彈流潤滑效應(yīng)下直齒輪的接觸疲勞壽命

胡贇 ，劉少軍 ，丁晟

(1. 中南大學(xué) 機電工程學(xué)院，湖南 長沙，410083；2. 中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙，410083)

隨著現(xiàn)代機械傳動系統(tǒng)不斷地向高速、重載的方向發(fā)展，齒輪的受載條件以及潤滑狀態(tài)都會明顯異于低速、輕載的齒輪。其中一個非常重要的物理現(xiàn)象便是在高速運轉(zhuǎn)下嚙合齒面間形成的彈流潤滑效應(yīng)[1]。對于不考慮彈流潤滑效應(yīng)的齒輪接觸疲勞壽命，一般采用三齒嚙合模型來模擬齒輪的傳動，再結(jié)合相關(guān)的疲勞壽命研究理論進行接觸疲勞壽命評估[2-3]。對于考慮彈流潤滑效應(yīng)的齒輪接觸疲勞壽命，Zaretsky[4]將齒輪的接觸疲勞壽命類比于軸承的接觸疲勞壽命，以Lundberg 和Palmgern 在滾動軸承計算中使用過的統(tǒng)計方法為理論基礎(chǔ)，潤滑效應(yīng)的考慮則通過引入ISO281:2007 標準中關(guān)于軸承潤滑修正系數(shù)選取的方法來實現(xiàn)；Li 等[5-6]通過彈性力學(xué)中的接觸理論計算了彈流潤滑效應(yīng)下接觸區(qū)次表面的應(yīng)力分布，采用Susmel 和Lazzarin 準則完成接觸疲勞壽命的預(yù)測；高創(chuàng)寬[7]、亓秀梅等[8]、潘登[9]以及張增強[10]采用彈性力學(xué)中的接觸理論分別分析了彈流潤滑效應(yīng)下油膜比厚、齒面粗糙度、齒輪轉(zhuǎn)速以及潤滑油黏度對接觸區(qū)次表面應(yīng)力的影響，并根據(jù)這個結(jié)果來判定這些因素對壽命的影響；Deng 等[11]通過一系列試驗，給出了油潤滑下齒面溫度的計算公式，認為齒輪的疲勞壽命應(yīng)以齒面溫度為計算基礎(chǔ)而非赫茲應(yīng)力。本文作者則致力于開展綜合考慮彈流潤滑效應(yīng)以及齒輪幾何形狀的影響，通過有限元分析獲取齒輪接觸應(yīng)力，再結(jié)合材料P-S-N 曲線來進行彈流潤滑效應(yīng)下直齒輪的接觸疲勞壽命評估的研究，將所得結(jié)果與基于Hertz 接觸理論和GB/T 3480—1997 標準的齒輪接觸疲勞壽命評估結(jié)果作比較，研究彈流潤滑效應(yīng)對齒輪接觸疲勞壽命的影響程度。

1 齒輪彈流潤滑物理模型的建立

針對直齒輪彈流潤滑問題的研究，可通過一對圓柱體的接觸來模擬直齒輪嚙合[7,12]，這對圓柱體的半徑則分別等同于齒輪嚙合點處漸開線的當(dāng)量曲率半徑R1和R2，轉(zhuǎn)動速度分別等同于相應(yīng)齒輪的轉(zhuǎn)速n1和n2，嚙合點的切線速度分別為u1和u2。如圖1(a)所示。如果進一步轉(zhuǎn)化，可以用1 個當(dāng)量半徑為R、轉(zhuǎn)速為n，切線速度為u 的等效圓柱體和1 個無限長的剛性平面的接觸來模擬，如圖1(b)所示。

2 齒輪接觸應(yīng)力分析

2.1 齒輪嚙合過程的幾何參數(shù)計算

某直升機主減速器中的一對嚙合直齒輪基本參數(shù)如下：模數(shù)m=3.5 mm，傳動比i=3.218 75，齒數(shù)z1=32，z2=103，齒寬bg=45 mm，壓力角α=22.5°。工況取轉(zhuǎn)速n=7 500 r/min，傳遞功率PE=600 kW，齒輪副材料20Cr2Ni4A，屈服強度σs=1 080 MPa，拉伸強度σb=1 175 MPa，彈性模量E=2.07×105MPa，泊松比ν=0.29，潤滑油動力黏度η=0.014 Pa·s。

