摘? 要:從三道中考數(shù)學試題閱卷中的學生解題現(xiàn)象入手,簡析并提出中考閱卷的雙重境界——從“閱卷”到“悅卷”再到“越卷”,并從中引發(fā)教學感悟,兼談初中生數(shù)學閱讀和數(shù)學交流素養(yǎng)的培育,提出基于教材精讀的初中生數(shù)學交流素養(yǎng)提升路徑.
關鍵詞:中考閱卷;教材精讀;數(shù)學交流
一、緣起
在中考閱卷中,相信很多人都會有所體悟,也許是對一道題的解法產(chǎn)生了更多思考,也許是對學生的錯誤解法產(chǎn)生一種憂慮,又或是為學生的創(chuàng)新解法而感到快樂. 筆者參加中考數(shù)學閱卷已有15年,期間批閱了各種類型的試題,也在試題命制、解題分析等方面發(fā)表了不少文字,但要總結寫出這些年來的體悟,還有點為難. 這是因為年年閱卷的感受,其實是相差無幾的. 從什么角度落筆呢?看看各主流雜志上發(fā)表的基本上是關于壓軸題的命制及其教學啟示,很少涉及簡單的基礎試題的閱卷體悟,可能多數(shù)教師認為在難題上做解析,會留給讀者更多的思考.
然而,在“以學為中心”的理念下,通過一些簡單試題去研究學生的學習和思考,也許其價值不亞于對難題的解析. 如果能從更多角度去觀察思考,整體上了解學生對簡單題、中等題和難題是怎樣思考的,又是怎樣解答表述的,教師該怎樣依據(jù)課程標準解讀試題,怎樣立足教材精讀知識內涵,怎樣基于數(shù)學思考展開交流,從而幫助學生學習它、認識它、掌握它,或許這樣更能讓大家看清楚教學的方向,對教師教學會更有幫助.
下面結合近三年廣東省廣州市中考數(shù)學試卷中的兩道簡單題和一道壓軸題的閱卷經(jīng)驗,就看到的學生的一些答題現(xiàn)象進行解析并提出閱卷的雙重境界,兼談由閱卷引發(fā)的教學感悟,即數(shù)學閱讀和數(shù)學交流素養(yǎng)培育的提升路徑.
二、第一重境界:從“閱卷”到“悅卷”
“悅”,即喜悅. 如果僅僅是為了完成批閱試卷任務,或是從中了解試題評分標準、解法和書寫規(guī)范,則中考閱卷可能就是苦差事了. 但如果能在批閱過程中探析學生的解題邏輯,由此產(chǎn)生對自身教學的導向思考,那么苦差事就會變成一種喜悅,即達到從“閱卷”到“悅卷”的境界. 現(xiàn)列舉兩道簡單的幾何題來說一說.
1. 閱卷中的解題現(xiàn)狀
對于這兩道簡單題,在閱卷時發(fā)現(xiàn)多數(shù)學生的解題思路清晰,書寫步驟規(guī)范,但均有一成學生的解題過程邏輯混亂,不懂尋找證明三角形全等需要滿足的三個條件. 他們常自創(chuàng)邏輯聯(lián)系,通過自造條件來證明,且缺乏書寫表達邏輯,出現(xiàn)死用知識或不會應用知識的現(xiàn)象. 例如,在題目1的解答中,存在以下答題現(xiàn)象:由FC∥AB,得到FC = AD或內錯角∠ADE = ∠DEC;或從圖1中直觀感知得到∠ADE = ∠EFC;或無目的亂用對頂角∠AEF = ∠DEC;或出現(xiàn)繞圈證明,由FC∥AB,得到△AED ≌ △CEF,由三邊對應成比例且DE = FE,得到另兩邊相等得證. 這種把簡單問題復雜化的解題實質上是思維量不足的表現(xiàn).
而題目2增強了在核心知識融合處的考查,突出在知識交會處命題,受此影響,一些學困生得分不高,被圖形所迷惑. 因圖2中∠ACB和∠D的度數(shù)相差無幾,誤以為∠BCA = ∠D而得出錯誤結論. 中等生的解題錯誤則反映在解題慎重,解題步驟重復,無法精簡表述關鍵點. 優(yōu)等生的解題錯誤則為出現(xiàn)跳步現(xiàn)象,忽略關鍵書寫步驟. 在題目2的解答中,仍然出現(xiàn)不少繞圈推理,如連接BD得到兩對全等三角形,導致證明過程復雜,不能清晰完整表述,用兩次全等或等腰三角形的性質達到解題目的,費力不討好.
