基于轉(zhuǎn)角的簡(jiǎn)支梁初始抗彎剛度識(shí)別方法

楊雨厚 楊綠峰 覃炳賢 郝天之,3

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,廣西 南寧 530004;2.廣西北部灣投資集團(tuán)有限公司,廣西 南寧 530029;3.廣西交科集團(tuán)有限公司,廣西 南寧 530007)

抗彎剛度是梁結(jié)構(gòu)性能及損傷狀況評(píng)價(jià)的最主要指標(biāo)[1- 2],但該指標(biāo)在梁成型后的實(shí)際分布是不確定和隨機(jī)的[3]。而獲得梁體當(dāng)前實(shí)際抗彎剛度值具有重要工程意義:一是可據(jù)此發(fā)現(xiàn)梁體是否存在初始缺陷,初始缺陷是運(yùn)營(yíng)期橋梁病害產(chǎn)生的內(nèi)因,在役橋梁病害一般由初始缺陷發(fā)展而來(lái)[4];二是可為后期結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別和健康監(jiān)測(cè)提供“原始指紋”,解決當(dāng)前常采用理論設(shè)計(jì)狀態(tài)作為初始狀態(tài)而與實(shí)際不相符的問(wèn)題[5]。

目前,在結(jié)構(gòu)抗彎剛度識(shí)別領(lǐng)域已有不少研究成果。按輸入數(shù)據(jù)的不同,通?？煞譃殪o力和動(dòng)力識(shí)別兩大類[6- 7]。兩者在處理方法上有共同之處,即均以結(jié)構(gòu)響應(yīng)的誤差最小為目標(biāo),進(jìn)行最優(yōu)化求解的結(jié)構(gòu)特性輸出反演[5- 8]。以振動(dòng)模態(tài)為核心的動(dòng)力識(shí)別技術(shù)[9- 11]具有測(cè)試快捷、可不中斷交通的優(yōu)點(diǎn),一直是國(guó)內(nèi)外研究熱點(diǎn),但其存在對(duì)結(jié)構(gòu)局部損傷不敏感且易于受環(huán)境溫度等測(cè)量噪聲影響的不足,在工程實(shí)踐中的應(yīng)用不能盡如人意[12- 13]。靜力識(shí)別方法[14- 16]雖不能在線進(jìn)行,但方法比較直觀,結(jié)果穩(wěn)定可靠,且只要試驗(yàn)條件較好,就可保證位移或應(yīng)變的測(cè)試精度,容易被工程師接受,是獲得結(jié)構(gòu)真實(shí)抗彎剛度的重要途徑,也是目前結(jié)構(gòu)狀態(tài)評(píng)估普遍使用的方法。然而,現(xiàn)有根據(jù)實(shí)測(cè)的靜態(tài)響應(yīng)反演獲得結(jié)構(gòu)剛度信息的方法一般存在這樣的缺點(diǎn)[5]:優(yōu)化方法需配合有限元模型(求理論值),相互之間需不斷的調(diào)用,增加了識(shí)別問(wèn)題的復(fù)雜性和工程應(yīng)用的難度;且優(yōu)化算法選擇不當(dāng)時(shí),容易使結(jié)果陷入局部極小值;另外,優(yōu)化變量對(duì)噪聲敏感,計(jì)算中可能會(huì)出現(xiàn)相互矛盾的優(yōu)化方程,造成求解困難。

為此,針對(duì)簡(jiǎn)支梁具有靜力加載方便、易于測(cè)試且測(cè)試結(jié)果可靠等特點(diǎn),本研究采用靜力加載的方式,測(cè)試(或間接得到)簡(jiǎn)支梁在分段截面處的轉(zhuǎn)角值,通過(guò)轉(zhuǎn)角與分段梁體抗彎剛度之間的關(guān)系式,反向求解出各段梁體抗彎剛度值,以達(dá)到簡(jiǎn)支梁抗彎剛度的識(shí)別。隨后,利用數(shù)值模擬方法和試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本研究提出的識(shí)別方法的可靠性。在此基礎(chǔ)上,通過(guò)矩陣條件數(shù)分別分析了梁體分段數(shù)量、作用力大小、類型、個(gè)數(shù)及作用位置共5個(gè)因素對(duì)識(shí)別方程組穩(wěn)定性的影響規(guī)律。最后,在理論計(jì)算轉(zhuǎn)角上疊加隨機(jī)誤差,考察了所提識(shí)別方法的魯棒性。相關(guān)研究不僅可用于簡(jiǎn)支梁靜載試驗(yàn)評(píng)估及質(zhì)量鑒定,而且還可為既有梁結(jié)構(gòu)的剛度退化評(píng)估及損傷識(shí)別提供參考方法。