考慮齒輪重合度以及漸開線幾何特性給彈流潤滑計算參數(shù)帶來的變化，可以在雷諾方程中引入時間項來完成輪齒在單個嚙合周期內(nèi)瞬態(tài)彈流潤滑數(shù)值解[13]。但通過分析齒輪的嚙合變化規(guī)律后，本文將齒輪的整個嚙合過程用圖2 所示的5 個特殊嚙合點來表示：嚙入點A、雙單嚙合交替點B(進一步分析，此點可以表示為1 個雙齒嚙合的瞬態(tài)B-和1 個單齒嚙合的瞬態(tài)B+)、節(jié)點J、單雙嚙合交替點C(與B 點同理，此點可以表示為1 個單齒嚙合的瞬態(tài)C-和1 個雙齒嚙合的瞬態(tài)C+)、嚙出點D，采用穩(wěn)態(tài)的一維形式的雷諾方程進行求解。

圖1 齒輪彈流潤滑物理模型Fig.1 Physical models of gear EHD

圖2 齒輪嚙合過程圖Fig.2 Gear meshing process

現(xiàn)對這些特殊嚙合點的幾何參數(shù)進行計算。

式中：ra1和ra2分別為主、從動輪的齒頂圓半徑；rb1和rb2分別為主、從動輪的基圓半徑；r1和r2分別為主、從動輪的分度圓半徑。

主動輪單齒嚙合轉(zhuǎn)過的角度 βL1為

式中：pb為齒輪的法向齒距。

主動輪雙齒嚙合轉(zhuǎn)過的角度βH1為

主動輪從基圓處到進入嚙合轉(zhuǎn)過的角度 δ1為

主動輪從嚙入點A 到節(jié)點J 轉(zhuǎn)過的角度 α1為

2) 嚙合點處的單位齒寬載荷w。齒輪從漸開線的A 處到漸開線的D 處，齒輪嚙合經(jīng)歷了雙單齒的交替過程，因而其單位齒寬載荷的計算在漸開線不同位置亦有所區(qū)別，計算公式如下：

式中：k 為同時嚙合的齒輪對數(shù)。

3) 嚙合點處的綜合曲率半徑R。以A 點為例，其余點只需代入對應(yīng)的數(shù)值即可完成計算。

4) 嚙合點處的齒面平均速度為

嚙合過程的幾何參數(shù)計算結(jié)果如表1 所示。

2.2 彈流潤滑油膜壓力的計算

假設(shè)潤滑油為牛頓流體，處于等溫線接觸彈流潤滑狀態(tài)。建立1 個x 軸為表面卷吸速度方向，y 軸為油膜壓力的坐標系。彈流潤滑基本方程組如下。

1) Reynolds 方程為

式中：ρ 和η 分別為潤滑油的密度和黏度；u 為齒面平均速度；p 和h 分別表示油膜的壓力和厚度。

Reynolds 方程求解的邊界條件為

2) 膜厚方程。膜厚方程包括初始間隙、中心膜厚以及彈性變形等，其形式為

式中：h0為待定常數(shù)；R 為綜合曲率半徑；E′為綜合彈性模量；s 為任意分布載荷p(s)與坐標原點的距離。

3) 黏壓方程。黏壓方程采用Reolands 公式

表1 齒輪嚙合過程的幾何參數(shù)計算結(jié)果Table 1 Results of geometric parameters of gear meshing process