從學生的答題現(xiàn)狀可以看出,學困生的解題問題依舊在于沒有掌握基本概念、公式、定理,導致解題時沒有思路,不會用數(shù)學語言組織、表述解答過程. 中等生的解題錯誤則為邏輯混亂,自造條件或直觀判斷,因果倒置,也存在解題思路不簡潔、不清晰,解題過程表述不規(guī)范,將簡單問題復雜化.
2. 從批閱到教學喜悅
在日常教學中,教師應該如何解決以上問題?數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)需要怎樣精當、合理、有序地呈現(xiàn)?筆者結合以上兩道題目談一下個人的看法.
閱讀題目1發(fā)現(xiàn),需要由條件FC∥AB得到邊或角相等才能展開證明,因此,可以保持這個條件不變,先讓學生在圖3中添加一個條件求證△ABE ≌ △CFE,目的在于讓學生感知和理解證明三角形全等的方法. 例如,令點E是AC的中點,進而展開串聯(lián),連接AF,補成平行四邊形,回歸到基本圖形的認識上,建立三角形與四邊形的聯(lián)系. 還可以讓圖形動起來,思考:在圖1中,點D是AB上的一個動點,DF交AC于點E,點D從點B向點A運動,當點D運動到何處時(或點E在何處時),△AED ≌ △CEF?并通過對比交流,明晰在靜態(tài)和動態(tài)下尋求證明三角形全等的條件,加深理解證明全等的方法,同時理解相似與全等的關系及其規(guī)范表達.
題目2亦是如此. 先閱讀題目的已知條件,分析隱含條件和所求結論,關注圖形的直觀感知和應用,在圖中識別對應相等的線段或角,即通過閱讀培養(yǎng)學生識圖和用圖的能力,并從圖形變換的角度尋求全等或相似的基本圖形. 例如,從軸對稱圖形的角度感知圖形,避免干擾,正確用圖. 緊接著,把數(shù)學思考和交流融合起來,如為什么選擇AC = AC,而不選擇未經(jīng)證明的條件BC = DC或∠B = ∠D. 通過學生講數(shù)學,說出解題思路背后的原理,找到解題切入點,最后小心求證,規(guī)范書寫解題步驟,達成對解題過程的真正理解和應用. 又如,在解法比較中交流體悟簡化思想,此題有如下三種解法:一是先運用三角形全等的判定和性質,再應用三角形內角和定理求解;二是先應用三角形內角和定理再運用全等三角形的判定和性質求解;三是利用圖形(箏形)的特殊性,連接BD,通過證明AC垂直平分線段BD,再運用等腰三角形相關性質和三角形內角和定理也可以求解. 第三種方法雖然復雜,但能把三角形的相關知識和全等、等腰三角形等融合起來,還能讓學生在簡單題中充分體悟解題的求簡思想.
綜上,這是從“閱讀、思考、交流”三大方面幫助學生建立解決問題的方法和途徑,注重數(shù)學知識的有效聯(lián)系. 橫向聯(lián)系以促進知識之間的關聯(lián)性;縱向聯(lián)系以提升知識運用的綜合性,提煉思想以增強知識運用的普適性. 實質上就是注重對學生的學法指導和對教材的教法研究,讓學生能做到眼觀圖形,心連知識,達成知識和思想的有效傳遞,而這需要慢、細、透的教學,不求快,勿因簡單而放棄思考,以透徹學生心扉.
可見,從閱卷中看到問題,進而在教學中改進,建立提升課堂教學與知識考查的有效鏈接,能給教師帶來教學喜悅,這就是筆者所體悟的從“閱卷”到“悅卷”的境界!
三、第二重境界:從“悅卷”到“越卷”
“越”,即超越. 中考數(shù)學試題既是衡量初中生是否達到畢業(yè)標準的主要依據(jù),又是高中招生的重要依據(jù),承載著教師培養(yǎng)學生思維的教學導向功能. 若僅是達到第一重境界,則不能完成超越試卷所承載的功能,更不能達成從“悅卷”到“越卷”的第二重境界. 以題目3為例說說這種境界.
1. 試題呈現(xiàn)與簡析解答
題目3 (2018年廣東·廣州卷)已知拋物線[y=x2+mx-2m-4 m>0].
(1)證明:該拋物線與[x]軸總有兩個不同的交點;
(2)設該拋物線與[x]軸的兩個交點分別為A,B (點A在點B的右側),與y軸交于點C,A,B,C三點都在[⊙P]上.
