公式表征敏感度對解決高考壓軸題的影響及啟示

摘? 要：大多數(shù)被試對數(shù)學公式表征具有不良的超高敏感度，不良性在于高敏感度表征源自機械操練，表現(xiàn)為機械記憶，導致被試的公式表征質量低劣且表征形式單一，從而無法嵌入數(shù)學能力和數(shù)學思維之中，亦沒有與解題策略共生，啟示教師在教學中應加強對學生進行“有目的練習”.

關鍵詞：公式表征;敏感度;有目的練習

一、問題提出

公式表征是公式在頭腦中的存儲方式. 文獻[1]的實驗證實，在高強度變式練習下，學生對頭腦中數(shù)學材料的提取形成自動化，模糊了不同表征方式之間的界限，由理解性記憶產生的優(yōu)質表征與由機械記憶產生的機械表征之間存在“認知鴻溝”，機械表征對學生的傷害不僅表現(xiàn)在當下，也表現(xiàn)為對學生的未來學習產生不利影響. 另外，經驗告訴我們，公式記憶得越牢固解題能力越強，客觀事實卻是大部分學生雖熟記公式，卻仍然無法順利解答高考壓軸題. 因此，有必要弄清文獻[1]中的實驗結論、教學經驗和客觀事實三個方面所產生的矛盾的根源.

我們用“公式表征敏感度”刻畫公式記憶熟練程度. 公式表征敏感度定義為：在解題過程中正確提取公式的被試人數(shù)與被試總人數(shù)的比值. 顯然，該比值大小與敏感度成正比，比值越大敏感度越高.

我們的問題是：公式表征的高敏感度是否一定能轉化為解高考壓軸題的優(yōu)勢？如果不能正向轉化，那么逆向轉化的結果是什么？它如何阻礙解題？為探求該問題的底蘊，本文設計一個解題實驗，探求學生對公式表征敏感度與解答高考壓軸題之間的關系. 讀者將會看到，該實驗所獲得的關于公式表征敏感度對解題影響的結論令人十分憂心.

二、解題實驗

1. 目的

以新進入高三的數(shù)學優(yōu)等生為被試，探尋數(shù)學公式超高敏感導致解答高考壓軸題失分的原因，以及復習對策.

2. 材料

選用2012年高考數(shù)學廣東卷理科第20題作為解題實驗測試題. 當年共有21道試題，此題是一道標準的解析幾何壓軸題. 試題解答中出現(xiàn)了解析幾何的基本公式，同時體現(xiàn)了解答高考解析幾何壓軸題的基本解題思路，滿足實驗要求.

測試題去掉第（1）小題后，抄錄如下.

3. 實驗結果

被試來自廣東省肇慶市重點中學高二升高三學生，學生數(shù)學基礎較好. 由于新冠肺炎疫情，解析幾何為線上學習，因而訓練沒有線下充分，但整個學習過程依然充分操練. 測試時間為40分鐘，共收回38份答卷，剔除4份無效答卷，有效答卷共34份.

通過每個節(jié)點的被試人數(shù)如下表所示.

第一列是節(jié)點（解題步驟），第二列是正確通過節(jié)點的被試人數(shù)，第三列是通過節(jié)點的被試人數(shù)與被試總人數(shù)的比值，即敏感度.

表中數(shù)據(jù)表明，數(shù)據(jù)集中趨勢在上述四個區(qū)塊上，因此我們用區(qū)塊的平均敏感度來描述更為簡潔.

根據(jù)上表，參數(shù)討論區(qū)塊敏感度是0，根與系數(shù)的關系區(qū)塊的平均敏感度為0.69，化簡區(qū)塊敏感度為0.24，基本不等式區(qū)塊的平均敏感度為0.09.

三、實驗結果討論

需要指出的是，化簡區(qū)塊（[△7]）表面看起來是公式，實質上它并非各種公式的代入，而是一系列符號運算結果. 參數(shù)討論區(qū)塊亦非公式構成，它涉及直線方程系數(shù)討論或直線的幾何形態(tài). 另外，由于僅3名被試達到基本不等式區(qū)塊，不具備討論的價值，故略去.

1. 公式表征沒有嵌入運算能力中

由此可以推斷，被試所處的教學環(huán)境中，重公式記憶輕能力培養(yǎng)，被試犧牲提升能力的教學資源用于訓練表征公式，這種犧牲僅僅換來被試圍繞解題思路熟練提取所需公式的能力，該項能力只是解壓軸題的第一步，在運算中靈活運用這些被提取的公式才是解題的關鍵.

