基于DTA的曲率計(jì)算在盾構(gòu)姿態(tài)控制中的應(yīng)用

張合沛/ZHANG He-pei

（盾構(gòu)及掘進(jìn)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 鄭州 450001）

受地質(zhì)條件、地下環(huán)境如進(jìn)站、出站、不同線路交匯、地面環(huán)境如躲避建筑物等各種因素的影響，地鐵隧道彎線設(shè)計(jì)是不可避免的。彎線的設(shè)計(jì)要考慮對行車過程的影響，不致為降低離心率過度減速、增加單側(cè)鐵軌的壓力等因素。彎線通常選用緩和曲線，關(guān)于緩和曲線的研究與設(shè)計(jì)種類有很多，有基于圓旋線的[1]，有基于分段三次樣條插值曲線的[2]，還有國外學(xué)者基于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中廣泛應(yīng)用的B 樣條函數(shù)的[3]，有采用Bessel曲線做光滑拼接的[4]目的都是根據(jù)地勢環(huán)境的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出光滑的過渡曲線。建設(shè)地鐵的過程中，為提高效率、節(jié)約成本，使盾構(gòu)在掘金的過程中保持正確的路線和姿勢是非常重要的，我們稱之為姿態(tài)控制。姿態(tài)控制和掘進(jìn)速度大小的確定靠適時調(diào)整左右油缸壓力來實(shí)現(xiàn)。實(shí)際問題和大數(shù)據(jù)建模過程中發(fā)現(xiàn)，規(guī)劃路徑的彎曲程度是影響姿態(tài)控制的重要因素[5]。數(shù)學(xué)建模和數(shù)值方法的應(yīng)用為提高了盾構(gòu)掘進(jìn)問題中許多問題的解決提供了有力工具，如大規(guī)模有限元計(jì)算方法正深入這一領(lǐng)域的研究[6]。對于不同的設(shè)計(jì)軸線曲率，各分區(qū)油缸壓力表現(xiàn)出不同的統(tǒng)計(jì)特性，我們曾嘗試依據(jù)區(qū)間總平面圖所提供的信息，分別標(biāo)識直線掘進(jìn)段環(huán)號與轉(zhuǎn)彎掘進(jìn)段環(huán)號，詳細(xì)記錄轉(zhuǎn)彎方向（左或者右），最小轉(zhuǎn)彎半徑信息。對直線掘進(jìn)段和轉(zhuǎn)彎段的數(shù)據(jù)分別建模，所得模型具有更好的可靠性。因此從規(guī)劃路徑的數(shù)據(jù)中用恰當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法較精確的判別軌道彎曲升降趨勢是非常必要。判斷曲線彎曲一般用曲率，升降用斜率。一般情況下借助于一階差商、二階差商來做近似計(jì)算。鑒于數(shù)據(jù)按時間序列不一定是等距的，我們設(shè)計(jì)了一種較精確計(jì)算的方法，能高精度地計(jì)算出斜率和曲率。無論作為數(shù)學(xué)問題或是在工程特別是道路工程中都是非常有意義的。關(guān)于彎線設(shè)計(jì)與計(jì)算方法的文獻(xiàn)甚至軟件非常多，例如緩和曲線大多基于Taylor 展式[7]。鑒于曲率的重要性，而曲率計(jì)算需要一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過細(xì)致探討，我們給出了非等距節(jié)點(diǎn)下一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)近似計(jì)算方法，一階導(dǎo)數(shù)關(guān)于尺度具有二階精度，二階導(dǎo)數(shù)達(dá)到一階精度，在此基礎(chǔ)上可以很好地計(jì)算出曲率。

1 算法推導(dǎo)

假設(shè)規(guī)劃路線的曲線方程為

t為某種參數(shù)，可看成時間或弧長等，（x，y，z)是直角坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)。實(shí)際上規(guī)劃路線是與時間沒有關(guān)系的，我們只是借助于這種人為時間參數(shù)避開直角坐標(biāo)系的缺陷，可以更容易地求出曲率。這里的時間t也代表里程。

通常曲率的定義為切線關(guān)于弧長的變化率[8]，在直角坐標(biāo)系下曲線y=f（x)在點(diǎn)（x，y)處的曲率k可表示為

按上面公式，根據(jù)參數(shù)方程下二階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，可以得出按下面公式計(jì)算t時刻曲線的曲率k為

規(guī)劃曲線雖然是客觀存在的光滑曲線，但解析表達(dá)式并不知道，只知道盾構(gòu)規(guī)劃中采集到的DTA 離散數(shù)據(jù)。我們忽略高程變化，假若盾構(gòu)在一個平面內(nèi)進(jìn)行工作，在小范圍這樣假定也是合理的。

