文學(xué)作品中的邏輯推理在三視圖問題中的應(yīng)用

徐歡眉

1引言

2004年開始實施的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》將“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”列為高中數(shù)學(xué)課程十大基本理念之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》則將“直觀想象”和“邏輯推理”列入六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之中[1].直觀想象和邏輯推理（理論證明）貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，也是高考的重點考查方向.正如理性分析與感性認(rèn)知永遠(yuǎn)不是相互割裂的兩種能力，邏輯推理和直觀想象也能有機(jī)結(jié)合，小則提高數(shù)學(xué)思維與探究能力，大則更好地感知世界并與世界建立聯(lián)系.

如何將邏輯推理與直觀想象有機(jī)結(jié)合，本文將以《空間幾何體》中的三視圖問題為例，利用著名文學(xué)作品《福爾摩斯探案集》中使用的邏輯，對三視圖問題提出新的理解，實現(xiàn)邏輯推理與直觀想象的辯證統(tǒng)一.同時，在數(shù)學(xué)課堂中引入文學(xué)內(nèi)容，也是將文科和理科的有機(jī)結(jié)合，讓課堂更有活力，讓學(xué)生更有興趣.

2三視圖與文學(xué)作品中的邏輯推理

2.1空間幾何體的三視圖

在《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》中對《空間幾何體》的要求是“認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式”.在高考中，三視圖問題的常見類型大致有以下兩種：

1.根據(jù)三視圖還原幾何體的形狀，并求解幾何體的表面積和體積;

2.根據(jù)幾何體的部分視圖求剩余部分視圖.[2]

空間幾何體是學(xué)生第一次系統(tǒng)地接觸三維空間.在此之前，他們在初中階段獲得了二維空間的知識，對三維空間無限性和復(fù)雜性的認(rèn)知十分有限，從平面圖形到空間幾何體的遷移對部分空間想象力薄弱的學(xué)生而言并非易事.

空間想象力是對客觀事物空間形式的抽象思維能力[3]，對應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的直觀想象.空間中圖形的位置關(guān)系，立體圖形的疊加與切割，都需要學(xué)生在大腦中建立起三維模型，而三視圖問題則是對這種能力的綜合考查，學(xué)生需要掌握平行投影和中心投影，學(xué)會在平面中表示空間圖形的技能[4].

2.2文學(xué)作品中的邏輯推理

“當(dāng)你排除所有不可能的部分，剩下的無論多么不可能，也一定是真相.”[5]這句名言出自柯南·道爾著名中篇小說《四簽名》，其筆下的名偵探夏洛克·福爾摩斯常用此邏輯將案件解決.推理小說中就運(yùn)用了大量的感性認(rèn)知與理性分析，分別對應(yīng)看得見的線索和看不見的推理.構(gòu)成福爾摩斯演繹法的兩大核心要素——觀察與推理.觀察是對線索的捕獲、對有效信息的發(fā)現(xiàn)，放在數(shù)學(xué)問題中即對題目信息的獲取與翻譯;推理包括兩大基本過程——歸納推理和演繹推理.

記結(jié)論的全集為，滿足條件的結(jié)論用集合表示，不滿足條件的結(jié)論用集合表示，顯然， .上述引文背后的數(shù)學(xué)知識，即排除全集U中不滿足條件的結(jié)論，剩下的就是集合B的補(bǔ)集，即集合A，也就是滿足條件的結(jié)論.關(guān)鍵詞為“所有”，只有所有不滿足條件的結(jié)論構(gòu)成的集合才能與滿足條件的結(jié)論構(gòu)成的集合互為補(bǔ)集.通過排除所有不滿足條件的結(jié)論，我們就能得到滿足條件的結(jié)論.

這種方式主要針對根據(jù)已知條件很難直接得出結(jié)論的一類問題——沒有很好的空間想象力，很難通過三視圖直接作出幾何體的直觀圖;而根據(jù)已知條件，排除掉一些結(jié)論會比較容易——以某個基本幾何體作為參照，根據(jù)三視圖排除該參照物中肯定不存在于所求幾何體上的頂點或棱，“排除所有不可能的”，關(guān)注“剩下的”，最終就能得到“真相”.這種方式結(jié)合了從三視圖中獲得的感性認(rèn)知與推理過程中的理性分析，是直觀想象與邏輯推理的有機(jī)結(jié)合.

