考慮狀態(tài)約束的彈性高超聲速飛行器自適應(yīng)飽和容錯控制

陳 峣，譚立國，魏毅寅，段廣仁

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間基礎(chǔ)科學(xué)研究中心，哈爾濱 150001)

0 引 言

高超聲速飛行器具有時變快、非線性強、耦合強及不確定性大等特點[1-2]。通常采用細(xì)長體外形和輕結(jié)構(gòu)設(shè)計，在發(fā)生彈性形變時可能會對飛行器的控制量產(chǎn)生影響，進而加大了執(zhí)行器發(fā)生故障的概率[3]。另外，高超聲速飛行器主要以超燃沖壓發(fā)動機作為動力推進系統(tǒng)，飛行狀態(tài)變量的變化對其工作性能影響很大，只有當(dāng)飛行狀態(tài)滿足相關(guān)約束條件時，超燃沖壓發(fā)動機才可以正常工作。所以，研究執(zhí)行器故障和狀態(tài)約束下的彈性高超聲速飛行器的魯棒控制方法，對提升高超聲速飛行器的可靠性和安全性具有重要意義。

近年來，隨著現(xiàn)代控制理論的快速發(fā)展，非線性控制方法在高超聲速飛行器跟蹤控制領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，并取得豐富的研究成果。文獻[4-5]利用滑?？刂坪妥赃m應(yīng)控制，針對高超聲速飛行器剛體模型，設(shè)計了自適應(yīng)滑?？刂破?。文獻[6]采用跟蹤微分器，設(shè)計了高超聲速飛行器動態(tài)面控制器。文獻[7]針對彈性高超聲速飛行器，將滑?？刂婆c反步法相結(jié)合，設(shè)計了反步滑?？刂破?。為增強系統(tǒng)的魯棒性，文獻[8-9]將外界干擾、模型參數(shù)不確定性視為未知有界的系統(tǒng)干擾，利用非齊次觀測器對干擾進行估計，設(shè)計了高超聲速飛行器自適應(yīng)快速終端跟蹤控制器。進一步考慮彈性模態(tài)對高超聲速飛行器的影響，文獻[10-11]利用超螺旋滑模控制理論，針對彈性高超聲速飛行器設(shè)計了自適應(yīng)超螺旋滑模跟蹤控制器。文獻[12-15]利用智能控制算法，對彈性高超聲速飛行器跟蹤控制問題進行了研究分析。另外，高超聲速飛行器的動力推進系統(tǒng)為超燃沖壓發(fā)動機，只有當(dāng)飛行狀態(tài)滿足一定約束時，該發(fā)動機才能正常工作[12-14]。為解決上述問題，文獻[16-17]通過引入屏障李雅普諾夫函數(shù)，針對非線性系統(tǒng)設(shè)計了滿足狀態(tài)約束條件的自適應(yīng)控制器。文獻[18-19]利用屏障李雅普諾夫函數(shù)、反步法和自適應(yīng)技術(shù)，設(shè)計了能同時滿足跟蹤性能和飛行過程中狀態(tài)約束的控制器。

在實際控制系統(tǒng)中，由于物理機構(gòu)的限制使得執(zhí)行機構(gòu)提供的控制力(力矩)是有限大小的，忽略執(zhí)行機構(gòu)的飽和會使得所設(shè)計的控制器魯棒性降低。因此，在設(shè)計控制器時必須考慮輸入飽和問題。文獻[20-21]通過引入輔助系統(tǒng)，利用滑?？刂评碚摵妥赃m應(yīng)控制算法，設(shè)計了剛體高超聲速飛行器飽和跟蹤控制器。文獻[22-24]針對彈性高超聲速飛行器設(shè)計了抗飽和的自適應(yīng)反步跟蹤控制器。文獻[25]在切換控制理論的基礎(chǔ)上，利用線性矩陣不等式方案，設(shè)計了抗飽和切換控制器。此外，由于一體化結(jié)構(gòu)設(shè)計以及高溫，高速等復(fù)雜飛行條件的影響，使得飛行器執(zhí)行機構(gòu)容易發(fā)生飽和，這將進一步提高執(zhí)行器發(fā)生故障的頻率，從而導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降。文獻[26]在二階滑模趨近律和有限時間觀測器的基礎(chǔ)上，設(shè)計了彈性高超聲速飛行器故障容錯控制器。文獻[27] 針對高超聲速飛行器，根據(jù)被動容錯思想，設(shè)計了具有容錯功能的控制器。文獻[28-29] 設(shè)計了魯棒自適應(yīng)容錯控制器，該控制器可以保證系統(tǒng)模型參數(shù)不確定性和執(zhí)行機構(gòu)故障情況下高超聲速飛行器的穩(wěn)定性。文獻[30] 設(shè)計了抗飽和容錯控制器，該控制器以滑模控制和自適應(yīng)控制器為基礎(chǔ)，可以保證控制輸出滿足執(zhí)行器的物理約束條件。