① 試判斷:不論[m]取任何正數(shù),[⊙P]是否經(jīng)過y軸上某個定點?若是,求出該定點的坐標;若不是,說明理由.
② 若點C關于直線[x=-m2]的對稱點為點[E],點[D0,1],連接BE,BD,DE,△BDE的周長記為[l],[⊙P]的半徑記為[r],求[lr]的值.
分析:此題考查函數(shù)與方程的聯(lián)系時,回歸到方程根的本質及拋物線圖形特征的性質理解上,更突出數(shù)學抽象、直觀想象和邏輯推理. 在考查定點問題時,突破常規(guī),在雙定點情況下考查數(shù)學辨析能力. 可以從幾何角度構建方程模型求解,也可以從代數(shù)運算角度列方程求解,更可以運用高中知識求解,可謂是模型不一,本質歸一,突出指向了數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng). 在不給圖的情況下,突出基于數(shù)學閱讀的理解,考查學生在內容維度上融會貫通、情境維度的模型建構和過程維度的思維經(jīng)驗積累三個方面的能力.
簡解:(1)解方程得[x1=2,x2=-m-2,] 判斷兩根不同,第(1)小題得解.
(2)① 由第(1)小題可求出[A2,0,][ B-m-2,0,] [C0,-2m-4]. 設[⊙P]與y軸交于點[K0,k,] 由這四點共圓,可以證得△AOK ∽ △COB. 得[OKOB=AOCO]. 解得[k=1]. 所以點K的坐標為[K0,1].
② 如圖4,由已知條件可以證得[∠DCE=90°°]. 則DE是[⊙P]的直徑,即[DE=2r.] 由△BDE ∽ △ODA, 得[l△BDEl△ODA=DEAD],即[l△BDE3+5=2r5]. 得[lr=10+655.]
2. 學生解答與存在的問題
有些學生不能準確理解第(1)小題的條件與結論的關系,利用慣性思維直接寫[Δ>0],或未利用條件[m>0]對判別式的符號進行判斷,數(shù)學表達不規(guī)范、不嚴謹. 在第(2)小題第①問時,有的學生取[m]的兩個特殊值求解,用特殊代替一般得到定點坐標,沒能說明對任意[m]的值成立;有的學生缺少畫圖意識,不能借助圓的主圖進行分析,卻被拋物線迷惑而畫不出圖形;或是數(shù)感意識不強,未能通過[-2m-4=2-m-2]看出[OC=2OB]而發(fā)現(xiàn)Rt△BOC的特殊性. 有些學生解答第②問時,一是不求出點E的坐標,就直接運用勾股定理或相似三角形的性質求三邊長,但對含有字母式子的運算能力較弱而產(chǎn)生錯誤,或不能看出三邊長都與根式[m2+4m+5]相關,導致無法發(fā)現(xiàn)所求三角形的特殊性;二是沒有說明“點[D]在[⊙P]上”,沒有關注兩個小問之間的內在聯(lián)系,出現(xiàn)表達不嚴謹,忽略證明“DE為[⊙P]的直徑”的關鍵步驟.
3. 兩重境界與教學思考
含字母式子的運算能力和發(fā)現(xiàn)問題本質的簡捷性思考,是數(shù)學抽象思維教學訓練的基礎. 解決題目3需避免思維定勢和加強簡化思想的思維滲透教學,這是達成第一重境界的兩點教學思考.
一是明辨思維的互逆性以避免思維定勢. 拋物線與[x]軸交點個數(shù)和解析式中參數(shù)[m]的取值范圍存在互逆關系,若過多訓練正向或逆向的單一類型題目,會出現(xiàn)解法的思維定勢理解. 已知交點個數(shù)到求[m]的取值范圍的方法單一,反之,至少可用三種方法求解,思維固化根源在于缺乏真正思辨和體悟數(shù)學思想的解題作用過程,而無法產(chǎn)生數(shù)學智慧.
二是注重全面閱讀以利于滲透求簡. 從相交弦、相似或半徑相等、勾股定理等路徑尋找獲得等量關系的方法很多,前者解法的本質相同,計算量較小,但思考時間較長,沒有圖不易看出,而其他恰好相反. 該怎樣去尋求最簡求解路徑呢?離不開解法歸一的引導,即思考:在對比中體悟為何要這樣做?怎樣做才是合理有序的?怎樣學會反芻,如何把握整體,加強局部聯(lián)系?如此得出前述簡答的最佳解題路徑.
下面重點闡述通過“有效閱讀、獨立思考、數(shù)學交流”的教學過程,以達成第二重境界.