1 理論推導(dǎo)

為求解,先做以下假設(shè):

(1)已知荷載作用下梁體變形屬于小變形;

(2)分段內(nèi)梁體抗彎剛度相等;

(3)分段內(nèi)梁體局部損傷等效為該梁段整體抗彎剛度的降低。

圖1 典型簡(jiǎn)支梁受力結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of typical simply supported beam

過(guò)程中需利用廣義奇異函數(shù)[17]S(x),該函數(shù)表達(dá)式為

S(x)=〈x-a〉n

(1)

式中,〈·〉符號(hào)為麥考利括號(hào),x為未知變量,a為常數(shù),n為次冪。

下面推導(dǎo)中主要用到廣義奇異函數(shù)(n≥1)與Heaviside函數(shù)乘積的積分，該積分滿足下列關(guān)系:

(2)

對(duì)于圖1所示梁構(gòu)件的抗彎剛度B(x),用廣義奇異函數(shù)可表示為

(k3-k2)〈x-x2〉0+…+(ki+1-ki)·

〈x-xi〉0+…+(kn-kn-1)〈x-xn-1〉0]

(3)

式中,k2、k3、ki、ki+1、kn-1、kn為1#梁體分別與2#段、3#段、i#段、(i+1)#段、(n-1)#段和n#段梁體抗彎剛度的比值,x1、x2、xi和xn-1分別表示1#段、2#段、i#段和(n-1)#段梁體右側(cè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。

由Timoshenko梁理論,在單位力作用下考慮剪切變形影響時(shí)梁的基本微分方程[18]為

(4)

(5)

式中,y為梁的撓度,φ為梁的轉(zhuǎn)角,C(x)為梁的剪切剛度,B(x)為梁的抗彎剛度,q(x)為作用在梁上的載荷密度函數(shù)。

由圖1可見(jiàn),作用在梁上單位力的密度函數(shù)用廣義奇異函數(shù)可表示為

q(x)=〈x-z〉-1-(1-m)〈x-0〉-1-m〈x-l〉-1

(6)

式中,m=z/l。

將式(6)代入式(4),并對(duì)x進(jìn)行積分得

(1-m)〈x-0〉0-m〈x-l〉0

(7)

將式(7)代入式(5),并對(duì)x進(jìn)行積分得

(1-m)〈x-0〉-m〈x-l〉

(8)

式中,Q0、M0均為積分產(chǎn)生的常數(shù)項(xiàng),由圖1易知,Q0=0、M0=0。

飼料的化學(xué)處理方式主要有堿化處理(氫氧化鈉、氫氧化鈣等)，氨化處理(尿素等)和將前兩種方法結(jié)合的復(fù)合化學(xué)處理。堿化處理是指利用堿性物質(zhì)破壞細(xì)胞壁中結(jié)構(gòu)性碳水化合物和木質(zhì)素之間連接的酯鍵[25]，增加纖維素之間的空隙度，增大瘤胃微生物附著量，提高纖維素的降解率，改善細(xì)胞壁的消化[26]。氨化處理是指飼料與氨作用時(shí)，有機(jī)物質(zhì)與氨會(huì)發(fā)生氨解反應(yīng)，從而打斷木質(zhì)素與多糖之間的酯鍵，在提高飼料利用率的同時(shí)形成氨鹽，氨鹽可作為瘤胃微生物的氮源。

對(duì)式(8)進(jìn)行積分可得該梁在單位力作用于z處時(shí)x截面的轉(zhuǎn)角方程φ(x,z):

G(xi,z)〈x-xi-1〉0]

(9)

假設(shè)某一簡(jiǎn)支梁上作用有m個(gè)集中力和r個(gè)均布力,zj處集中力大小為Fj(1≤j≤m),hw至gw范圍作用的均布力大小為qw(1≤w≤r)。此時(shí),測(cè)試梁體兩端支點(diǎn)截面處的轉(zhuǎn)角分別為θ0和θn,分段截面處的轉(zhuǎn)角分別為θ1、θ2、…、θi。理論轉(zhuǎn)角應(yīng)與實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)角相等,由此建立下列方程組:

(10)

經(jīng)整理,式(10)可用矩陣方式表示為

An×nK1×n=θ1×n

(11)

(12)

則

(13)

式中,M(x)為荷載作用下等效的等截面梁彎矩,Bse為等效的等截面梁抗彎剛度,M1(x)、M2(x)、Mn(x)分別為荷載作用下實(shí)際梁1#段、2#段和n#段的梁體彎矩。