記掘進(jìn)過程中記錄的點(diǎn)列為τj的大小反應(yīng)采集點(diǎn)的密集程度。τj越小，采集的點(diǎn)越稠密。按如下公式來計(jì)算在第j點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)。先算一階導(dǎo)數(shù)近似值

這是一個非常合理的公式，在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是左右兩側(cè)差商的加權(quán)平均值，如果某側(cè)差商的區(qū)間比較大，意味著逼近導(dǎo)數(shù)的效果會差一些，那么它所占的比重比較?。环粗绻钌淌褂玫膮^(qū)間小，這側(cè)差商占比重比較大。從理論上分析，利用Taylor 公式[9]可以證明真正的一階導(dǎo)數(shù)值與用差商計(jì)算出的近似值具有二階逼近性，事實(shí)上，將xj+1，xj-1在tj處做Taylor 展開，有

然后，用上面同樣的道理，再采用一階導(dǎo)數(shù)的近似值代替一階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步得到二階導(dǎo)數(shù)近似值

最終，我們可以借助于曲率來判斷直線或曲線段。當(dāng)曲率足夠小的時候，就認(rèn)為是直線段；當(dāng)曲率比較大時，就認(rèn)為是彎道。

另一方面，借助于高程z=z（t)的導(dǎo)數(shù)z′（t)來判定平、升降，導(dǎo)數(shù)足夠小認(rèn)為是平的；導(dǎo)數(shù)大于0 時，就認(rèn)為在上升，導(dǎo)數(shù)負(fù)則為下降。

2 理論分析

即近似曲率與真正曲率的差別kj?|≤Ch，近似曲率公式可達(dá)到關(guān)于小區(qū)間尺度的一階逼近精度。從理論分析上我們到算法的可靠性。

在盾構(gòu)施工過程機(jī)器參數(shù)與姿態(tài)控制參數(shù)關(guān)聯(lián)分析、應(yīng)用中，對給定的采樣序列（xi，yi，zi)，i=1，2，3，m，注意點(diǎn)列的選取按曲線的走勢選取，可以等距，也可以非等距。

3 在盾構(gòu)掘進(jìn)線路中的應(yīng)用

以福州地鐵一段工程荊溪新城站至風(fēng)井右線為例，觀察施工平面圖和斷面圖，結(jié)合我們設(shè)定的判別算法判定彎道區(qū)間、上坡下坡區(qū)間。該工段施工平面圖和施工斷面圖如圖1、圖2 所示。

圖1 施工平面圖

圖2 施工斷面圖

獲取該線路區(qū)間的DTA 文件示例如表1 所示，因數(shù)據(jù)量比較大，只列一部分。

表1 福州地鐵某段右線DTA數(shù)據(jù)示例

1 環(huán)相約相當(dāng)于1.1m。里程與環(huán)相對應(yīng)，里程可以折算成環(huán)。通過近1 000 環(huán)數(shù)據(jù)的計(jì)算，得到運(yùn)行結(jié)果如表2 所示。

表2 升降彎曲區(qū)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表2 中UP 代表上坡，DOWN 代表下坡，R代表右彎，L 代表左彎，-代表直線。

對照程序運(yùn)行的結(jié)果和CAD 平面圖和斷面圖可以發(fā)現(xiàn)，我們的判定結(jié)果與設(shè)計(jì)圖是一致的。這說明上述推導(dǎo)的算法是正確的。

優(yōu)質(zhì)算法為區(qū)分直段與彎道、上坡下坡，正確建模提供了前期準(zhǔn)備，為姿態(tài)控制、盾構(gòu)掘進(jìn)姿態(tài)智能化控制提供了可靠道路信息準(zhǔn)備，我們在盾構(gòu)與掘進(jìn)大數(shù)據(jù)平臺許多子模塊中已使用了該項(xiàng)技術(shù)，效果較好。

4 結(jié)語

現(xiàn)實(shí)生活中曲線是客觀存在的，但解析表達(dá)式往往是不能表示出來的，實(shí)際問題中，受測量技術(shù)手段或儀器精確度的影響，能提供的數(shù)據(jù)大部分都是離散數(shù)據(jù)如時間序列。借助于數(shù)學(xué)工具分析時，往往需要變化率、加速度等值，如盾構(gòu)掘進(jìn)問題中需要求曲率，利用離散數(shù)據(jù)求導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)或它們的派生數(shù)據(jù)如曲率在現(xiàn)實(shí)問題中非常有必要。本文提出的非等距節(jié)點(diǎn)下求導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、曲率的思想，在盾構(gòu)掘進(jìn)自動化、姿態(tài)控制數(shù)學(xué)建模中起到了很好的作用。數(shù)學(xué)方法具有通用性，這套計(jì)算方案完全可以應(yīng)用到類似交通問題如高速鐵路緩和曲線[10]或其他有關(guān)時間序列問題中去。