隨機效應線性模型下的責任準備金估計

溫利民， 李俊雪， 張美， 劉志強

（江西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，南昌330022）

0 引 言

目前，有許多責任準備金的估計方法，大部分責任準備金估計方法都以流量三角形為基礎。主要包括鏈梯法（CL法）[1-2]、BF法[3-4]及準備金隨機模型，如文獻[5-7]等。

一般地，在風險的損失數(shù)據(jù)中，會隨著損失數(shù)據(jù)產生一些其他的信息，例如保單的理賠信息、車輛保險中車子或駕駛人的信息，在統(tǒng)計學中這些稱為協(xié)變量信息。為了能更準確地對未來損失進行合理的估計，有必要考慮這些協(xié)變量信息，并建立帶有協(xié)變量信息的準備金模型。若把所有的協(xié)差用矩陣X表示，且假設保險的索賠額Y滿足下面的線性模型：

Y=Xβ+ε，其中ε為零均值變量 （1）

模型中向量β為待預測的P維決策變量，表明索賠額Y以線性函數(shù)形式依賴于協(xié)變量信息X，這里ε表示隨機誤差。關于隨機效應的線性模型的研究，可參考文獻[8-9]等。

但是，在非壽險保險中，由于保單的非齊次性，一般假設參數(shù)β為不可觀測的隨機變量。這時，稱式（1）為隨機效應線性模型[10]。

傳統(tǒng)的準備金模型假設保險公司收集到的數(shù)據(jù)為上三角形式，并直接對索賠額的分布進行假設，例如假設索賠額服從伽馬模型，較少考慮協(xié)變量的信息。在實際運用中，影響索賠額的因素往往是非常復雜的。例如汽車第三者責任保險，影響索賠發(fā)生的因素可能包括汽車的型號、行駛區(qū)域、駕駛人的性別或年齡等信息。有些信息保險公司可以觀察得到，因此樣本中應包含這些信息，但是有些信息無法觀測得到。因此，本文在建立模型的過程中，將保險公司可以觀測得到的協(xié)變量信息放入矩陣X中，將無法觀測的信息放入誤差內，并假設隨機參數(shù)是隨機變量，服從某個先驗分布，并同時利用貝葉斯理論和線性回歸模型的理論與方法，研究索賠額的最優(yōu)預測問題，進而得到責任準備金的估計。與傳統(tǒng)的責任準備金模型相比，本文得到的結果更能體現(xiàn)模型的可解釋性，得到的預測更加精確。

1 隨機效應線性的責任準備金模型

本文用i表示索賠事故報告年，j表示索賠事故進展年。Yij表示第i年報告在第j個進展年的增量索賠，其中0≤i≤I，0≤j≤J。并且假設所有的事故在第J個進展年全部完成賠付。對于當前日歷年來說，能觀察到的增量索賠數(shù)據(jù)集合記為其中表1所列。

表1 增量索賠數(shù)據(jù)流量三角形

表1中的對角線對應的是各日歷年的賠款，最下面的對角線為最近日歷年的賠款。通常情況下I≥J。本文為了方便，假設I＝J。對于第i年報告在第j個進展年的累積索賠記為Cij，則有。能觀察到的累積數(shù)據(jù)也可以用流量三角形表示，如表2所列。

表2 累積索賠數(shù)據(jù)流量三角形

得到β的最小二乘估計為：

Monographic report: Rescue process construction for acute ischemic stroke

然而，在壽險精算中，一般認為參數(shù)向量β也是隨機變量，具有某個先驗分布π（β），由此得到的模型稱為隨機效應線性模型。具體假設如下：

假設1：設Yij表示第i個事故年進展到第j年的增量索賠滿足下面的線性模型：

其中Xij=（Xij（1），…，Xij（P））為第i個事故年進展到第j年的索賠對應的協(xié)差向量，而βi=（βi（1），…，βi（P））′為風險參數(shù)向量，這里i＝0，1，…，I，j＝0，1，…，J，且假設I=J。

假設2：假設風險參數(shù)β=（β0，…，βI）′為隨機向量，具有先驗分布π（β）。 且均值和方差分別為E（β）=β0與Var（β）=M。

為了方便，引入下面的記號：

2 隨機參數(shù)及準備金的估計

證明：由于

定理3：對于i=1，2，…，I，第i個事故年的累積索賠條件均方誤差為：

而條件方差

3 數(shù)值模擬

假設ε服從正態(tài)分布N（0，σ2），σ2=1，設I=J，且β為一維隨機變量，假設β服從均勻分布U（0，1）以及指數(shù)分布exp（1）下產生索賠樣本Yij，把i+j≤I時當作已知樣本數(shù)據(jù)，而i+j>I當作真實值。根據(jù)文章給出的估計與真實值進行比較，在5 000次重復下計算預測的均值及相應的均方誤差，如表3～表6。

表3 當I=J=5，β～U（0，1）時準備金估計C^（1）ij及均方誤差msepC^（1）ij

表6 當I=J=9，β～exp（1）時準備金估計及均方誤差

表6 當I=J=9，β～exp（1）時準備金估計及均方誤差

?

表4 當I=J=5，β～exp（1）時準備金估計及均方誤差

表4 當I=J=5，β～exp（1）時準備金估計及均方誤差

?

表5 當I=J=9，β～U（0，1）時準備金估計及均方誤差

表5 當I=J=9，β～U（0，1）時準備金估計及均方誤差

?

從表3～表6中可以看到，在給定I和J的值后，β取不同的分布，均方誤差相差不大，然而即使β取相同的分布，在不同的I值下，均方誤差有很大的改變。因此準備金的估計對β的分布并不敏感，而對I與J的取值較為敏感。