基于小概率原理和兩類錯(cuò)誤概率的思政教學(xué)研究①

溫利民 郭旭瑩 章溢

摘要：小概率原理是假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，同時(shí)也是指導(dǎo)人們生活的一種準(zhǔn)則。在假設(shè)檢驗(yàn)的課程教學(xué)中，不僅有必要讓學(xué)生盡快掌握小概率原理的統(tǒng)計(jì)思想，而且應(yīng)融入思政教學(xué)，提高學(xué)生的思政水平。本文從假設(shè)檢驗(yàn)的小概率原理的統(tǒng)計(jì)思想出發(fā)，研究了假設(shè)檢驗(yàn)的步驟和檢驗(yàn)方法，并分析了假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤及其關(guān)系。最后，利用小概率原理和控制兩類錯(cuò)誤概率的思想給出了課程思政教學(xué)中應(yīng)注意的問題和教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：小概率原理;假設(shè)檢驗(yàn);兩類錯(cuò)誤;課程思政

1 引言

中國人民教育家、思想家陶行知先生曾說過[1]：“道德是做人的根本。根本一壞，縱然你有一些學(xué)問和本領(lǐng)，也無甚用處。并且，沒有道德的人，學(xué)問和本領(lǐng)愈大，就能為非作惡愈大”。隨著時(shí)代潮流的變化，現(xiàn)當(dāng)代教育在關(guān)注學(xué)科教學(xué)的同時(shí)，也更加重視對(duì)學(xué)生思想道德方面的培養(yǎng)。這主要表現(xiàn)在教學(xué)模式的改革，教師的教學(xué)不再是單一的知識(shí)傳授，而更應(yīng)該將學(xué)科知識(shí)與思想道德認(rèn)識(shí)緊密結(jié)合起來，將馬克思主義的思想、觀點(diǎn)和作風(fēng)融入課堂教學(xué)，提高學(xué)生的思想政治水平。毛澤東同志曾說過：“文化思想陣地我們不去占領(lǐng)敵人就會(huì)占領(lǐng)。”可見，思想政治教育的重要性。2014年，習(xí)近平總書記在第二十三次全國高等學(xué)校黨的建設(shè)工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)，“辦好中國特色社會(huì)主義大學(xué)，要堅(jiān)持立德樹人，把培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀融入教書育人全過程?！痹谛抡n程的改革中，要注重各個(gè)學(xué)科中思想政治教育觀點(diǎn)的深入挖掘，讓傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)代的德育理念相結(jié)合，促進(jìn)各類課程與思想理論課同向同行，努力達(dá)成全員、全程、全方位育人的目標(biāo)[2]。繼這會(huì)議之后，課程思政在全國的推行又向前邁進(jìn)了一大步。

假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的極其重要的推斷統(tǒng)計(jì)方法。假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想來源于小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不會(huì)發(fā)生的。什么是小概率事件？小概率事件一定不發(fā)生嗎？如何用小概率原理進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)？假設(shè)檢驗(yàn)會(huì)犯錯(cuò)誤嗎？如果盡可能減少犯錯(cuò)誤的概率？帶著這些問題，我們將通過例子來分析假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想，以及探討如何在假設(shè)檢驗(yàn)的課程中融入馬克思主義的辯證唯物主義思想進(jìn)行課程思政教學(xué)。

2 小概率原理及其映射的思政理念

2.1 小概率與大概率的矛盾體

“久旱逢甘霖”、“水滴石穿”等生活中的成語，都是典型的小概率事件。小概率原理是以小概率事件為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)思想，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中又被稱作實(shí)際推斷原理，它具體指“一個(gè)概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎不發(fā)生”[3]。但是需要注意的是，即使這個(gè)小概率事件發(fā)生的可能性已經(jīng)小到可以完全忽略不計(jì)，卻不能否認(rèn)它的意義。因?yàn)?，?dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大的時(shí)候，它的發(fā)生又將成為必然事件。下面將對(duì)此進(jìn)行理論推導(dǎo)[4]：

上述公式的推導(dǎo)說明，盡管某個(gè)事件發(fā)生的概率很小，然而，當(dāng)次數(shù)多了以后該事件至少發(fā)生一次的概率將變成大概率事件。因此，在人們的生產(chǎn)生活中，也要不能忽略小概率事件。因?yàn)椤傲孔儗⒁鹳|(zhì)變”、“常在河邊走，哪有不濕鞋”，這些都是小概率事件在生活中的生動(dòng)刻畫[5-8]。

