基于有限元模擬的咖啡粉充填密度對(duì)咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場(chǎng)的影響

李園錦 潘嘹 錢靜 楊碩

摘?要：目的：研究咖啡粉孔隙率對(duì)咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場(chǎng)及其達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間的影響，尋找咖啡膠囊內(nèi)最佳咖啡粉充填密度。方法：基于自由流動(dòng)和多孔介質(zhì)流動(dòng)理論，應(yīng)用Comsol Multiphysics軟件耦合Navier-Stokes方程和Brinkman方程，對(duì)咖啡膠囊不同孔隙率下膠囊內(nèi)沖泡流場(chǎng)進(jìn)行有限元模擬，研究流場(chǎng)分布規(guī)律。利用示蹤法計(jì)算沖泡流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的平衡時(shí)間，并構(gòu)建咖啡粉不同孔隙率對(duì)平衡時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)公式。采用相同方法模擬手沖咖啡機(jī)中的沖泡流場(chǎng)，通過(guò)比較意式咖啡機(jī)出口流量和模擬出口流量驗(yàn)證方法準(zhǔn)確性。結(jié)果：意式咖啡機(jī)出口流量和模擬出口流量基本一致，誤差小于6.10%，表明本研究使用的方法能夠用于表征咖啡粉沖泡流場(chǎng)分析。對(duì)咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場(chǎng)的模擬結(jié)果顯示，咖啡膠囊孔隙率越小，咖啡膠囊穩(wěn)態(tài)沖泡流場(chǎng)整體流速越小，且流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間越長(zhǎng)。在注水孔、通孔膜小孔和出口附近流速和速度梯度顯著增大，靠近杯壁方向流速減小。構(gòu)建的咖啡粉孔隙率對(duì)平衡時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)公式能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)不同孔隙率下咖啡粉中流場(chǎng)的平衡時(shí)間。結(jié)論：通過(guò)Comsol軟件耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程能夠用于模擬咖啡沖泡過(guò)程中的流場(chǎng)分布，通過(guò)咖啡孔隙率與平衡時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)公式有助于確定咖啡膠囊沖泡風(fēng)味最佳的孔隙率，為咖啡膠囊風(fēng)味改進(jìn)中咖啡粉充填密度的選擇提供科學(xué)依據(jù)。

關(guān)鍵詞：咖啡膠囊;孔隙率;充填密度;有限元模擬

隨著經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)和生活質(zhì)量提升，咖啡為越來(lái)越多消費(fèi)者所喜愛[1]。在消費(fèi)升級(jí)背景下，普通的速溶咖啡已經(jīng)不能滿足消費(fèi)者對(duì)咖啡品質(zhì)的追求，而味道純正的手沖咖啡需要專業(yè)人員花費(fèi)大量時(shí)間操作才能得到，無(wú)法適應(yīng)快節(jié)奏生活下消費(fèi)者快速?zèng)_泡的需求?？Х饶z囊是一種結(jié)合了速溶咖啡與手沖咖啡兩者優(yōu)點(diǎn)的新型咖啡產(chǎn)品，不僅能得到味道純正的咖啡，而且咖啡膠囊機(jī)的操作過(guò)程方便快捷[2]?？Х饶z囊的沖泡品質(zhì)受到咖啡豆處理工藝、咖啡粉充填密度和沖泡工藝等因素的多重影響，因此需要研究影響咖啡膠囊沖泡品質(zhì)的重要參數(shù)并進(jìn)行優(yōu)化。

近十幾年來(lái)，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者針對(duì)影響手沖咖啡風(fēng)味的因素開展了大量研究，比如胡榮鎖等[3]、何余勤等[4]通過(guò)電子鼻對(duì)感官風(fēng)味定性表達(dá)，研究了研磨時(shí)間與烘焙程度對(duì)咖啡風(fēng)味物質(zhì)的影響。Natnicha Bhumiratana等[5]通過(guò)量化15種香味感官屬性，發(fā)現(xiàn)相較于咖啡豆種類，烘焙程度和研磨工藝對(duì)咖啡風(fēng)味影響更大。虞健等[6]研究表明，不同烘焙程度主要對(duì)咖啡酸味、辛辣味和刺激味感官屬性有影響。總體上來(lái)說(shuō)，這些研究工作主要集中在咖啡豆處理工藝對(duì)咖啡風(fēng)味的影響上[7-10]。手沖咖啡的風(fēng)味依賴于咖啡師的經(jīng)驗(yàn)與操作，而咖啡膠囊只能通過(guò)提前設(shè)定機(jī)器中各種參數(shù)來(lái)控制咖啡的品質(zhì)，目前有關(guān)咖啡膠囊重要參數(shù)對(duì)咖啡品質(zhì)的影響缺乏研究。咖啡粉的充填密度決定了其孔隙率的大小，而孔隙率決定了沖泡介質(zhì)（即熱水）對(duì)咖啡風(fēng)味物質(zhì)的萃取程度，進(jìn)而影響咖啡的沖泡品質(zhì)。咖啡粉過(guò)實(shí)孔隙率過(guò)小，則熱水通過(guò)咖啡粉難度變大，導(dǎo)致萃取時(shí)間長(zhǎng)而使咖啡味酸苦，咖啡粉過(guò)松孔隙率過(guò)大，熱水將快速流過(guò)咖啡，導(dǎo)致萃取不足而使咖啡味寡淡。

