中間支承輸流管道自由振動的有限元分析

隨歲寒，孟 華，段閃閃，李 成

中間支承輸流管道自由振動的有限元分析

*隨歲寒1，孟 華1，段閃閃1，李 成2

（1. 商丘工學院機械工程學院，河南，商丘 476000；2. 蘇州大學軌道交通學院，江蘇，蘇州 215131）

基于Euler梁模型研究中間支承輸流管道的動力學特性。首先，利用虛功原理，建立系統(tǒng)動力學有限元方程。然后，分析了支承剛度、流體離心力、預應力等因素對管道振動的影響。結(jié)果表明：支承剛度對管道系統(tǒng)動力學特性有重要影響，管路設計時須著重考慮；揭示了流體離心力是造成固有頻率隨流速增大而降低的根本原因；流體科氏力對各階固有頻率影響較??；預應力對振動的影響不可忽略，尤其是第一階固有振動；

中間支承，輸流管道，自由振動，臨界速度，有限元法

0 引言

輸流管道系統(tǒng)廣泛應用于航空航天和石油化工等領域，研究其振動和穩(wěn)定性具有重要價值。在開展相關研究中，多種數(shù)值方法得到應用，例如伽遼金法[1-4]、格林函數(shù)法[5]、微分求積法[6-7]、微分變換法[8-9]、動態(tài)剛度矩陣法[10]和有限元法[11-12]。其中，文獻[11]研究隨機彈性模量、密度和流速對管道特征值和動力響應的影響。文獻[12]求解了彈性地基上輸流管道的固有頻率和臨界速度。另外，工程中設計管路系統(tǒng)時往往通過設置中間支撐來增加系統(tǒng)穩(wěn)定性，且這一支承通常具有一定彈性，對其建模不同于彈性地基支承和剛性支承，需要特殊處理。目前這方面的研究還比較少，由于彈簧內(nèi)儲存的勢能屬于系統(tǒng)勢能，因此本研究將支承剛度整合到管道系統(tǒng)的整體剛度矩陣從而建立其動力學有限元方程。需要指出的是，當中間無支承或者支承彈性較小時，輸流管道可視為單跨管道，而當支承剛度大到一定程度則管道系統(tǒng)的振動特性趨于接近多跨管道。部分學者在研究輸流管道問題時加入了中間支承這一因素，如荊洪英等[12]研究了一端固定具有中間支承懸臂輸流管道的臨界流速及其穩(wěn)定性。鄧家全[13]全面探討了多跨管道的支承數(shù)目和支承位置等參數(shù)對多跨功能梯度輸流管道自由振動和穩(wěn)定性的影響，但研究的是中間剛性支承這一特例。

另外，管道系統(tǒng)固有頻率隨流體速度的增大而降低，這一結(jié)論作為學術界共識而廣為人知。理論分析認為造成這一現(xiàn)象的原因是流體的離心力和科氏力的共同作用，然而尚無相關文獻揭示離心力和科氏力的主次關系。已有文獻多采用哈密頓原理建立彈性體系的動力學方程，例如文獻[12-13]。我們采用虛功原理，其優(yōu)勢在于利用虛功原理便于明確流體各加速度的物理含義，進而利于單獨分析各加速度對系統(tǒng)振動特性的影響。