為進一步解決帶有多種約束條件下的彈性高超聲速飛行器跟蹤控制問題，本文采用被動容錯控制的思想，結(jié)合自適應(yīng)控制、反步控制、設(shè)計了跟蹤控制器。與上述相關(guān)文獻相比，本文的主要創(chuàng)新點如下：

1) 在控制器設(shè)計過程中，通過引入新型正切型屏障李雅普諾夫函數(shù)來確保所設(shè)計的控制器能夠滿足高超聲速飛行器的狀態(tài)約束和跟蹤性能。

2) 與文獻[8]相比，本文通過引入雙曲正切函數(shù)處理輸入飽和問題，保證高超聲速飛行器在實際控制系統(tǒng)執(zhí)行過程中滿足執(zhí)行器機構(gòu)物理約束條件。

3)與文獻[20]相比，本文同時考慮了輸入飽和、執(zhí)行器故障、狀態(tài)約束等條件，使得所設(shè)計的控制策略，具有更好的工程意義。

本文的主要內(nèi)容如下：首先，給出了彈性高超聲速飛行器控制模型；其次，利用反步法、雙曲正切函數(shù)和自適應(yīng)控制技術(shù)，分別針對速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)設(shè)計了自適應(yīng)抗飽和故障容錯跟蹤控制器，且借助Lyapunov理論證明了所設(shè)計的跟蹤控制器的速度和高度有限時間收斂性；再次，結(jié)合仿真實驗分析了所設(shè)計控制器的性能；最后，給出本文的結(jié)論。

1 模型描述及相關(guān)引理

1.1 彈性高超聲速飛行器模型

考慮到高超聲速飛行器剛體動力學(xué)和彈性動力學(xué)氣動耦合，系統(tǒng)模型[2]：

(1)

推力T、阻力D、升力L、俯仰角力矩M和廣義力Ni表達式為:

(2)

式中:氣動力和氣動力矩系數(shù)CT,φ(α,Δτ1,M∞)、CT(α,Δτ1,M∞,Ad)、CD(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CL(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CM(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CNi(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)為關(guān)于M∞、Ad、α、Δτ1和Δτ2的非線性函數(shù)，具體的表達式如下所示:

(3)

1.2 控制面模型

考慮氣動參數(shù)的不確定性，可得到如下的氣動力、氣動力矩以及廣義力的不確定部分的表達式:

(4)

其中:ΔCT,φ、 ΔCT、 ΔCD、 ΔCL、 ΔCM及ΔCNi的表達式如下:

(5)

在高超聲速飛行器剛體模型中將彈性模態(tài)部分視為系統(tǒng)擾動進行處理,考慮到空氣參數(shù)的不確定性,則進一步控制模型為:

(6)

其中:dV、dγ、dα和dq為氣動參數(shù)和彈性模態(tài)引起的系統(tǒng)不確定項,則dV、dγ、dα和dq的具體表述式如下所示:

其中,S為參數(shù)特征面積。

同時考慮輸入飽和及執(zhí)行器故障模型如下:

φ=ρVsat(φ),δe=ρhsat(δe)

(7)

其中:ρV和ρh為失效故障因子，且滿足0<ρV<1, 0<ρh<1, sat(φ)為飽和函數(shù)。

注1：在執(zhí)行器故障模型(8)中，φ和δe分別高超聲速飛行器控制系統(tǒng)中的發(fā)動機節(jié)流閥和舵偏角的參考輸入;ρV和ρh分別表示為速度及高度執(zhí)行機構(gòu)中發(fā)生的故障，且滿足于0≤ρi<1(i=V,h)。

根據(jù)式(7)，式(6)可重寫為:

(8)

控制目標(biāo)：針對彈性高超聲速飛行控制系統(tǒng)式(8)，在控制限幅、執(zhí)行機構(gòu)失效的情況下，在所設(shè)計的抗飽和故障容錯控制策略作用下，能夠控制飛行器對速度參考信號Vd和高度參考信號hd進行快速穩(wěn)定高精度跟蹤，同時保證攻角、俯仰角、俯仰角速率滿足給定狀態(tài)約束條件。

2 控制器設(shè)計

針對速度和高度兩個子系統(tǒng)，根據(jù)被動容錯思想、結(jié)合反步法和自適應(yīng)控制方法，分別設(shè)計了自適應(yīng)抗飽和的故障容錯控制器，通過引入新型屏障李雅普諾夫函數(shù)，能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)在飛行過程中滿足狀態(tài)約束條件。

為方便控制器的設(shè)計，給出以下引理。

引理1[27].對于任意實數(shù)x和非零實數(shù)y，下面不等式成立:

0≤|x|(1-tanh(|x/y|))≤α|y|

(9)

其中:α>0，其最小值α*滿足α*=x*(1-tanhx*)，則x*滿足方程e-2x*+1-2x*=0。

2.1 速度子系統(tǒng)控制器設(shè)計

定義速度跟蹤誤差zV:

zV=V-Vd

(10)

其中:Vd為速度參考信號。

對式(10)求導(dǎo):

(11)

為處理執(zhí)行器輸入飽和問題，引入光滑雙曲正切函數(shù)如下:

sat(φ)=h(φ)=φ+Δφ

(12)

h(φ)=φmaxtanh(φ/φmax)

(13)

其中:φmax為正常數(shù)。

根據(jù)式(12)，則(11)可重寫為:

(14)

假設(shè)1：在系統(tǒng)(14)中，干擾gVρVΔφ+dV(t)存在未知上界，則滿足下列不等式:

|gVρVΔφ+dV(t)|≤εV

(15)

其中:εV為未知正常數(shù)。

為了保證速度期望的跟蹤性能|zV|≤AzV，其中AzV>0，定義屏障李雅普諾夫函數(shù)如下:

(16)

對式(16)求導(dǎo)可得:

(17)

根據(jù)式(17)，利用反步法和自適應(yīng)算法，設(shè)計了帶有狀態(tài)約束的自適應(yīng)飽和故障容錯控制器:

(18)

(19)

(20)

其中:kV1、ξV、λV1和λV 2為正常數(shù)。

定理1.考慮系統(tǒng)(8)，且滿足假設(shè)條件1，在控制器(18)和自適應(yīng)律(19)～(20)作用下，則跟蹤誤差變量zV收斂到如下區(qū)域:

(21)

其中:cV和cV 0是與控制器參數(shù)相關(guān)的常數(shù)。

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)如下:

(22)

利用式(18)對V1求導(dǎo)整理可得:

(23)

由引理1可知，下列不等式成立:

(24)

將式(24)代入式(23)整理可得:

(25)

令

cV=min{kV1,λV1,λV 2}

(26)

(27)

根據(jù)式(26)～(27)，式(25)可以整理為:

(28)

對式(28)求解可得:

(29)

由式(29)可得V1(t)≤V1(0)，即V1(t)是有界的，聯(lián)合屏障李雅普諾夫函數(shù)式(16)，可得不等式如下:

(30)

進一步可得:

(31)

定理1證畢。

2.2 高度子系統(tǒng)控制器設(shè)計

高度誤差變量zh定義為:

zh=h-hd

(32)

其中:hd為速度參考信號。

對式(32)求導(dǎo):

(33)

進一步可得期望的航跡角信號:

(34)

其中:kh1>0是常數(shù)。

為了系統(tǒng)的反饋形式，下式將式(8)進行轉(zhuǎn)化:

(35)

假設(shè)2.在高度系統(tǒng)模型(35)中，總的干擾項dγ和dα有界，且滿足式:

|dγ|≤εγ, |dα|≤εα

(36)

其中:εγ>0和εα>0且未知。

Step1：航跡角跟蹤誤差變量zγ定義:

zγ=γ-γc

(37)

對式(37)求導(dǎo)可得:

(38)