2 識(shí)別方法的有限元數(shù)值和試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 有限元數(shù)值方法驗(yàn)證

某C30混凝土簡(jiǎn)支梁,矩形截面,寬×高=0.15 m×0.30 m,梁長(zhǎng)2.6 m,計(jì)算跨徑2.36 m?；凇疤摂M分割”思想,將該梁按計(jì)算跨徑四等分。在距離跨中截面兩側(cè)各0.5 m位置分別施加60 kN集中力,通過(guò)彈性有限元方法計(jì)算此時(shí)梁支點(diǎn)及四分點(diǎn)截面處的轉(zhuǎn)角值。結(jié)構(gòu)受力見(jiàn)圖2。為驗(yàn)證不同情況,特設(shè)置不同的損傷工況,詳見(jiàn)表1。

圖2 有限元方法的結(jié)構(gòu)受力圖(單位:mm)Fig.2 Structure diagram of finite element method(Unit:mm)

表1 工況設(shè)置表(有限元方法)1)Table 1 Working condition setting table(finite element method)

1)通過(guò)抗彎剛度的折減模擬損傷;因初始損傷一般不大,故將損傷值均設(shè)置在較小范圍。

以工況1為例,將用有限元方法計(jì)算得到的轉(zhuǎn)角值代入式(11),可得

(14)

式(14)中各數(shù)據(jù)是在力的單位取kN,長(zhǎng)度單位取m,轉(zhuǎn)角單位取rad的前提下得到的。值得說(shuō)明的是此時(shí)轉(zhuǎn)角直接取有限元計(jì)算值,并未考慮測(cè)量誤差影響,因?yàn)樵摬糠謱⒃诤竺鎸ｉT論述。通過(guò)式(14)可求解得到各梁段抗彎剛度值。類似地,也可得到其他工況識(shí)別結(jié)果，均列于圖3。

圖3 各工況下的抗彎剛度識(shí)別值

由圖3及表1可知,在不同損傷工況下,采用本方法識(shí)別出的抗彎剛度值與事先設(shè)定值最大相對(duì)誤差絕對(duì)值為0.12%。彈性有限元理論驗(yàn)證結(jié)果表明，本研究提出的方法是有效的,在不考慮測(cè)量誤差情況下具有非常高的識(shí)別精度。

2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

采用文獻(xiàn)[19]的簡(jiǎn)支梁損傷識(shí)別試驗(yàn)中工況2的測(cè)試數(shù)據(jù)。該工況下加載的集中力為30 kN,測(cè)試得到此時(shí)梁計(jì)算跨徑八分點(diǎn)處的實(shí)測(cè)撓度值,詳見(jiàn)該文獻(xiàn)中的表2。利用二階中心差分法,將撓度值轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)角值,結(jié)果列于本文表2。

將表2中轉(zhuǎn)角值代入式(11),可計(jì)算得到每段梁體的抗彎剛度識(shí)別值,結(jié)果見(jiàn)圖4。圖中,抗彎剛度EI理論值為試驗(yàn)梁混凝土彈性模量與截面慣性矩的乘積;損傷量為EI識(shí)別值與理論值之差與理論值的比值,為負(fù)則說(shuō)明識(shí)別的該梁段實(shí)際抗彎剛度小于理論值,亦表明該段梁體存在缺陷。

表2 轉(zhuǎn)角值Table 2 Rotation angle 10-3 rad

由圖4可知,識(shí)別出的2#-7#梁段實(shí)際抗彎剛度小于理論值,說(shuō)明在加載過(guò)程中這些梁段出現(xiàn)了不同程度裂縫,導(dǎo)致其抗彎剛度的降低,且越靠近跨中截面損傷量越大,說(shuō)明開(kāi)裂的程度越嚴(yán)重,這與文獻(xiàn)[19]的試驗(yàn)結(jié)果相吻合。另外,識(shí)別出的1#段和8#段梁體抗彎剛度接近于理論值,這說(shuō)明這兩段梁體在加載過(guò)程中未出現(xiàn)開(kāi)裂,同時(shí)也驗(yàn)證了本方法的可靠性。