流體在多孔介質(zhì)內(nèi)流動(dòng)情況十分復(fù)雜，難以通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部規(guī)律，而基于流體力學(xué)理論建立合適方程組采用數(shù)值計(jì)算方法，可以有效研究多孔介質(zhì)流動(dòng)規(guī)律。王冬平[11]基于達(dá)西定律耦合N-S方程和Brinkman方程，建立非線性滲流耦合模型描述了地下水突水全過(guò)程，并分析了突水過(guò)程中水壓和流速的分布規(guī)律，找到誘發(fā)突水的關(guān)鍵部位與實(shí)際情況一致。楊貝貝等[12]通過(guò)構(gòu)建導(dǎo)數(shù)形式的波動(dòng)方程，求解了飽和多孔介質(zhì)動(dòng)力問題，并發(fā)現(xiàn)飽和多孔地基中空溝隔振效果隨孔隙率和泊松比增大而變差。本研究針對(duì)咖啡膠囊不同孔隙率下沖泡流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值模擬，通過(guò)將咖啡粉均質(zhì)化為多孔介質(zhì)，分析自由流動(dòng)和多孔介質(zhì)流動(dòng)理論，應(yīng)用Comsol軟件耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程模擬出咖啡膠囊穩(wěn)態(tài)沖泡流場(chǎng)，分析穩(wěn)態(tài)時(shí)水在咖啡膠囊內(nèi)的速度與分布規(guī)律，在穩(wěn)態(tài)結(jié)果基礎(chǔ)上，利用示蹤法對(duì)沖泡流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的平衡時(shí)間進(jìn)行模擬計(jì)算，并擬合孔隙率與平衡時(shí)間函數(shù)，為提升咖啡膠囊風(fēng)味中孔隙率的選擇提供科學(xué)依據(jù)。

1?理論依據(jù)

雷諾數(shù)計(jì)算公式如式（1）：

式（1）中，ρ表示流體密度、υ表示特征速度、d表示特征長(zhǎng)度尺寸、μ表示流體動(dòng)力黏度。計(jì)算本文研究的咖啡膠囊內(nèi)流體流動(dòng)的雷諾數(shù)為171，所以咖啡膠囊內(nèi)流體流動(dòng)狀態(tài)為層流。

針對(duì)咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場(chǎng)的數(shù)值模擬，有如下基本假設(shè)：（1）流體為連續(xù)介質(zhì)[13];（2）在咖啡粉中流體滲流為飽和多孔介質(zhì)滲流?？Х饶z囊內(nèi)流體流動(dòng)包含自由流動(dòng)和多孔介質(zhì)流動(dòng)兩種，在咖啡粉中為多孔介質(zhì)流動(dòng)，其余部分均為自由流動(dòng)，所以采用耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程的模擬方法[14]。整個(gè)沖泡過(guò)程流場(chǎng)溫度幾乎不變，模型為等溫流動(dòng)模型。

咖啡膠囊內(nèi)水的自由流動(dòng)規(guī)律選用Navier-Stokes方程描述，方程如式（2）、（3）：

式（2）、（3）中，ρ為流體密度、p為壓強(qiáng)、u為速度矢量、μ為動(dòng)力黏度、F為體積力源項(xiàng)、g為重力加速度、I為單位矩陣。

咖啡膠囊內(nèi)多孔介質(zhì)流動(dòng)規(guī)律選用Brinkman方程描述，方程如式（4）、（5）：

式（4）、（5）中，p為壓強(qiáng)、u為速度矢量、μ為動(dòng)力黏度、K為多孔介質(zhì)滲透系數(shù)、F為體積力項(xiàng)。

2?數(shù)值模擬

Comsol Multiphysics軟件（Comsol）具有強(qiáng)大的多物理場(chǎng)仿真計(jì)算能力，以其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)的計(jì)算當(dāng)中。Comsol數(shù)值模擬計(jì)算的流程為選擇物理場(chǎng)模塊、建立幾何模型、設(shè)置邊界條件與參數(shù)、劃分網(wǎng)格、利用求解器求解、結(jié)果后處理。本研究采用Comsol進(jìn)行數(shù)值模擬，采用Solidworks建立三維模型。

