中線長定理的證明及應(yīng)用舉例

李秀元

摘 要：基于數(shù)學(xué)人教A版教材中的例習(xí)題分析，綜合中線長定理的證明方法，展示不同知識在同一知識點(diǎn)上的魅力，并展開簡單應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：中線;余弦定理;距離公式

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0049-02

一、中線長定理的內(nèi)容、地位及證明

中線長定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是關(guān)于三角形三邊和中線長度關(guān)系的歐氏幾何定理.文字表述為：三角形一條中線兩側(cè)所對邊的平方和等于底邊一半的平方與該邊中線的平方和的2倍.

如圖示，設(shè)△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，AC，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，則：

b2+c2=2[（a2）2+m2a]，c2+a2=2[（b2）2+m2b]，a2+b2=2[（c2）2+m2c].

中線長定理在人教課標(biāo)教材A版中一共出現(xiàn)三次，一次是《數(shù)學(xué)》必修5第一章《解三角形》20頁習(xí)題13，作為余弦定理的應(yīng)用，它突出了中線長的計(jì)算：△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為ma，mb，mc，應(yīng)用余弦定理證明：

ma=122（b2+c2）-a2，mb=122（a2+c2）-b2，mc=122（a2+b2）-c2

一次是《數(shù)學(xué)》必修2第三章《直線與方程》110頁B組習(xí)題7，以解析法的形式，突出了中線長與三角形三邊的關(guān)系：

已知AO是△ABC邊BC的中線，求證：

|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

第三次是《數(shù)學(xué)》必修2第三章《直線與方程》105頁例4在兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用基礎(chǔ)上，給出了平行四邊形的性質(zhì)，也可以理解為中線長定理的變形式：

證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

下面用不同方法證明如下：

證法1 應(yīng)用余弦定理（只證第一式，其余同理）.

如圖示，在△ABD中， cos∠BDA=BD2+AD2-AB22BD×AD，在△ADC中， cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD×DC，因?yàn)椤螧DA+∠ADC=180°，所以cos∠BDA=-cos∠ADC，即BD2+AD2-AB22BD×AD=-AD2+DC2-AC22AD×DC.

所以BD2+AD2-AB2=-AD2-DC2+AC2，即2（AD2+BD2）=AB2+AC2.

所以b2+c2=2[（a2）2+m2a]，整理得ma=122（b2+c2）-a2.

證法2 綜合應(yīng)用平面向量知識和余弦定理.

因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以2AD=AB+AC，兩邊平方得4AD2=AB2+AC2+2AB·AC.

又在△ABC中，2AB·AC=AB2+AC2-BC2.

所以AD2=12（AB2+AC2）-（BC2）2，即m2a=12（b2+c2）-（a2）2.

證法3 解析法.

如圖，以BC邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)，邊BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)C（c，0），A（a，b），則B（-c，0）.

|AB|2=（a+c）2+b2;|AC|2=（a-c）2+b2;|OA|2=a2+b2;|OC|2=c2.

所以，|AB|2+|AC|2=（a+c）2+b2+（a-c）2+b2=2（a2+b2+c2），

2（|AO|2+|OC|2）=2（a2+b2+c2）.

因此，|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

二、中線定理的簡單應(yīng)用

例1 Rt△ABC中，斜邊BC為m，以BC的中點(diǎn)O為圓心，作直徑為n（n<m）的圓，分別交BC于D，E兩點(diǎn)，則|AD|2+|AE|2+|DE|2的值為（）.

A. m2+3n22B. m2+n22 C. 3m2+n22D. m2+3n2

解 如圖3所示，在△ADE中應(yīng)用中線定理，得AO2=2AD2+2AE2-DE24，即（m2）2=2AD2+2AE2-DE24，所以|AD|2+|AE|2=m2+n22.

從而|AD|2+|AE|2+|DE|2=m2+n22+n2=m2+3n22，選A.圖3

例2 在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則|PA|2+|PB|2|PC|2=（）.

A. 2B. 4C. 5D. 10

解 如圖4所示，|PC|=|PD|=12|CD|=14|AB|.

在△PAB中，應(yīng)用中線定理，有2（|PA|2+|PB|2）-|AB|2=4|PD|2，故2（|PA|2+|PB|2）=|AB|2+4|PD|2=20|PC|2，選D.

說明 以上兩題建系求解一樣可行，而應(yīng)用中線長定理則是不錯的選擇.

例3 在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2.若|OP|<12，則OA的取值范圍是（）.

A.（0，52] B.（52，72] C.（52，2]D.（72，2]

解 由|OB1|=|OB2|知，點(diǎn)O在線段B1B2的垂直平分線上，如圖5所示，設(shè)矩形AB1PB2對角線的交點(diǎn)為M，則MB1=MB2，且OM⊥B1B2.

在△AOP中，根據(jù)中線定理得2（OA2+OP2）-AP2=（2OM）2，而OM2=1-MB21=1-14B1B22=1-14AP2，所以2（OA2+OP2）=4-AP2+AP2=4，即OA2+OP2=2，又|OP|<12，故OA∈（72，2].

說明 本題作為13年高考重慶卷的選擇壓軸題，有其把關(guān)和選拔功能，是一道難題.雖然有垂直關(guān)系，有長度，可以建系求解，但計(jì)算麻煩，短時間內(nèi)會逼得學(xué)生放棄.應(yīng)用中線長定理直接將目標(biāo)和已知條件聯(lián)系在一起，解題干凈利落，值得欣賞.

例4 已知P（a，b）為圓x2+y2=1內(nèi)一個定點(diǎn).作直線PA⊥PB，分別交圓于A，B.以A，P，B為三個頂點(diǎn)作矩形，求矩形的第四個頂點(diǎn)Q的軌跡.

解 設(shè)矩形PAQB的對角線PQ、AB相交于點(diǎn)M，連接OP，OM，OQ，OA，OB.在△OPQ和△OAB中，分別應(yīng)用中線長定理得，

OP2+OQ2=12PQ2+2OM2=12AB2+2OM2=OA2+OB2=2.

所以O(shè)Q2=2-（a2+b2），則點(diǎn)Q的軌跡為圓.

例5 已知m，n是兩個非零向量，且|m|=1，|m+2n|=3，則|m+n|+|n|的最大值為（）.

A. 5B. 10C. 4D. 5

解 因?yàn)閙+n=（m+2n）+m2，n=（m+2n）-m2，以m、|m+2n|為鄰

邊作平行四邊形，即OA=m+2n，OB=m，如圖7所示，則OD=（m+2n）+m，BA=（m+2n）-m，從而OC=m+n，CA=n，因此，|m+n|+|n|可表示為|OC|+|CA|.

由中線長定理或平行四邊形的性質(zhì)，可得|OC|2+

|CA|2=5，根據(jù)不等式a+b≤2（a2+b2）（a，b為正數(shù)），得到|OC|+|CA|≤2（|OC|2+|CA|2），即|m+n|+|n|的最大值為10.

說明 本題的綜合較強(qiáng)，考查了向量的加減法，向量模的幾何意義，中線長定理，以及基本不等式等知識，難度較大.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（必修·A版）[M].北京：人民教育出版社，2007（3）.

[責(zé)任編輯：李 璟]