3例題分析

3.1根據(jù)三視圖還原簡單幾何體

3.1.1三視圖中無虛線

例1（2020年高考全國卷理科III卷第8題）下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

在該題中，由于三個視圖均為三角形，結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的相關(guān)知識，空間想象力好的學(xué)生可以直接判斷出該幾何體為三棱錐并畫出其直觀圖，進(jìn)而求得該三棱錐的各條棱長及其表面積.倘若學(xué)生無法在大腦中建立起該幾何體的三維模型，我們能否利用本文2.2中講述的邏輯點，推理出該幾何體原本的形狀呢？

結(jié)合三視圖“長對正，高平齊，寬相等”的原則，我們必能得到該幾何體恰好能被放置在棱長為2的立方體中（圖3-1），且該幾何體的頂點均為此立方體的頂點，至于是哪些頂點構(gòu)成了該幾何體，我們“排除一切不可能的”，關(guān)注“剩下的”，看看是否與“真相”接近.

若規(guī)定垂直于平面為主視方向，首先，根據(jù)主視圖可以判斷，立方體中的頂點和不存在于該幾何體中;同理，根據(jù)側(cè)視圖可以判斷，頂點也不是該幾何體的頂點;最后，由俯視圖可知，頂點A也不存在于該幾何體中，將“不可能的”點去掉，將“剩下的”點連接起來（圖3-2），得到三棱錐，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)，符合題干中的三視圖.

除此之外，還可通過另一種方式判斷剩余四個頂點確實是該幾何體的頂點.由主視圖和側(cè)視圖可知，棱和（不含端點）均不在該幾何體中，為了滿足主視圖中位于上方的三角形頂點存在，則立方體中的頂點必然存在，同理可推理出其余三個頂點也必然存在.

3.1.2三視圖中有虛線

根據(jù)有虛線的三視圖還原幾何體一直是學(xué)生不知從何入手的一類問題，對空間想象力的要求更高，往往信息量越大，題目越復(fù)雜.原則是看得見的線用實線，看不見的線用虛線.但即便知道這一原則，多數(shù)學(xué)生也不知該如何利用.如果無法想象出幾何體的形狀，我們依然可以試試邏輯推理的方法.

例2下圖為某多面體的三視圖，則該多面體的體積為________.

易知該幾何體必能被放置在棱長為4的立方體中（圖3-1），如上一個例子，我們首先排除不可能的點.根據(jù)主視圖和俯視圖可以排除頂點.同時可排除棱（不含端點）（圖3-3）.在剩下的頂點中，我們可以通過同例1相似的推理，得到必然是該幾何體的頂點，否則無法滿足三視圖.剩下暫時無法判斷的頂點D，再看信息量最大的側(cè)視圖.根據(jù)“看得見的用實線”這一原則，若頂點D是該幾何體的頂點，那么四邊形是側(cè)視圖中能被看到的圖形，也就意味著題干中側(cè)視圖的實對角線將無法體現(xiàn)，因此頂點D不是該幾何體的頂點.至此，我們已排除了所有不可能的頂點，僅剩，這四點構(gòu)成的三棱柱經(jīng)檢驗滿足題目條件（圖3-4）.我們發(fā)現(xiàn)，利用邏輯推理得到幾何體的過程中，側(cè)視圖中虛線的信息僅在檢驗時用到，大大降低了難度.

3.2根據(jù)三視圖還原組合體

空間中的組合體有疊加式、切割式和綜合式三種基本形式.疊加式組合體由多個基本幾何體疊加而成，按照幾何體之間接觸方式的不同，可細(xì)分為相接、相切、相貫三種類型.切割式組合體可視為在基本幾何體上進(jìn)行切割、鉆孔、挖槽后剩余部分所形成的幾何體.綜合式組合體為多個基本幾何體的疊加及切割，是組合體中最為常見的形式.

疊加式和切割式在高考中考查得比較多，其中疊加式組合體為中低難度，考生能夠根據(jù)三視圖較為容易地判斷出構(gòu)成組合體的基本幾何體的類型，進(jìn)而還原出組合體的形狀，判斷幾何特征，求解表面積與體積.切割式組合體對考生的空間想象能力要求更高，需要利用三視圖中虛線實線的特征，判斷出該幾何體是對何種基本幾何體做了怎樣的切割，進(jìn)而還原出組合體的形狀.它與疊加式組合體不同的是，我們能從疊加式組合體的三視圖中迅速辨認(rèn)出常見的基本幾何體，而切割式組合體的三視圖無法給我們直觀的信息，在運(yùn)用空間想象力的同時還需要一定的邏輯推理.