由于工程實際中的安裝以及環(huán)境溫度變化等因素都可能造成管道產(chǎn)生軸向力，本文最后還探討了預應力對固有頻率的影響。

1 數(shù)學模型

圖1 輸流管道示意圖

由于輸流管道為細長結(jié)構，因此可將其簡化為Euler梁模型，則管道單元的應變能變分為

流體質(zhì)點的橫向加速度可按照加速度合成定理得到，

其中各項物理意義如下

將（1）式和（3）式代入如下虛功原理表達式

經(jīng)分步積分后得到

采用Hermit形函數(shù)，如下

則管道單元橫向位移可表達為

將（7）式代入（5）式得到管道的單元有限元方程

因節(jié)點位移向量{}的任意性，從而由（8）式得到輸流管道單元的平衡方程

對（11）式的單元矩陣經(jīng)組裝后得到輸流管道系統(tǒng)在不考慮支承條件下自由振動的有限元方程

其中、和分別為整體質(zhì)量陣、整體陀螺矩陣和整體剛度矩陣。

由于支承的彈性勢能屬于系統(tǒng)整體勢能，因此須將支承剛度矩陣統(tǒng)一到整體剛度矩陣。支承彈性勢能變分為

將（13）式的替換為，得到考慮支承條件下自由振動的有限元方程

2 數(shù)值結(jié)果與討論

采用參數(shù)為彈性模量E=210 GPa，密度ρ = 7850 kg/m3，流體密度ρ=800 kg / m3。管道程度L=8 m，支承點坐標x0=L/2，圓管內(nèi)壁半徑R1=0.1825 mm，外壁半徑R2=0.1885m。

（16）式結(jié)合兩邊簡支的邊界條件，求解得各階固有頻率。圖2給出了前三階固有頻率與流體速度的關系，輸流管道系統(tǒng)的振動特性表現(xiàn)為流體平均速度越大，固有頻率越小。圖2中淺色線和粗黑色線分別為忽略流體離心力和忽略科氏力兩種情況下對應的頻率曲線。當速度較小時，離心力和科氏力都很小，因此三條曲線基本重合。但是當速度增大到一定數(shù)值比如100 m/s時，離心力和科氏力便不可忽略，三條曲線開始發(fā)散，粗黑色線比淺色線偏離實際值更多。這說明，離心力的存在是造成固有頻率隨流速增大而減小的主要原因，離心力的影響遠大于科氏力。需要指出的是，在第一階固有頻率減小到零時系統(tǒng)失穩(wěn)，在該點對應的流體速度稱為臨界速度。

圖2 固有階頻率隨流體速度的變化

圖3 管道模態(tài)函數(shù)（k=3×106 N·m-1）

圖4（a）給出了支承剛度從0到100×106N·m-1變化時，前三階固有頻率的變化情況，支承剛度從0增大到20×106N·m-1的過程中，前三階頻率增大比例分別為219.43%、0.45%、5.53%。可見支承剛度對第一階頻率影響最大，對第二階固有頻率幾乎沒有影響，對第三階固有頻率影響相對較小，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的根源可以從圖3前三階模態(tài)函數(shù)找到原因，即：第一階和第三階固有頻率的振動始終受到支承的約束，隨著頻率的升高系統(tǒng)的振動幅值會逐步衰減，因此第三階固有頻率相對第一階固有頻率受到支承的影響較?。欢诙A模態(tài)在管道跨度中點處的位移始終為零，因此第二階固有頻率不受支承剛度影響。

圖4 固有頻率隨支承剛度的變化

繼續(xù)增大支承剛度到50×106N·m-1時，第一階固有頻率等于支承剛度為零時的第二階固有頻率，并且第二階固有頻率由該點開始隨支承剛度的增大而增大。為解釋這一現(xiàn)象，圖5和圖6分別給出了=40×106N·m-1和=+∞ N·m-1（雙跨管道）時的前三階模態(tài)函數(shù)。對比圖3、圖5和圖6可以發(fā)現(xiàn)，單跨管道的第二階模態(tài)與雙跨管道的第一階模態(tài)類似，因此，當支承的剛度增大到一定數(shù)值比如40×106N·m-1時，輸流管道的前三階模態(tài)處于單跨管道和雙跨管道的過渡狀態(tài)。隨著支承剛度的增大，單跨管道逐漸向雙跨管道過渡。

圖5 管道模態(tài)函數(shù)（k=40×106 N·m-1）

圖6 雙跨管道模態(tài)函數(shù)（k=+∞ N·m-1）

圖4（b）給出了支承剛度增大到600×106N·m-1時，前三階固有頻率分別收斂到40.58 Hz、64.28 Hz和165.33 Hz，此時支承接近剛性支承，這三個頻率代表雙跨管道的前三階固有頻率。

圖7給出了前三階臨界速度與支承剛度的關系，由圖可見，支承剛度增大過程中，第一階臨界速度隨著支承剛度增大而增大；第二階臨界速度不變；第三臨界速度也隨著支承剛度增大而增大。原因如前所述，支承剛度在增大的過程中管道系統(tǒng)實際上等于是從單跨管道轉(zhuǎn)化為雙跨管道。由圖7（b）可見前三階臨界速度收斂于雙跨管道的前三階臨界速度，即431.66 m/s、615.64m/s和863.26m/s.