第一,開展有效閱讀,是基于教材精讀培養(yǎng)數(shù)學閱讀素養(yǎng). 沒有反思的閱讀,就像是不加消化地接受知識. 有效的數(shù)學閱讀是通過翻譯、設問、理解、校對、對比、批判等方法對知識加工和推理的過程,一般有四步策略:略讀、反思、精讀、表達. 略讀是有選擇性瀏覽教材局部,以便簡單有效獲得對整節(jié)課的概念,且能抽出需要精讀的內容. 例如,概念是怎樣獲得的?提供了怎樣的論據(jù)?如何辨析和應用?反思是要問自己問題,對知識是否產(chǎn)生誤解或質疑. 精讀即是加深和檢驗個人理解,逐句理解并隨手做記號,讀到有用之處,在空白處用自己的話寫下個人理解,即問題、思考或總結. 表達是抓住數(shù)學概念及其形成的論據(jù),或接受、或批判性質疑呈現(xiàn)一個簡略版內容,即把書讀薄. 有效閱讀還有很多形式,如重類比的聯(lián)系閱讀、建體系的整體閱讀、發(fā)散式的靈活閱讀、開放性的作業(yè)閱讀等.
第二,開展獨立思考,是基于問題提出的數(shù)學思維能力培養(yǎng). 面對問題,需要通過獨立分析、判斷、決策,尋求更好的問題解決方法. 獨立思考是指在個人理解基礎上帶著問題和觀點去了解知識,并保持有效批判分析,產(chǎn)生新見解,歸納總結出新的認識. 如果“每個人都把自己視野的極限當作世界的極限”(哲學家叔本華),就會讓自己的視野變得更為開闊,這需要學生更加深入和精確地領悟學習過程,養(yǎng)成獨立思考的習慣. 倘若學生逃避“想”,教師需要在教學中設置問題引導,讓學生能有想的機會,產(chǎn)生想的基礎. 筆者提倡的“以退為進”的學習數(shù)學知識方式,意在進退間體悟數(shù)學思想,培養(yǎng)思維,退是凸顯,進是發(fā)展,這是“先凸顯,再發(fā)展”的超越性思維培養(yǎng)的具體體現(xiàn). 在以退為進的每一次遞進過程中凸顯思維的積累和基礎的夯實,每一次的凸顯,關注的問題不一樣,就是一次思維進化,而問題的層層逼近,是讓學生學會想,會想就會有可能想清楚知識的來龍去脈,這才是真正的學法指導. 這是讓學生在簡單問題中體悟數(shù)學觀念,在一系列問題中的思維超越達到理想的學習狀態(tài),讓大部分學生不懼怕數(shù)學.
第三,開展精細交流,是基于獨立思考的數(shù)學交流素養(yǎng)培養(yǎng). 數(shù)學交流是使用數(shù)學符號或圖形、文字來表達某個觀點,是一種探尋答案、獲取意義的思考,包含細致的觀察、記憶、懷疑、想象、解釋、評價、判斷等. 可見,思考與交流看似沒有聯(lián)系,事實上卻有密切聯(lián)系,表達觀點可以幫助人們更好地理順思路. 獨立思考是交流的基礎,但受個人思維習慣影響,獨立思考過程是別人很難直接觀察和覺察的. 因此,學生在理解數(shù)學概念或解題時,需要獨立思考后通過交流表達和陳述看法,進而發(fā)現(xiàn)自己的盲點、弱點和錯誤. 特別地,與好的思考者交流,能把自己的極限性和傾向性糾正過來,因為他們會選擇不同視角,能考慮不同方法,更愿意使用想象力去冒險和考慮不同尋常的、更好的想法. 如此促進自己深入理解問題,在思考過程中保持一條持續(xù)不間斷的線,從而有效地、創(chuàng)新性地提高解決問題的能力.
正如美國哲學家莫蒂默·阿德勒所說,思考者傾向于用口頭語言或者書面語言表達自己,但無法將其表達出來的人往往不知道自己的想法. 對數(shù)學問題的解決方案,只有在與他人交流分享后才更有意義. 但要注意的是,數(shù)學交流不能是連續(xù)的獨白,而是傾聽者需要努力思考發(fā)言者的思維心境,把前后每句話聯(lián)系起來理解,并注意忍住插話沖動,延遲判斷發(fā)言者的反饋,這是交流的策略和原則.