2.2 小概率原理在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用

小概率原理在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，它是假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理。根據(jù)小概率原理，在一次試驗(yàn)中小概率事件是不可能發(fā)生的，如果發(fā)生則應(yīng)該將其視為不合理現(xiàn)象或者反常現(xiàn)象，進(jìn)而有理由判定假設(shè)不成立，，可以通過小概率反證法推出事件真實(shí)的結(jié)論[9]。因此，基于小概率原理進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的步驟如下。首先，根據(jù)實(shí)際問題的需要和試驗(yàn)的目的提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1;其次，對(duì)給定的小概率α，尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T（X1，…，Xn） 并構(gòu)造拒絕域W，使得P（T∈W|H0）=α;第三，將樣本觀測值代入后得到的統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式，得到統(tǒng)計(jì)量的觀測值T（x1，…，xn），若T（x1，…，xn）落入了拒絕域，則說明小概率事件發(fā)生了，根據(jù)小概率原理，認(rèn)為假設(shè)錯(cuò)誤，因此做出拒絕原假設(shè)H0的判斷;反之，如果觀測值T（x1，…，xn）沒有落入拒絕域，則做出接受H0的判斷。

下面以一個(gè)例子說明假設(shè)檢驗(yàn)的小概率思想以及假設(shè)檢驗(yàn)的步驟和檢驗(yàn)過程。

例1：某廠商生產(chǎn)了一批彈簧，假設(shè)彈簧的拉力服從正態(tài)分布N（μ，0.42）。該廠的負(fù)責(zé)人說他們廠生產(chǎn)的彈簧拉力至少為5千克力。為了驗(yàn)證負(fù)責(zé)人保證的彈簧拉力的質(zhì)量，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的彈簧中抽取9根彈簧，測試結(jié)果為平均拉力為4.78千克力?，F(xiàn)在的問題是：是否相信該廠的負(fù)責(zé)人對(duì)彈簧的質(zhì)量保證。

因此落入了拒絕域，說明一次試驗(yàn)中小概率事件發(fā)生了，因而拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為該廠生產(chǎn)的彈簧的拉力并沒有達(dá)到5千克力的標(biāo)準(zhǔn)。

在上述例子中，由于樣本X1，…，Xn是隨機(jī)變量，因而U=U（X1，…，Xn）也是隨機(jī)變量，因此U的取值具有隨機(jī)性。然而，當(dāng)抽樣次數(shù)足夠多的情況下，統(tǒng)計(jì)量U的分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在原假設(shè)H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量U的值在0附近，而U落入構(gòu)造的拒絕域W中的概率非常小（最多為α），當(dāng)觀測值T（x1，…，xn）確實(shí)落入了拒絕域時(shí)，說明小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中確實(shí)發(fā)生了，因而做出了拒絕原假設(shè)H0的判斷。從上面的分析中可以看出，當(dāng)在原假設(shè)H0確實(shí)是正確的時(shí)候，統(tǒng)計(jì)量T（X1，…，Xn）有可能落入拒絕域（雖然概率很小，不超過α），這時(shí)我們做出拒絕H0的判斷，因而犯了第一類錯(cuò)誤。這種錯(cuò)誤稱為拒真錯(cuò)誤。

假設(shè)檢驗(yàn)的小概率原理利用了反證法的思想，認(rèn)為在一次試驗(yàn)中，小概率事件不會(huì)發(fā)生。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，有些事件的概率雖然小，但也有可能發(fā)生。因而，在做假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕原假設(shè)的判斷時(shí)，有可能會(huì)犯第一類錯(cuò)誤。小概率原理告訴我們，犯錯(cuò)并不可怕，可怕的是犯了錯(cuò)誤后不知悔改。馬克思主義告訴我們，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。人們?cè)趯?shí)踐過程中，可能容易犯一兩次錯(cuò)誤，但從犯錯(cuò)中總結(jié)教訓(xùn)，找到錯(cuò)誤的原因，加以改正，最終才能發(fā)現(xiàn)真理，社會(huì)才能不斷進(jìn)步。如果因?yàn)榕路稿e(cuò)而停步不前，就沒有真理的發(fā)現(xiàn)，也就沒有人類的進(jìn)步。