2. 公式表征質量不高

讀者或許已經注意到實驗結果中有一個十分奇特的數(shù)據(jù)，參數(shù)討論區(qū)塊（[△2]）的敏感度是0，即全體被試都沒對直線方程[mx+ny=1]進行分類討論，形成鮮明對比的是，學生對直線方程有較高的表征敏感度（[△1=0.68]），有68%的被試正確求出了點到直線的距離. 一個合理的解釋是，被試關于直線方程表征不精確，因為在解題過程中有兩個機會引發(fā)被式進行參數(shù)討論：從代數(shù)角度，解題需要從直線方程中解出[y]，則勢必考慮[n]是否為0;從幾何角度，則需要考慮直線的位置關系. 無論從哪一個角度考慮，都需要對變量[y]的系數(shù)字母[n]進行討論. 究其原因，學生在解題訓練中，將精力投放到對公式的提取速度，忽略了公式的條件、適用情境，以及與之相關知識的構成. 這項實驗結果表明，高敏感度且低質量的公式表征對被試在解高考壓軸題時起到破壞作用. 因為當被試迅速提取公式并不假思索地應用于解題時，極易跳過落筆有據(jù)的內部思考這一環(huán)節(jié)，顯然不利于發(fā)展數(shù)學思維的縝密性.

3. 公式表征游離于解題策略之外

實驗結果中，根與系數(shù)的關系區(qū)塊中的根與系數(shù)的關系節(jié)點（[△3]）的敏感度處于最高位，76%的被式遇到直線與圓錐曲線交點問題時，根與系數(shù)的關系被迅速激活. 在回收的34份答題卷中，僅有3名被試采用幾何法，1名采用三角法，且都失敗了，余下的30位被試全部采用解析法. 可以合理推斷，到高考時，對根與系數(shù)的關系的敏感度將更高.

這一結果產生了尷尬和矛盾. 尷尬是因為當年廣東的考試大綱中并未把根與系數(shù)的關系作為考點，此題標準答案首推幾何法，命題人也是根據(jù)幾何法來確定試題難度的;矛盾在于求解此題雖然幾何法明顯優(yōu)于解析法，但被試的頭腦中仿佛有一條非常明確的根與系數(shù)的關系解題路線圖，且認定此路線圖是求解這類問題的必經（或唯一）之路.

實際上，運用幾何法求解相當簡潔. 現(xiàn)把幾何法求解過程的前半段抄錄如下，后半段與解析法相同，區(qū)別在于利用勾股定理求三角形的底邊[AB].

以下略去.

幾何法自然地避開了該題的最大失分點——參數(shù)討論，但是被試幾乎全都選擇根與系數(shù)的關系這一群體性的自動化解題行為，顯示公式表征出現(xiàn)畸形：在機械套路里死記硬背公式，而公式表征則游離于解題策略之外，使得被試在答題時缺乏合情推理，導致解題策略單一.

四、實驗結論對高考復習的啟示

目前，高考應試訓練中比較流行的做法是將訓練學生對數(shù)學公式的敏感度作為提升高考成績的突破口，這種做法至少對解壓軸題來說不盡正確.

該實驗證實，公式表征的高敏感度極易由機械記憶產生，尤其是當其與解題套路結合，本文將此情形簡稱為“不良敏感”. 它從三個方面阻礙學生解答高考壓軸題：第一，“不良敏感”導致公式表征質量不高，即對頭腦中所存儲的公式編碼不準確;第二，“不良敏感”具有強烈的排他性，它與合情推理相悖，超敏感性將解題思路的選取固化為對敏感公式的提取;第三，“不良敏感”是只對單個公式的敏感，并沒有形成認知結構，因而阻礙能力提升. 這三個實驗結論對高考復習教學有如下啟示.

1. 以科學記憶方式消除“不良敏感”

文獻[1]中的實驗結論有助于消除“不良敏感”對公式表征的不良影響. 首先，當前機械記憶的主要表現(xiàn)形式為大運動量訓練記憶公式，實驗證實這種表征方式回憶質量最差;其次，具有高度概括性的表征方式（如口訣表征方式“奇變偶不變，符號看象限”）回憶質量較佳，概括性是指新知識與原有知識融合成一個新知識結構，以及簡化公式提取程序;最后，數(shù)學基礎比較好或數(shù)學能力比較強的學生更傾向于采用有聯(lián)系的表征方式，如用函數(shù)賦值的方式記憶誘導公式等. 可見，高質量數(shù)學公式表征皆從大運動量練習套路中跳出來，嵌入數(shù)學能力提升和發(fā)展數(shù)學思維的過程中.