四、基于教材精讀的數(shù)學交流素養(yǎng)提升路徑
核心素養(yǎng)下的數(shù)學課堂中,教師要培養(yǎng)學生能“帶得走”的能力,實質上就是培養(yǎng)學生通過閱讀、思考和交流開展深度學習,也就是發(fā)展學生的數(shù)學閱讀和數(shù)學交流素養(yǎng),這與蘇霍姆林斯基認為的“閱讀、書寫、觀察、思考和表達是學生主要的基本技能”的看法相一致. 師生只有精讀和讀懂教材的內涵,才能避免學生出現(xiàn)表層化的、帶有虛假泡沫成分的閱讀,而且需要師生在閱讀中提“好問題”,并在提“好問題”的基礎上理解、發(fā)現(xiàn)和交流,才能是學生深度體悟后真正意義上的有效閱讀和交流.
對此,筆者開展并形成了基于教材精讀的初中生數(shù)學交流素養(yǎng)提升路徑(如圖5),倡導基于問題引導的教材精讀,促使學生經(jīng)歷用心搜尋證據(jù)、充分思考證據(jù)和確信證據(jù)充足的過程. 這樣深刻的形成認知的思維活動過程,要求學生必須經(jīng)歷有條理的、有邏輯的、有根據(jù)的思考,通過推理、聯(lián)系,有序化地抵達數(shù)學的本質,從而進入深度學習的一種思維狀態(tài),感受到學習數(shù)學的真正力量.
發(fā)展獨立思考和獨立判斷的一般能力應當始終放在首位(愛因斯坦). 基于此,筆者提出精讀交流從獨立思考開始,是教師基于教材提出“母問題”引導學生逐句理解和思考,而學生思考又促進教師思考,師生圍繞“母問題”共同提出一系列“子問題”,課堂上聚焦問題而產(chǎn)生深刻的互動和精細交流,這也是發(fā)展師生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的最主要表現(xiàn). 當學生能夠思考并可以從多個角度用準確的、清晰的語言來表達看法和發(fā)表意見,就達到了真正的理解. 而教師傾聽后,就數(shù)學問題相機進行點撥,串聯(lián)學生思維經(jīng)驗以啟發(fā)、體悟潛藏的數(shù)學思想,在一種對話的狀態(tài)下生成潛移默化的交流,這種“傾聽 + 串聯(lián)”的數(shù)學交流,是一種開放的數(shù)學知識建構,是一種聚焦核心觀點的對話式交流,能有效增長學生的數(shù)學智慧. 而歸納總結是一種反芻行為,是精當?shù)膶W法指導體現(xiàn),教師還需充分精讀和運用教材中的情境、情理、情趣、情態(tài),激發(fā)學生的情思,指導和教會學生會學,才可達到善教、會教. 最后,就是對學生的體悟是否達標進行評價反饋.
老子有言:大道至簡,衍化至繁. 在教學中,教師帶領學生遍歷過精讀交流的各種復雜性,關注學生在過程中的隱性思維經(jīng)驗積累,發(fā)現(xiàn)重新回歸的簡單是一個有層次的、能守得住的簡單,此時方能使學生領悟到表現(xiàn)在過程中的數(shù)學智慧,才能有質變的機會.
五、寫在最后
回到文章標題,參與中考閱卷,就是有機會依據(jù)閱卷進行診斷,啟示教師剖析和挖掘試題,以發(fā)揮中考試題引領教學的價值. 反映在針對性改進課堂教學上,當學生能夠自己閱讀教材和獨立思考時,就能夠發(fā)現(xiàn)和提出問題,從而師生能夠在課堂上充分進行數(shù)學交流. 讓學生把教材讀明白,把問題想透徹,把思維講清晰,即能讀得懂、想得透、講得清,從而發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).
筆者曾對中考命題寫了一首小詩:“慣看陳題解法,年年思變誰知. 你意不同原意,新題勝似故題”. 意思是閱卷需懂題意,進而導向自身教學,并懂得在知識的系統(tǒng)性延伸中讓學生理解和感悟數(shù)學本質,通過反芻數(shù)學學習思維和解題策略,引導學生尋找適合自己的學習方式,以提高理性思辨能力,形成數(shù)學智慧,即能達成前述的兩重境界. 如果說,遇到一道會啟迪師生思考、夯實學生基礎、突出數(shù)學思想的試題,則可稱之為題根;遇到一組會點燃師生激情、增強學生能力、覺醒學習自信的試題,則稱之為變式. 那么,真善美的教學,就是以題根滌蕩學生靈魂,以變式提升學生數(shù)學能力,以愛心成就學生學業(yè).
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