3.2.1疊加式組合體

例3（2020年高考全國卷理科II卷第7題）如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應(yīng)的點為M，在俯視圖中對應(yīng)的點為，則該端點在側(cè)視圖中對應(yīng)的點為（ ）

不難發(fā)現(xiàn)，在該題中，組成三視圖的基本幾何圖形為矩形，由此可辨別出該幾何體由兩個四棱柱相接而成，此幾何體為疊加式組合體.需要注意的是，在疊加式組合體中，若分處兩個幾何體的兩個平面共面，則相接部分的棱在三視圖中無法體現(xiàn)（對應(yīng)主視圖內(nèi)部并無實線）.而側(cè)視圖中的實線與虛線則告訴我們兩個四棱柱的相對位置，進(jìn)而得到還原后的幾何體（圖3-5）.因此答案為A.

3.2.2切割式組合體

例4某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________.

在該題中，由于三視圖中實線虛線數(shù)量較多，乍看之下無法辨認(rèn)出構(gòu)成該組合體的基本幾何體類型，但根據(jù)三視圖的知識可以判斷，該幾何體定能被放置在高為4、底面是邊長為4的等邊三角形的三棱柱中（圖3-6）.接下來，我們借助三視圖中蘊(yùn)含的信息，一步一步推理出該幾何體的頂點.

首先，根據(jù)主視圖外部圖形可視為矩形切去左上角以及俯視圖內(nèi)部實線可知，三棱柱中的頂點不存在于該幾何體中;其次，根據(jù)側(cè)視圖外部圖形可視為矩形切去右下角以及俯視圖內(nèi)部虛線可知，三棱柱中的頂點A不存在與該幾何體中.而其余四個頂點均可推理得出存在于該幾何體中.

“排除一切不可能的，關(guān)注剩下的部分”.從整體上看，所求的幾何體應(yīng)為三棱柱切去分別以A和為頂點的兩個三棱錐.至于兩個三棱錐中其余三個頂點位于三棱柱的什么位置，我們再通過三視圖中的實線和虛線加以判斷.

先考慮以為頂點的三棱錐，其余三個頂點應(yīng)當(dāng)分別位于上.由俯視圖內(nèi)部的實線可知，和的中點都是該幾何體的頂點，即這兩點為切去的三棱錐的兩個頂點;由主視圖可知， 的中點也為該幾何體的頂點，即為被切去的三棱錐的最后一個頂點.至此，切去的第一個三棱錐的形狀和位置已確定（圖3-7）.

再考慮以為A頂點的三棱錐，其余三個頂點應(yīng)當(dāng)分別位于上.由俯視圖內(nèi)部的虛線以及主視圖內(nèi)部的實線可知，AB和的中點都是該幾何體的頂點，即這兩點為切去的三棱錐的兩個頂點;有側(cè)視圖可知，C為切去的三棱錐的最后一個頂點.至此，切去的第二個三棱錐的形狀和位置也已確定（圖3-8）.

因此，最終得到的幾何體為三棱柱切去兩個三棱柱所剩下的部分（圖3-9），體積為

4結(jié)語

世間萬物緊密聯(lián)系，我們想知道某件事物的本質(zhì)，未必只能通過研究該事物，還可通過了解與其相關(guān)聯(lián)的一切事物來探尋它的本質(zhì).知識結(jié)構(gòu)是網(wǎng)狀的，知識正遷移是快速掌握新知識的有效途徑.而在知識遷移的過程中，也要充分利用核心素養(yǎng)之間的聯(lián)系.

我們身處的世界充滿了可探尋的事物，需要我們?nèi)ビ^察，去推理.要善于發(fā)現(xiàn)并利用事物之間的聯(lián)系，建立起感性認(rèn)知與理性分析之間的橋梁.

正如柯南·道爾在小說《五個橘核》中所說，“因世間的一切就像根鏈條，我們只需瞧見其中一環(huán)，就可知全體的性質(zhì)”

（作者單位：杭州市余杭區(qū)杭州英特外國語學(xué)校）