圖7 臨界速度隨支承剛度的變化

表1給出了預應力對前三階固有頻率的影響，在預應力從-50 MPa增大到50 MPa的過程中，前三階固有頻率均增大，增大比率為4.63%、2.36%和1.00%。由于工程中預應力不可避免，因此在研究輸流管道振動，尤其低階振動頻率時，預應力因素須予考慮。

表1 固有頻率隨預應力的變化

Table 1 Natural frequencies vs. pre-stress

預應力/MPa第1階固有頻率/Hz第2階固有頻率/Hz第3階固有頻率/Hz -5014.3240.3793.23 014.6540.8593.70 5014.9841.3294.17

3 結(jié)論

采用Euler梁模型模擬細長管道，利用虛功原理建立了中間支承輸流管道的動力學有限元方程。數(shù)值求解了前三階固有頻率及其模態(tài)函數(shù)，隨后探討了流體速度、支承剛度和預應力對系統(tǒng)自由振動的影響。著重分析了支承剛度、流體離心力和預應力對固有頻率和臨界速度的影響。結(jié)論如下：

1）隨著支承的剛度增大，各階有階固有頻率和臨界速度逐漸增大并收斂于雙跨管道的前三階固有頻率和臨界速度；

2）在流體離心力和科氏力共同作用下，各階固有頻率隨流體速度的增大而降低，離心力起主導作用；

3）各階固有頻率隨著預應力的增大而增大，其中第一階固有頻率受預應力影響最大。

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FINITE ELEMENT ANALYSIS ON FREE VIBRATION OF FLUID-CONVEYING PIPES WITH INTERMEDIATE SUPPORT

SUI Sui-han1, MENG Hua1, DUAN Shan-shan1, LI Cheng2

（1. School of Mechanical Engineering, Shangqiu Institute of Technology, Shangqiu, Henan 476000, China;2. School of Rail Transportation, Soochow University, Suzhou, Jiangsu 215131, China）

The dynamic characteristics of fluid-conveying pipes with intermediate support was studied based on Euler beam model. Firstly, utilizing virtual work principle, the finite element dynamic equation of pipe system was established. Then, the influence of stiffness of support, fluid centrifugal force and pre-stress on pipe vibration was analyzed. The results showed that the stiffness of support had a significant effect on the dynamic characteristics of the pipe system, which should be taken into account serious lyin pipe design. It suggested that the centrifugal force of fluid was the root cause of the fact that natural frequencies decrease with the increase of flow velocity. The fluid Coriolis force had little effect on the natural frequencies of each order. The influence of pre-stress on vibration couldn’t be ignored, especially the first natural vibration.

intermediate support; fluid-conveying-pipe; free vibration; critical velocity; finite element method

O327

A

10.3669/j.issn.1674-8085.2021.03.015

1674-8085（2021）03-0085-06

2021-02-28；

2021-03-27

國家自然科學基金項目(11972240)

*隨歲寒(1988-)，男，河南商丘人，講師，碩士，主要從事計算力學研究（E-mail: suisuihan@163.com）；

孟 華(1988-），女，河南商丘人，講師，碩士，主要從事轉(zhuǎn)子動力學研究(E-mail:463310334@qq.com）；

段閃閃(1989-),女，河南商丘人，講師，碩士，主要從事機械有限元分析研究(E-mail:1061476212@qq.com);

李 成(1983-)，男，江蘇徐州人，教授，博士，主要從事微納米結(jié)構力學研究(E-mail: licheng@suda.edu.cn