2.1?三維模型建立

Comsol內(nèi)置LiveLink接口，可以直接導(dǎo)入Solidworks中建立的三維模型。本研究以鼎加弘思公司咖啡膠囊為研究對(duì)象建立三維模型。模擬方法常用模擬實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證其可行性與準(zhǔn)確性，用意式咖啡機(jī)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，以意式咖啡機(jī)粉碗為對(duì)象建立模擬實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

2.1.1?咖啡膠囊三維模型?咖啡膠囊由高阻隔杯體、封口膜、通孔膜、咖啡粉、濾紙、泄壓導(dǎo)流結(jié)構(gòu)件組成。圖1咖啡膠囊整體高度為49 mm、封口膜直徑為48 mm、注水孔直徑為3 mm、通孔膜小孔直徑為1 mm、相鄰小孔間距10 mm、泄壓導(dǎo)流結(jié)構(gòu)件出口通孔直徑為1 mm。忽略沖泡過(guò)程中咖啡粉底部濾紙對(duì)流場(chǎng)的影響。

2.1.2?模擬實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?圖2所示意式咖啡機(jī)粉碗整體高度為31 mm、碗口直徑為52 mm，濾網(wǎng)上篩孔直徑為0.5 mm、出口直徑為5 mm。

2.2?邊界條件設(shè)置

邊界條件設(shè)置的準(zhǔn)確性對(duì)咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場(chǎng)的數(shù)值模擬十分重要。以實(shí)際咖啡膠囊機(jī)沖泡時(shí)注水壓力作為入口邊界條件，將實(shí)際情況與三維模型相結(jié)合，設(shè)置邊界條件見表1。

2.3?參數(shù)設(shè)置

選擇9組不同咖啡粉孔隙率進(jìn)行數(shù)值模擬，分別編號(hào)為C1～C9，對(duì)應(yīng)滲透率見表2?？Х饶z囊機(jī)沖泡溫度為92 ℃，查表得此溫度下水的密度為963.96 kg/m3，水的動(dòng)力黏度為0.000 31 Pa·s。

2.4?網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格劃分對(duì)于模擬計(jì)算的收斂性和準(zhǔn)確性有較大影響。由于咖啡膠囊通孔膜和泄壓導(dǎo)流件結(jié)構(gòu)復(fù)雜，所以采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，并在自由流動(dòng)和多孔介質(zhì)流動(dòng)邊界面進(jìn)行網(wǎng)格加密。整個(gè)咖啡膠囊三維模型最終網(wǎng)格數(shù)量為73萬(wàn)。

3?模擬方法驗(yàn)證

為了證明本研究所應(yīng)用的耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程的模擬方法可以用于咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場(chǎng)的數(shù)值模擬及其準(zhǔn)確性，選用一個(gè)工況來(lái)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行咖啡沖泡實(shí)驗(yàn)，以出口流量為判斷依據(jù)，比較實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬兩者所得穩(wěn)態(tài)出口流量結(jié)果。

3.1?材料與儀器

材料：咖啡粉（埃塞俄比亞風(fēng)味，鼎加弘思公司，真密度為1.001 kg/m3）、怡寶礦泉水。儀器：意式半自動(dòng)咖啡機(jī)（DL-KF6001，廣東東菱電器有限公司）、電子天平（ML6001E，梅特勒儀器上海有限公司）。

3.2?實(shí)驗(yàn)方案

利用意式半自動(dòng)咖啡機(jī)對(duì)咖啡粉進(jìn)行加壓沖泡，實(shí)驗(yàn)咖啡粉孔隙率為68%，沖泡入口壓力為251 kPa恒壓。實(shí)驗(yàn)步驟如下：

（1）取下咖啡機(jī)把手及粉碗。將咖啡機(jī)開關(guān)調(diào)至萃取檔，預(yù)熱咖啡機(jī)。（2）稱量14.9 g咖啡粉裝入粉碗，用填壓器壓實(shí)咖啡粉餅至指定體積。（3）安好粉碗，鎖上把手。確認(rèn)工作指示燈亮起，機(jī)器已可以使用，按下萃取按鈕，開始沖泡。（4）待咖啡穩(wěn)定流出后，用燒杯接住并計(jì)時(shí)20 s。（5）選擇合適量筒測(cè)量燒杯中咖啡體積?？紫堵视?jì)算公式為式（6）：