為了保證航跡角期望的跟蹤性能|zγ|≤Azγ，其中:Azγ>0，定義屏障李雅普諾夫函數(shù)如下:

(39)

對式(39)求導(dǎo)可得:

(40)

根據(jù)式(40)，設(shè)計虛擬控制器αc如下:

(41)

(42)

其中:kγ1、ξγ和λγ為正常數(shù)。

為了克服對虛擬控制器αc多次微分所導(dǎo)致計算復(fù)雜問題，引入一階命令濾波器如下:

(43)

其中:αc和αd分別為一階命令濾波器的輸入及輸出信號，且τ1為正常數(shù)。

定義濾波器微分跟蹤誤差yα為:

yα=αd-αc

(44)

將虛擬控制器式(41)代入式(40)整理可得:

(45)

Step2：定義攻角誤差zα=α-αc，并求導(dǎo)得:

(46)

為保證攻角期望的跟蹤性能|zα|≤Azα，其中Azα>0，定義屏障李雅普諾夫函數(shù)如下:

(47)

對式(47)求導(dǎo)可得:

(48)

根據(jù)式(46)，設(shè)計虛擬控制器qc如下:

(49)

(50)

其中:kα1,ξα和λα為正常數(shù)。

為克服對虛擬控制器qc多次微分所導(dǎo)致計算復(fù)雜，引入一階命令濾波器如下:

(51)

其中:qc和qd分別為命令濾波器的輸入和輸出信號，且τ2為正常數(shù)。

定義濾波器微分跟蹤誤差yq為:

yq=qd-qc

(52)

將式(49)代入(48)整理可得:

(53)

Step3：定義俯仰角速率跟蹤誤差zq=q-qd，并求導(dǎo)可得:

(54)

為了處理執(zhí)行輸入飽和問題，引入光滑雙曲正切函數(shù)如下:

sat(δe)=h(δe)=δe+Δδe

(55)

h(δe)=δemaxtanh(δe/δemax)

(56)

其中:δemax為正常數(shù)。則式(54)可重寫為:

(57)

假設(shè)3：在系統(tǒng)(57)中，干擾gqρhΔδe+dq存在未知上界，則滿足下列不等式:

|gqρhΔδe+dq|≤εh

(58)

其中，εh為未知正常數(shù)。

為保證俯仰角速率期望的跟蹤性能|zq|≤Azq，其中Azq>0，定義屏障李雅普諾夫函數(shù)如下:

(59)

對式(59)求導(dǎo)可得:

(60)

根據(jù)式(57)，結(jié)合自適應(yīng)控制算法，設(shè)計了帶有狀態(tài)約束的飽和故障容錯控制器如下:

(61)

(62)

(63)

其中:kq1、ξq、λq1和λq2為正常數(shù)。

定理2.考慮系統(tǒng)(35)且滿足假設(shè)條件2，在控制器式(61)和自適應(yīng)律式(62)～(63)作用下為制導(dǎo)律，誤差變量zh、zγ、zα和zq漸近收斂到如下區(qū)域。

(64)

其中：ch0和ch是與控制器參數(shù)相關(guān)的常數(shù)。

證明.考慮李雅普諾夫函數(shù)

(65)

利用式(40)、(53)、(60)、(61)對式(65)求導(dǎo)可得:

(66)

由引理1可知，下列不等式成立:

(67)

將式(67)代入式(66)整理可得:

0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(68)

根據(jù)：

(69)

(70)

將式(69)和式(70)代入式(68)整理可得:

0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(71)

令

(72)

0.2785ξγδγ+0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(73)

利用式(72)和式(73)，式(71)可整理為：

(74)

對式(72)求解可得:

(75)

由式(75)可得V2(t)≤V2(0)，即V2(t)是有界的，聯(lián)合屏障李雅普諾夫函數(shù)式(39)、(47)和(59)，可得不等式如下:

(76)

(77)

(78)

進一步可得:

(79)

(80)

(81)

定理2證畢。

3 仿真分析

為了定量分析本文所設(shè)計控制策略的性能，對非線性運動方程(1)和氣動模型(2)～(3)進行仿真，參考文獻[2]中氣動參數(shù),見表1。

表1 高超聲速飛行器參數(shù)