2. 以多重表征消除“不良敏感”

公式表征的“不良敏感”的一個顯著特征是公式表征的低質量且高敏感度，這是因為學生不清楚公式的來龍去脈致使該公式與其他知識之間的紐帶斷裂，在具體解題活動中表現(xiàn)為忽視公式的限制條件和適用范圍，以及化簡運算目標不明確等. 例如，該實驗中，學生在對目標函數(shù)[fm，n=S△OAB]進行化簡的運算過程中，沒有從求最值這一運算目標聯(lián)想到基本不等式，導致運算過程的無序性和無目的性. 我們在被試的草稿紙上觀察到，被試試圖用多種方法對目標函數(shù)進行化簡，如換元法、三角法、求導等. 雖然被試對各種公式信手拈來，但是演算過程中所提取的有些公式和組織公式的方法與運算目的無關，因而達不到化簡的最終目的.

認知數(shù)學對象比較好的方式是從幾何和代數(shù)兩個角度來觀察和思考，要將知識合理地安放在頭腦的認知結構中，應該盡可能地以幾何和代數(shù)這兩種知識形態(tài)進行雙重編碼（編碼意為知識在頭腦中的合理組織），這樣將極大提升表征質量. 如果再加上對公式的高敏感度，問題解決的能力就無疑會提升. 數(shù)學家這一實踐經驗已被心理學家佩維奧所證實，他認為表征信息依靠語言和視覺對當前材料進行編碼，而不是抽象的表征命題. 佩維奧的研究告訴我們，應該將公式以多種形式存儲于頭腦中，而非僅限于幾何和代數(shù)這兩種形式.

3. 以“有目的學習”消除“不良敏感”

令人不安的是，被試對根與系數(shù)的關系的超級敏感近乎八股化. 張奠宙先生在文獻[3]中痛斥：“……現(xiàn)在居然連每個題目的次序和位置都要穩(wěn)定，否則就要影響學生的得分率，中國參加高考的學生連題目的次序更改都不能適應，令人可悲.”顯然，張先生的憂慮被該實驗所證實.

在幾何方法更優(yōu)、且被命題人“欽定”為首選方法的情形下，仍然有高達92%的被試選擇根與系數(shù)的關系. 合理推斷，被試對根與系數(shù)的關系的高度敏感源自解題套路. 一個問題的解決者在解題過程中拋棄簡單方法而尋求復雜方法，這極可能與機械訓練有關. 從實驗數(shù)據(jù)的過度集中趨勢來看，課堂教學的指導思想是導致這一現(xiàn)象的關鍵.

在文獻[4]的“教育隨筆”中，張奠宙先生引用楊振林、陳省身和華羅庚三位大師關于熟與巧的論述，指出中國古訓“熟能生巧”的關鍵在于一個“巧”字. 若將該古訓與機械訓練或題海戰(zhàn)術結合起來，則無巧可言，導致學生在學習過程中形成“爛熟”而非“巧熟”，將練習與理解結合起來，方為中西數(shù)學教育互補之道.

如要變“爛熟”為“巧熟”，可從心理學家埃里克森的一項研究中得到啟發(fā)，其根據(jù)十多年對各行各業(yè)專家的調查訪問及理論研究指出，所有的練習（訓練）都應該是有“目的”的，并給出“有目的練習”的定義如下：學習者不是機械地操作，他們有學習的動力;他們得到關于自身操作的反饋;他們仔細觀察自己的操作并與正確的操作相比，哪些做對了，哪些有差距，并集中注意力消除差距.

“有目的練習”包括三個教學診斷步驟：發(fā)現(xiàn)學生錯誤，理解學生錯誤，幫助學生改正錯誤. 無需討論可知，“有目的練習”是破除“不良敏感”將學生窒礙于解題套路的良方.

參考文獻：

[1]郭志勇，吳躍忠. 數(shù)學公式表征質量實驗研究[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2018（11）：19-22.

[2]約翰·安德森. 認知心理學及其啟示（第7版）[M]. 秦裕林，程瑤，周海燕，等譯. 北京：人民郵電出版社，2012.

[3]張奠宙，趙小平. 解析幾何題在高考試卷中的位置需要穩(wěn)定：應試教育的超級八股一例[J]. 數(shù)學教學，2011（10）：封四.

[4]張奠宙. 教育隨筆[J]. 數(shù)學教學，2013（6）：38.

[5]吳躍忠.“無目的練習”形成數(shù)學學習中的“爛熟”[J]. 數(shù)學教學，2014（6）：11-13.