yùn)行過程中使用情況良好，并且運(yùn)營考核完成后的大修拆解中，未發(fā)現(xiàn)齒輪滑移、過盈部位塑性變形等失效情況。

4? 結(jié)論

本文以某高鐵齒輪箱為例，針對復(fù)雜結(jié)構(gòu)建立了基于Matlab的過盈計(jì)算新方法，并結(jié)合工程設(shè)計(jì)中常用的CAD軟件，實(shí)現(xiàn)模型-平臺(tái)-計(jì)算聯(lián)合仿真。運(yùn)用成熟可靠的有限元軟件對該方法進(jìn)行校核，并把兩者之間的結(jié)果對比，得到了比較滿意的結(jié)果。在后續(xù)的使用中，可以隨時(shí)調(diào)整輸入?yún)?shù)。模型更改后只需要做簡單的導(dǎo)出，導(dǎo)出結(jié)果無需經(jīng)過特殊處理，即可直接運(yùn)用于Matlab的計(jì)算，類似傻瓜式操作，在確保準(zhǔn)確性的同時(shí)又提升了迭代速度。該方法給機(jī)械設(shè)計(jì)提出了新的方式方法，在實(shí)際的工程應(yīng)用中充分證明了該方法的適用性以及廣泛性。Matlab軟件以其強(qiáng)大的計(jì)算能力在聯(lián)合仿真以及工程設(shè)計(jì)中起到了巨大的作用。

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