式（6）中，ρ*為多孔介質(zhì)的表觀密度、ρs為多孔介質(zhì)的真密度。

4?結(jié)果與討論

4.1?模擬方法驗(yàn)證結(jié)果

實(shí)驗(yàn)測(cè)得當(dāng)穩(wěn)定流出咖啡時(shí)，平均出口流量為3.524 mL/s、數(shù)值模擬計(jì)算出口流量為3.309 mL/s、誤差范圍為6.10%。該實(shí)驗(yàn)證明，在Comsol軟件中Navier-Stokes方程與Brinkman方程耦合的模擬方法可以用于咖啡膠囊沖泡流場(chǎng)的數(shù)值模擬，并且在適當(dāng)參數(shù)值與邊界條件設(shè)置下模擬精度較高。在數(shù)值模擬計(jì)算中，假設(shè)咖啡粉分布是均勻的，而實(shí)際中咖啡粉的分布略有差別，所以計(jì)算會(huì)產(chǎn)生誤差。

4.2?數(shù)值模擬穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)結(jié)果分析

為了方便觀察數(shù)據(jù)及分析穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)速度的分布規(guī)律，選取模型中心截面圖作為研究對(duì)象。由圖3可以看出，孔隙率對(duì)咖啡膠囊模型中流場(chǎng)的影響十分顯著，入口壓力一定時(shí)，隨著孔隙率的減小，流場(chǎng)整體速度隨之減小，但流速分布規(guī)律趨于一致，在多孔介質(zhì)區(qū)域流體速度較低且變化較小，在注水孔、通孔膜小孔和出口附近流速和速度梯度顯著增大，這是由于流體在流經(jīng)通孔膜小孔和流向出口時(shí)，流通橫截面積突然減小，所以流速會(huì)極速增大[16]。當(dāng)水經(jīng)過(guò)通孔膜后，越靠近杯壁，整體流速越小。

4.3?數(shù)值模擬平衡時(shí)間結(jié)果分析

選用示蹤法計(jì)算咖啡膠囊沖泡流場(chǎng)平衡時(shí)間。在初始階段，出口濃度保持為0，此時(shí)還沒有水從出口流出，隨后出口濃度開始迅速增加，到了一定時(shí)間后出口濃度緩慢增長(zhǎng)，此時(shí)咖啡膠囊內(nèi)流場(chǎng)近似達(dá)到穩(wěn)態(tài)，因此以出口濃度/入口濃度達(dá)到99%作為流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的判斷標(biāo)準(zhǔn)。圖4展示了不同孔

圖4?不同孔隙率下流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的平衡時(shí)間隙率下出口濃度與入口濃度之比隨時(shí)間變化的曲線，反映了咖啡膠囊內(nèi)流場(chǎng)隨時(shí)間逐漸達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間長(zhǎng)短，可以得到孔隙率φ=70%、68%、65%、62%、59%、55%、50%、43%、38%時(shí)，咖啡膠囊內(nèi)流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的平衡時(shí)間分別為18.8、36、126、164、297、382、892、9 720、98 520 s。當(dāng)入口壓力一定時(shí)，隨著咖啡粉孔隙率的減小，滲透系數(shù)會(huì)變小，水滲流通過(guò)咖啡粉的難度加大，流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的平衡時(shí)間就越長(zhǎng)。

根據(jù)圖4曲線趨勢(shì)，構(gòu)建平衡時(shí)間關(guān)于孔隙率的經(jīng)驗(yàn)公式。利用Matlab軟件擬合模型參數(shù)，結(jié)果如式（7）所示：

式（7）中，y為咖啡膠囊沖泡流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的平衡時(shí)間（s）、x為咖啡粉孔隙率（%）。

由圖5可知，當(dāng)入口壓力一定時(shí)，隨著咖啡粉孔隙率的減小，咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的平衡時(shí)間逐漸增大，而且在孔隙率小于60%時(shí)，平衡時(shí)間加速增長(zhǎng)。平衡時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，會(huì)造成萃取過(guò)度，導(dǎo)致咖啡苦味過(guò)重。

5?結(jié)論

本研究耦合Navier-Stokes方程與Brinkman方程對(duì)咖啡膠囊不同孔隙率下的沖泡流場(chǎng)進(jìn)行了模擬，理論模型和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。模擬結(jié)果表明，孔隙率對(duì)咖啡膠囊內(nèi)沖泡流場(chǎng)影響顯著，當(dāng)入口壓力一定時(shí)，隨著孔隙率的減小，流場(chǎng)整體速度隨之減小;在注水孔、通孔膜小孔和出口附近流速和速度梯度顯著增大，靠近杯壁方向流速減小;咖啡粉孔隙率與咖啡膠囊沖泡流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的平衡時(shí)間兩者之間存在分式型函數(shù)關(guān)系，當(dāng)入口壓力一定時(shí)，平衡時(shí)間隨孔隙率的減小而增加。本文研究結(jié)果為咖啡膠囊機(jī)的設(shè)計(jì)和工藝參數(shù)的選擇提供了科學(xué)依據(jù)。

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