圖4 抗彎剛度EI理論值與識(shí)別值對(duì)比

將識(shí)別出的每段梁體抗彎剛度代入式(13),求得此工況下整個(gè)簡(jiǎn)支梁的等效抗彎剛度，為4 438.269 kN·m2。把識(shí)別出的各梁段抗彎剛度值及等效抗彎剛度分別輸入到有限元模型中,計(jì)算得到試驗(yàn)梁計(jì)算跨徑八分點(diǎn)的計(jì)算撓度值,并與實(shí)測(cè)撓度值進(jìn)行對(duì)比分析,結(jié)果見(jiàn)圖5。由圖5可知,采用本研究提出的方法識(shí)別得到的試驗(yàn)梁各段實(shí)際抗彎剛度及等效抗彎剛度計(jì)算出的結(jié)構(gòu)撓度與實(shí)測(cè)撓度均能較好吻合,與實(shí)測(cè)撓度最大相對(duì)誤差絕對(duì)值為3.2%,進(jìn)一步驗(yàn)證了本方法的可靠性。

圖5 撓度測(cè)試值與計(jì)算值對(duì)比

3 識(shí)別方程組的穩(wěn)定性分析

根據(jù)所建立線性方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)Cond2(A)對(duì)識(shí)別方程組的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。由式(10)可知,矩陣條件數(shù)與梁體分段數(shù)量(因素1)、作用力大小(因素2)、作用力類型(因素3)、作用力個(gè)數(shù)(因素4)、作用力作用位置(因素5)這5個(gè)因素有關(guān)。在第2.1節(jié)的有限元模型基礎(chǔ)上,改變以上影響因素值,研究矩陣條件數(shù)的變化規(guī)律。各影響因素下工況設(shè)置及相應(yīng)矩陣條件數(shù)的計(jì)算結(jié)果分別見(jiàn)圖6-圖15。

由圖6和圖7可知,分段數(shù)量越多,矩陣條件數(shù)Cond2(A)越大,且Cond2(A)與分段數(shù)量n近似滿足各項(xiàng)系數(shù)均為正的一元二次方程曲線關(guān)系,可見(jiàn)Cond2(A)與n的平方相關(guān)，其影響非常顯著。由圖8和圖9可知,對(duì)于兩個(gè)相同的集中力,不管力的大小為何值,Cond2(A)總是相等的。兩個(gè)力不等時(shí),存在一個(gè)最優(yōu)的組合,可使Cond2(A)最小。但總體而言,荷載大小對(duì)Cond2(A)的影響非常小,可不考慮。然而從測(cè)試轉(zhuǎn)角值的角度考慮,荷載越大測(cè)試轉(zhuǎn)角值越大,越有利于測(cè)量相對(duì)誤差的控制。由圖10和圖11可知,不管采用集中力還是均布力,Cond2(A)基本不變,其對(duì)識(shí)別方程穩(wěn)定性的影響可忽略。由圖12和圖13可知,荷載數(shù)量越多，Cond2(A)越小,其對(duì)Cond2(A)的影響相對(duì)較顯著。由圖14和圖15可知:單個(gè)集中力時(shí),Cond2(A)隨著力從起點(diǎn)(即作為基準(zhǔn)的1#段梁體)到梁跨中逐漸減小,然后基本保持小幅度的波動(dòng);當(dāng)為2個(gè)集中力時(shí),兩者之間距離越大,即力越分散,Cond2(A)越小;當(dāng)為3個(gè)集中力時(shí),亦表現(xiàn)出力越分散Cond2(A)越小的規(guī)律。若集中施加3個(gè)集中力,則加載在梁跨中附近比施加在端部附近的Cond2(A)更小。

工況1：n=2 工況5：n=10工況2：n=4 工況6：n=12工況3：n=6 工況7：n=14工況4：n=8 工況8：n=16

圖7 因素1的矩陣條件數(shù)Fig.7 Matrix condition number of factor 1

工況1：p1=p2=40 kN 工況5：p1=40 kN，p2=60 kN工況2：p1=p2=60 kN 工況6：p1=40 kN，p2=80 kN工況3：p1=p2=80 kN 工況7：p1=40 kN，p2=105 kN工況4：p1=40 kN，p2=28 kN 工況8：p1=40 kN，p2=130 kN

圖9 因素2的矩陣條件數(shù)Fig.9 Matrix condition number of factor 2

圖10 因素3的工況設(shè)置(單位:mm) Fig.10 Working condition of factor 3(Unit:mm)

圖11 因素3的矩陣條件數(shù)Fig.11 Matrix condition number of factor 3

圖12 因素4的工況設(shè)置(單位:mm)Fig.12 Working condition of factor 4(Unit:mm)