式中：η0為大氣壓下的黏度；p0為壓力系數(shù)；z 為礦物油系數(shù)，一般可取0.68。

4) 密壓方程。密壓方程采用Dowson 和Higginson形式

式中：ρ0為潤滑油的環(huán)境密度。

5) 載荷方程為

彈流潤滑油膜壓力計算結(jié)果如圖3 所示。圖3 所示為齒輪沿嚙合線彈流潤滑油膜壓力曲線的變化趨勢。從齒根到齒頂，出口壓力峰值位置先往出口處移動，過了節(jié)點J 之后，出口壓力峰值的位置則開始往入口處移動。在單齒嚙合的情形下(B+，J 和C-)，出口壓力峰值相對中心油膜壓力而言，其值較小，而在雙齒嚙合的情形下(A，B-，C+，D)，出口壓力峰值相對中心油膜壓力而言，其值較大，即重載有助于抑制出口壓力的形成，而輕載的情形下容易形成較大的出口油膜壓力。圖4 所示為B+點沿齒寬方向的油膜壓力分布三維圖。

圖3 彈流潤滑油膜壓力計算結(jié)果Fig.3 Calculation results of EHD for oil film pressure

圖4 B+點油膜壓力沿齒寬分布Fig.4 Distribution of oil film pressure along gear width on point B+

2.3 接觸應(yīng)力的轉(zhuǎn)化

假定油膜在該工況下穩(wěn)定存在，不發(fā)生破裂。圖4 所示為B+點油膜壓力沿齒寬分布?？紤]油膜壓力在赫茲接觸變形區(qū)呈不規(guī)則變化(圖4)，為最大限度的表現(xiàn)油膜壓力作用在齒輪表面上的情形。圖5 所示為劃分加載面。分別以上述各嚙合點為中心，以赫茲接觸區(qū)為油膜壓力加載區(qū)域，并將此加載區(qū)域沿赫茲接觸寬度等分成5 塊狹長的加載面[15-16](圖5)。該點處的油膜壓力取赫茲接觸區(qū)內(nèi)的計算結(jié)果作為施加條件，用同樣的方法分成5 等分，對每個小部分的油膜壓力求平均值，再將這個油膜壓力的平均值作為加載區(qū)域的外載荷。通過有限元分析，即可得出油膜壓力作用下齒輪的接觸應(yīng)力。

圖5 劃分加載面Fig.5 Division of loading surface

為對結(jié)果進行比較，對干赫茲接觸狀態(tài)以及GB/T 3480—1997 下的接觸應(yīng)力也分別進行計算，結(jié)果如表2 所示。干赫茲接觸應(yīng)力采用赫茲接觸公式進行計算。干赫茲接觸公式只考慮了載荷與等效半徑的影響，而彈流潤滑下的齒輪接觸應(yīng)力還考慮了潤滑因素的影響。由于彈流潤滑和干赫茲接觸狀態(tài)下的最大接觸應(yīng)力都發(fā)生在B+點處，而齒輪實際最先容易發(fā)生接觸疲勞的位置也是處于節(jié)線靠近齒根附近的區(qū)域，因而接觸應(yīng)力計算結(jié)果分布情況符合實際情形。

表2 不同條件下的接觸應(yīng)力Table 2 Contact stress under different conditions MPa

3 疲勞分析

3.1 平均應(yīng)力修正

材料P-S-N 曲線一般是在指定應(yīng)力比為-1 的情形下進行的疲勞試驗，應(yīng)力均值為0。實際上齒輪齒面的接觸應(yīng)力為脈動循環(huán)，既有應(yīng)力幅值又有非零的應(yīng)力均值，這與試驗情形不一樣。因此，有必要將此類應(yīng)力修正為試驗情形下的應(yīng)力。常用的做法是采用Goodman 曲線、Gerber 曲線、Soderberg 曲線等壽命曲線進行修正。一般認為，線性Goodman 曲線修正非零均值應(yīng)力的交變載荷其值具有一定的保守性和安全性，且為線性形式，簡單實用?；诎踩钥紤]，本文針對航空齒輪的壽命評估選用線性Goodman 曲線進行平均應(yīng)力修正，其表達式如下：

