淺談高中數(shù)學(xué)競賽解題思維

季遠林

摘要：高中數(shù)學(xué)知識的抽象性較強，特別是競賽題目，其難度更高，但是只要學(xué)生掌握正確的解題思維，其才能夠在解答數(shù)學(xué)題目時做到游刃有余。本文即是從引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會高效審題入手，結(jié)合具體題目對特殊值解題思維法、逆向解題思維法以及構(gòu)造解題思維法進行闡述，以供大家參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)競賽;解題思維中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-27-075

隨著時代的發(fā)展和新課改的不斷推進，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式已不再滿足當今時代的教學(xué)發(fā)展需要。而今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)不再單一的注重數(shù)學(xué)知識的傳授，更加注重學(xué)生解題思維的培養(yǎng)。因為只有提升學(xué)生自身的解題思維能力，學(xué)生才能夠更加深入地學(xué)習(xí)和理解高中數(shù)學(xué)知識，也才能夠更加嫻熟地運用數(shù)學(xué)知識。從整體而言，數(shù)學(xué)競賽題目的難度是普遍高于日常普通數(shù)學(xué)考試的，但是數(shù)學(xué)競賽重在鍛煉學(xué)生們的思維能力，而不是提高解題難度，這才是開展高中數(shù)學(xué)競賽的初衷和目的。因此，借助高中數(shù)學(xué)競賽題目的方式鍛煉學(xué)生們的解題思維能力屬于一種很好的教學(xué)方法。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗，針對高中數(shù)學(xué)競賽解題思維教學(xué)進行深入地分析與研究，認為可從以下幾個方面著手。

一、特殊值解題思維法

所謂特殊解題思維法，指的就是通過特殊值帶入的方式進行解題。這種解題思維方式雖然偏于極端，但卻是一種非常有效的解題思維。學(xué)生在遇到設(shè)定函數(shù)取值范圍的這一類題目時，可以采用該方法進行解題。需要注意的是，并不是所有涉及到函數(shù)范圍的題目都可以運用極限解題思維，這一點需要區(qū)分，否則不僅會誤導(dǎo)學(xué)生思維，而且還會白白消耗學(xué)生們的解題時間。一般而言，特殊值解題思維法主要應(yīng)用于選擇和填空等小題目的作答。

例如這道題：已知f（1-x）/（1+x）=（1-x2）/（1+x2），則f（x）的解析式可取為（）Ax/（1+x2） B-2x/（1+x2） C2x/（1+x2） D-x/（1+x2）。這道題目的解題思路極為明確，先設(shè)（1-x）/（1+x）=t，而后反向運用x代替t，并帶入上述等式，最終可以得出C選項正確。但是，這種解題思路比較費時耗力。因為上述為函數(shù)等式，所以就可以選擇特殊值法進行作答。那么，在具體選擇哪一個特殊值呢？這就需要學(xué)生根據(jù)具體的題型而定。比如這道題中，學(xué)生就可以取x=0的特殊值，這樣對于后續(xù)的計算最為方便。通過特殊值帶入可以得出f（1）=1的結(jié)論。此時可以繼續(xù)將x=0帶入A、B、C、D四個選項的解析式中進行求解，只有C選項等于1，則可判斷出C選項為正確答案。如此既提高了解題的速度，又提高了解題的效率。

二、逆向解題思維法

所謂逆向解題思維法，指的是一種將問題倒過來思考的解題方法。很多時候，我們發(fā)現(xiàn)正向無法解題，或者說通過正向的方式解題比較困難，我們就可以嘗試通過反向的方式進行解題。所謂反向解題，就是要調(diào)轉(zhuǎn)自己的思維，不要為題目本身所束縛。其實，在上述特殊值解題思維法的舉例當中，也應(yīng)用到了逆向解題思維法。即在特殊值帶入構(gòu)建等式之后，通過將特殊值帶入選項的方式進行反向論證，如此也屬于是對逆向解題思維的一種應(yīng)用。通常的逆向解題思維法多應(yīng)用于題目論證，下面就以證明題為例對此方法進行闡述。

例如這道題，已知a、b、c是三個正整數(shù)，而且b-a=c-b，那么請證明c2-ab-b2+xz=b2-xz-a2+bc。如果單看這道題目以及所給出的題目關(guān)系，會感覺有些混亂，因此感到毫無頭緒。但是通過挖掘題目當中的關(guān)鍵信息，比如b-a=c-b，我們可以斷定a、b、c之間成等差數(shù)列的關(guān)系。如果我們再對最后的證明結(jié)果進行變式，就會發(fā)現(xiàn)最終的證明結(jié)果可以轉(zhuǎn)換為2*（b2-ac）=c2-ab+a2-bc。這就相當于是要證明c2-ab、b2-xz、a2-bc三者之間互成等差關(guān)系。搞清楚題目的本意之后，即可思考解題方法。此題目，如果從2b=a+c的角度切入，則難以得出2*（b2-ac）=c2-ab+a2-bc的結(jié)論，因為我們?nèi)粘Ｋ鲱}目多是從繁到簡，而絕非從簡倒繁。所以在解答該道題目時，就應(yīng)當通過反證的方式進行切入，即從2*（b2-ac）=c2-ab+a2-bc得出2b=a+c的結(jié)論，此便是逆向解題思維法。

三、構(gòu)造解題思維法

所謂構(gòu)造解題思維法，指的是根據(jù)已有的題目條件進行方程構(gòu)造、圖像構(gòu)造、函數(shù)構(gòu)造等方式，進而得出題目結(jié)論的一種解題思維方法。其實在高中數(shù)學(xué)競賽題目當中，存在諸多條件簡單的數(shù)學(xué)題目。高中學(xué)生都清楚，題目越簡單，解答起來就會越難，因為題目簡單，解題條件就會減少，故而解答起來難度會有所增加。遇到條件簡單的題目，教學(xué)老師可以引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造的方式進行解題，從而將簡單的題目條件豐富起來，從而增加解題的思路和途徑。例如下面這道題：求函數(shù)f（x）=（5+sinx）/（6-cosx）的值域。這道題目就一句話，條件也只有一個，非常的簡單。但是僅通過給出的條件并不能實現(xiàn)對該道題目的作答，所以就需要根據(jù)題目構(gòu)造條件。f（x）=（5+sinx）/（6-cosx）可以看做是（6，5）與（cosx，-sinx）連線的斜率，如此一來，此道題目也就變換成為求?。?，5）與（cosx，-sinx）連線斜率的最大值和最小值。僅是這么一個簡單的構(gòu)造轉(zhuǎn)換，才使得這道數(shù)學(xué)題目有了新的解題方向。

除了以上所提到的三種高中數(shù)學(xué)競賽題目解題思維之外，還包括很多種其他的數(shù)學(xué)解題思路，比如化繁為簡法、有序排列法、關(guān)系影射反演法、動靜結(jié)合法等，此處不再一一贅述。但是無論教導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)哪一種數(shù)學(xué)解題餿味，教學(xué)老師都要與具體的高中數(shù)學(xué)題目相結(jié)合，如此才能加深學(xué)生對于相關(guān)數(shù)學(xué)解題思維的學(xué)習(xí)與認識。其次，教學(xué)老師要注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會審題，這是保證學(xué)生有效運用各種解題思維的前提和關(guān)鍵。在此基礎(chǔ)上，還要加強學(xué)生的課下練習(xí)，從而不斷強化學(xué)生自身的高中數(shù)學(xué)解題思維和解題能力。

參考文獻

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