圖13 因素4的矩陣條件數(shù)Fig.13 Matrix condition number of factor 4

工況1：x1=1×147.5 mm工況2：x1=2×147.5 mm ? ?工況15：x1=15×147.5 mm

圖15 因素5的矩陣條件數(shù)Fig.15 Matrix condition number of factor 5

綜合圖6-圖15,從影響Cond2(A)的程度來(lái)分析,因素1>因素4≥因素5>因素2≥因素3。在選擇合適加載方案條件下,Cond2(A)可取得較小值,識(shí)別方程組的穩(wěn)定性可得到保證。在工程實(shí)踐中,宜結(jié)合實(shí)際根據(jù)本研究成果合理選擇加載方案。

4 測(cè)量誤差對(duì)識(shí)別精度的影響

(15)

式中,η為噪聲程度,Rand(·)為在[0,1]范圍內(nèi)的均布隨機(jī)函數(shù)。

(16)

表3 當(dāng)梁分為4段、傾角傳感器測(cè)量精度為0.01°、噪聲程度為3%時(shí)各分段ei1)

1)表中抗彎剛度單位為kN·m2;由于傾角傳感器測(cè)量精度為0.01°,所以有限元模型中提取轉(zhuǎn)角值保留至小數(shù)點(diǎn)后3位。

對(duì)比表3-表6可知,梁的分段數(shù)量越少,能接受測(cè)量噪聲的程度越高,這與前面關(guān)于分段數(shù)量對(duì)抗彎剛度識(shí)別方程組穩(wěn)定性影響分析的結(jié)論一致;傾角傳感器測(cè)量精度越高,抗彎剛度識(shí)別精度也越高;噪聲程度是影響抗彎剛度識(shí)別精度的主要因素,噪聲越大,識(shí)別結(jié)果相對(duì)誤差也越大。綜合分析,雖考慮了測(cè)量噪聲影響,但本研究提出的方法仍具有良好魯棒性,識(shí)別結(jié)果誤差能滿足工程精度要求。若能合理控制梁體分段數(shù)量,采用高精度傳感器,以及通過(guò)多次重復(fù)測(cè)量求平均值等手段減小測(cè)量誤差,那么采用本研究提出的方法可獲得高精度抗彎剛度識(shí)別結(jié)果。

表4 當(dāng)梁分為4段、傾角傳感器測(cè)量精度為0.01°、噪聲程度為1%時(shí)各分段ei1)

表5 當(dāng)梁分為8段、傾角傳感器測(cè)量精度為0.01°、噪聲程度為1%時(shí)各分段ei1)Table 5 ei of each section when the beam is divided into 8 sections,the accuracy of sensor is 0.01°,and the noise level is 1%

表6 當(dāng)梁分為8段、傾角傳感器測(cè)量精度為0.001°、噪聲程度為0.5%時(shí)各分段ei1)Table 6 ei of each section when the beam is divided into 8 sections,the accuracy of sensor is 0.001°,and the noise level is 0.5%

5 結(jié)論

(1)提出了一種基于靜力荷載作用下測(cè)試轉(zhuǎn)角的簡(jiǎn)支梁初始抗彎剛度識(shí)別方法,有限元數(shù)值和試驗(yàn)數(shù)據(jù)均驗(yàn)證了本方法的可靠性。本方法具有清晰的理論基礎(chǔ),不需復(fù)雜的反演算法,不需配合有限元數(shù)值模型,不需已知結(jié)構(gòu)截面尺寸、配筋及材料特性等,具有顯著優(yōu)越性。本方法不僅可用于簡(jiǎn)支梁靜載試驗(yàn)結(jié)果評(píng)估及質(zhì)量鑒定,而且還可為既有梁結(jié)構(gòu)剛度退化評(píng)估及損傷識(shí)別提供方法。

(2)本研究的抗彎剛度識(shí)別方程組的穩(wěn)定性與梁體分段數(shù)量、作用力大小、類型、個(gè)數(shù)、作用位置共5個(gè)因素有關(guān),其中梁體分段數(shù)量、作用力個(gè)數(shù)和作用位置這3個(gè)因素影響程度最大。在選擇合適的加載方案條件下,識(shí)別方程組的穩(wěn)定性可得到保證。

(3)轉(zhuǎn)角測(cè)量噪聲對(duì)梁抗彎剛度的識(shí)別有顯著影響,識(shí)別誤差隨測(cè)量噪聲的減小而減小。通過(guò)合理控制梁體分段數(shù)量,采用高精度傳感器,以及多次重復(fù)測(cè)量求平均值等手段減小測(cè)量誤差,可有效提高梁抗彎剛度識(shí)別精度。在加載及測(cè)試方法得當(dāng)?shù)那疤嵯?本研究提出的方法具有良好魯棒性。