式中：Sa為應(yīng)力幅值；Sm為應(yīng)力均值；σb為材料的拉伸強度；σeqv為等效疲勞應(yīng)力。

3.2 建立齒輪P-S-N 曲線

在以雙對數(shù)坐標系繪制的P-S-N 曲線內(nèi)，其有限壽命方程近似為1 條斜線，方程的通用形式為

式中：Np為與存活率有關(guān)的疲勞壽命，ap和bp為與存活率有關(guān)的材料常數(shù)。

從文獻[17]中得20Cr2Ni4A 材料的中值接觸疲勞壽命曲線方程為

然而，式(19)是針對20Cr2Ni4A 材料的標準試件進行的接觸疲勞試驗，齒輪零件和材料試件又由于結(jié)構(gòu)、尺寸以及加工等方面的差異，因此，還應(yīng)考慮到應(yīng)力集中系數(shù)kt、尺寸系數(shù)ε 以及表面加工系數(shù)β 等三項因素對齒輪疲勞強度產(chǎn)生的影響。據(jù)文獻[18]，取橫向因素kt=1.3，ε=0.76，β=1。修正后的等效疲勞應(yīng)力 σe′qv為

最終齒輪有限壽命內(nèi)的P-S-N 曲線可以表示為

3.3 Miner 線性累積損傷理論的修正

Miner 線性累積損傷理論認為損傷是線性的，且可以進行累加，一般指定累積損傷度為“1”時，構(gòu)件發(fā)生失效破壞。

由于該理論簡便而在工程上得到廣泛應(yīng)用，但由于該理論認為處于疲勞極限以下的應(yīng)力對于構(gòu)件的損傷為零[19]，而實際上這些微小的大量循環(huán)載荷同樣是造成構(gòu)件疲勞失效的一個主要因素，為使結(jié)果不偏于危險，需要對該理論進行修正。常用的Miner 修正理論有OM 法則、EM 法則、MM 法則，但出于安全性考慮，航空工業(yè)采用EM 法則完成線性累積損傷理論的修正。即在雙對數(shù)坐標系中，對處于疲勞極限以下的應(yīng)力仍以相同的bp斜率向下延伸，最終齒輪的P-S-N 曲線如圖6 所示。

3.4 接觸疲勞壽命結(jié)果分析

由于齒輪的接觸疲勞壽命取決于接觸應(yīng)力最大處， GB/T3480—1997 標準條件下以節(jié)點J 為計算點，彈流潤滑效應(yīng)和赫茲接觸條件以B+為計算點。根據(jù)本文提出的接觸疲勞壽命研究方案與成果，彈流潤滑、干赫茲接觸以及GB/T 3480—1997 下的齒輪接觸疲勞壽命計算結(jié)果如表3 所示。

結(jié)果表明：彈流潤滑效應(yīng)下的齒輪接觸疲勞壽命是干赫茲接觸下齒輪接觸疲勞壽命的3.91 倍，是GB/T 3480—1997 壽命的10.4 倍。究其原因，是由于考慮了彈流潤滑效應(yīng)后，齒面間的接觸應(yīng)力受油膜壓力與形狀的影響，在一定程度上得到了均化，并且齒面嚙合過程中的最大接觸應(yīng)力也由于油膜的影響而降低。該分析結(jié)果可以從表2 中的計算結(jié)果得到證實。而在P-S-N 曲線方程中，接觸應(yīng)力恰恰是影響接觸疲勞壽命計算值大小的一個重要因素。

圖6 不同情形下的P-S-N 曲線Fig.6 P-S-N curve under different modify rules

表3 齒輪接觸疲勞壽命Table 3 Gear contact fatigue life

4 結(jié)論

1) 現(xiàn)行基于干Hertz 接觸和GB/T 3480—1997 標準的齒輪接觸疲勞壽命預(yù)測方法沒有考慮潤滑因素的影響，但由于高速傳動齒輪間存在彈流潤滑效應(yīng)，物體間的接觸方式發(fā)生了改變。

2) 通過與本文考慮彈流潤滑效應(yīng)后進行的齒輪接觸疲勞壽命評估結(jié)果比較，傳統(tǒng)齒輪接觸疲勞壽命計算結(jié)果偏于保守，不能完全反映齒輪實際工作能力，對高速傳動部件而言，其使用范圍具有一定的局限性。

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