3 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤與思政理念的融合

3.1 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤分析

假設(shè)檢驗(yàn)有兩類錯(cuò)誤，其中第I類錯(cuò)誤也被稱為棄真錯(cuò)誤，指在假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)量（X1，X2，…，Xn）因?yàn)闃颖镜碾S機(jī)性落入拒絕域W而判定它拒絕原假設(shè)。犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率也是小概率事件發(fā)生的概率，是假設(shè)檢驗(yàn)中顯著性水平α的值，用公式表示為：

從表2數(shù)據(jù)來看，α越來越小，對(duì)應(yīng)的β就越來越大，二者確實(shí)存在此消彼長的關(guān)系。因此，當(dāng)樣本容量不變的情況下，要降低犯第二類錯(cuò)誤的概率β，則必然導(dǎo)致犯第一類錯(cuò)誤的概率α值的上升;反之，要降低犯第一類錯(cuò)誤的概率值α，又會(huì)導(dǎo)致犯第二類錯(cuò)誤的概率β值的上升。

假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤又構(gòu)成了一對(duì)新的矛盾。根據(jù)馬克思主義關(guān)于解決矛盾的論證，在解決矛盾的過程中，需要分清主要矛盾和次要矛盾。抓住主要矛盾，就能抓住事物的中心，找到解決矛盾的方法。在假設(shè)檢驗(yàn)的過程中，需要平衡兩類錯(cuò)誤的的概率，找到主要矛盾，兼顧次要矛盾，才能合理解決問題。例如，在控制犯第一類錯(cuò)誤小于或等于α的條件下，尋找拒絕域W*，使得犯第二類錯(cuò)誤的概率盡可能小。稱為最優(yōu)檢驗(yàn)問題。在教學(xué)過程中，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考對(duì)矛盾的認(rèn)識(shí)，展開對(duì)矛盾的思考和討論。在人生的不同階段，都會(huì)有不同的矛盾，要認(rèn)真抓好每一個(gè)階段的主要矛盾，處理好生活中的每一次矛盾，成為對(duì)社會(huì)有用的人才。

3.2 兩類錯(cuò)誤概率的控制

根據(jù)前面的分析可知，當(dāng)樣本容量n一定時(shí)，α和β呈反向變化。如果要使得α和β同時(shí)減小，則只有可能n是變化的。

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表和正態(tài)分布的對(duì)稱性可以推算得到：

顯然，當(dāng)公式右邊增加的時(shí)候，導(dǎo)致Zα+Zβ增大，由于Zα和Zβ分別是α和β的減函數(shù)，因此當(dāng)n增大時(shí)，可以使得α和β同時(shí)減小。

如果希望控制犯兩類錯(cuò)誤的概率，則需要增加樣本容量，增加樣本的信息，也就是多動(dòng)手、多做實(shí)驗(yàn)。再次驗(yàn)證了馬克思主義中實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)這一大觀點(diǎn)。只要實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多，犯錯(cuò)誤的概率將不斷減少，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果也將更趨于理想化，也就能最終獲得成功。

4 假設(shè)檢驗(yàn)映射的思政教育理念

教學(xué)不只在于知識(shí)的普及，更在于道德素質(zhì)、政治文化思想的培養(yǎng)。根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)中小概率原理和兩類錯(cuò)誤的概率分析，教師在教學(xué)過程中可以融入思政理念和觀點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用辯證唯物主義的觀點(diǎn)、方法分析問題和解決問題。在實(shí)際生活中，要有所為，有所不為。在碰到困難的時(shí)候，要敢于擔(dān)當(dāng)，勇于克服困難，不怕犯錯(cuò)。因?yàn)樾「怕试砀嬖V我們，有些錯(cuò)誤需要避免，有些錯(cuò)誤則無法避免。另一方面，當(dāng)生活中遇到矛盾的時(shí)候，要分清主要矛盾和次要矛盾，有所取舍。就像假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤，當(dāng)兩者無法兼顧的時(shí)候，可以考慮只控制犯第一類錯(cuò)誤的顯著性檢驗(yàn)，也可以控制第一類錯(cuò)誤的概率在一定范圍內(nèi)，尋找犯第二類錯(cuò)誤的概率最小的最優(yōu)檢驗(yàn)。

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1.江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 南昌 330022

2.江西師范大學(xué)財(cái)政金融學(xué)院