3.1 執(zhí)行器無故障的仿真分析

高超聲速飛行器期望速度指令為Vd=4650.3 m/s，期望高度指令為hd=34328 m，控制參數(shù)選取如下：AzV=3、kV1=0.54、ξV=0.01、λV1=0.02、λV 2=0.02、kh1=0.1、kγ1=0.5、ξγ=ξq=ξα=0.01、λγ=λα=λq1=λq2=0.02、τ1=τ2=0.02、kα1=0.3、kq1=0.46和Azγ=Azα=Azq=0.15。則仿真結(jié)果如圖1～圖5所示。

圖1 速度跟蹤曲線

圖2 高度跟蹤曲線

圖3 控制輸入φc和δe曲線

圖4 狀態(tài)變量γ,α和q曲線

圖5 彈性模態(tài)η1和η2曲線

從圖1～圖2分別給出了速度和高度的跟蹤曲線仿真結(jié)果可知，即使存在外界干擾、模型參數(shù)不確定性和輸入飽和情形下，速度誤差和高度誤差在有限時間內(nèi)收斂到零的附近區(qū)域，能夠滿足跟蹤性能。從圖3給出控制輸入曲線可知，控制輸入在整個控制過程中是有界的。由圖4給出飛行器的其他狀態(tài)曲線可知，航跡角、攻角和俯仰率在短時間內(nèi)趨于穩(wěn)態(tài)值且滿足預(yù)期的狀態(tài)約束條件。圖5描述了彈性模型的曲線，表明彈性模態(tài)變量η1和η2在經(jīng)歷較短暫態(tài)后趨于穩(wěn)定值。

3.2 帶有執(zhí)行器故障的仿真分析

為驗證所設(shè)計控制器對執(zhí)行器發(fā)生故障時的有效性，控制參數(shù)和參考信號與3.1節(jié)相同，在仿真中，假設(shè)故障形式如式(82)所示，其仿真結(jié)果如圖6～圖11所示。

圖6 速度跟蹤曲線

圖7 高度跟蹤曲線

圖8 控制輸入φc和δe曲線

圖9 狀態(tài)變量γ和α曲線

圖10 俯仰角速率q曲線

圖11 彈性模態(tài)η1和η2曲線

(82)

圖6～圖7分別給出了兩個狀態(tài)的跟蹤結(jié)果，從圖中可以看出，當(dāng)飛行器發(fā)生執(zhí)行機構(gòu)失效故障時，所設(shè)計的容錯控制器能夠快速自動調(diào)整控制增益，以實現(xiàn)對故障影響的有效處理，使得速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差均在較短時間內(nèi)收斂到平衡點，且其精度達到了控制系統(tǒng)的性能要求。圖8所產(chǎn)生的控制變化曲線，從圖中可以看出，輸入曲線變化平緩，并能夠滿足執(zhí)行器物理受限的要求。從圖9～圖10所示的高超聲速飛行器其它狀態(tài)量的變化曲線可知，當(dāng)控制器發(fā)生故障時，由于控制器對故障進行有效處理，使得較短的時間內(nèi)航跡角γ，攻角α和俯仰角θ迅速趨于穩(wěn)定，且各個誤差變量zγ、zθ和zq分別快速的收斂至|zγ|≤0.15、|zθ|≤0.15和|zq|≤0.15。圖11為執(zhí)行機構(gòu)故障下的彈性狀態(tài)變化曲線，彈性模態(tài)變量η1和η2在較短時間內(nèi)趨于穩(wěn)態(tài)值，并能保持在一定范圍內(nèi)變化。

4 結(jié)論

本文針對帶有狀態(tài)約束的高超聲速飛行器跟蹤控制問題進行了深入的研究，同時考慮到彈性耦合、執(zhí)行器輸入受限和執(zhí)行器故障的工程實際需求，在構(gòu)造一種新型屏障李雅普諾夫函數(shù)基礎(chǔ)上，利用反步法、雙曲正切函數(shù)、一階濾波器和自適應(yīng)控制技術(shù)，提出了一種自適應(yīng)抗飽和故障容錯控制策略，通過屏障李雅普諾夫函數(shù)的有界性，使得所設(shè)計的控制策略在滿足飛行狀態(tài)約束的同時具有良好的控制性能。借助李雅普諾夫函數(shù)對所設(shè)計的控制器進行了穩(wěn)定性證明，并通過仿真分析進一步驗證了所設(shè)計控制策略的性能。