框架譜Beurling維數(shù)和密度的連續(xù)性

劉 春 苔

(武漢輕工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，武漢 430023)

指數(shù)型框架，亦稱為Fourier框架[1-2]，具有廣泛的應(yīng)用[1-3]，其定義如下．

定義1設(shè)μ是d中有限Borel測度，Λ是可數(shù)集.若函數(shù)族{e2πi〈λ，x〉:λ∈Λ}是L2(μ)中的框架，則稱μ是L2(μ)的Fourier框架譜測度，且稱Λ為測度μ的一個Fourier框架譜.特別的，若E(Λ)為L2(μ)的正交基，則稱μ為譜測度，且稱Λ為μ的一個譜．

為行文方便，F(xiàn)ourier框架譜測度和Fourier框架譜分別簡稱為框架譜測度和框架譜.如何確定一個測度是否為框架譜測度(或譜測度)是一個非常吸引人的問題，已經(jīng)涌現(xiàn)大量結(jié)果(參見文獻(xiàn)[3-10]及它們所提及的文獻(xiàn))，本文關(guān)心框架譜測度和譜測度的另一個問題:確定框架譜或譜的結(jié)構(gòu).對于此問題，常用的工具是Beurling密度和Beurling維數(shù)，其定義如下.可數(shù)集Λ?d的α階上、下Burling密度定義為

這里，B(x，r)為球心在x，半徑為r的閉球，#E表示集E的勢.稱數(shù)

為集Λ的上Beurling維數(shù)，記為dimBΛ．

當(dāng)d=1，μ為[0，1]上的Lebesgue測度時(此測度為譜測度)，可數(shù)集Λ是否為L2(μ)的框架譜可用1階上下Beurling密度來刻畫[11-13].對于分形測度，Jorgensen和Pedersen[14]證明了四分Cantor測度是譜測度;對于由自仿迭代函數(shù)系所確定的自仿測度μ，文獻(xiàn)[4]證明了在一定條件下，框架譜的Beurling維數(shù)等于此測度支撐集的Hausdorff維數(shù).那么此結(jié)論能否推廣到譜或譜測度呢？很不幸的是，對于四分Cantor譜測度而言，這個答案是否定的:它存在上Beurling維數(shù)為0的譜.一個有趣的開問題是:此譜測度譜的上Beurling維數(shù)和Beurling密度是否具有連續(xù)性.本文利用構(gòu)造法，對一類框架譜測度(或譜測度)，證明了其框架譜(或譜)的上Beurling維數(shù)和上Beurling密度具有連續(xù)性.如下為主要結(jié)果，其中d中的距離和測度δ0在下節(jié)給出．

定理1設(shè)μ為d中一個框架譜測度(或譜測度)，Λ為其一個框架譜(或譜).如果0≤α≤dimBΛ，且s滿足:若α=0，則s=∞;若0<α

1 預(yù)備知識

直線上原點的Dirac測度記為δ0.從此節(jié)開始，均假定μ為d上非原子的Borel測度，且記ρ=μ×δ0.設(shè)a=(a1，…，ad)，b=(b1，…，bd)∈d，定義

d(a，b)=max{|ai-bi|:1≤i≤d}.

閉球B(x，r)={y∈d:d(x，y)≤r}.定義μ的Fourier變換為

引理1[15]可數(shù)集Λ為μ的譜當(dāng)且僅當(dāng)對任意ξ∈d有

引理21)若μ是框架譜測度，Λ={λn}為其一個框架譜，則ρ為框架譜測度，且對任意{an}?R，集Λρ={(λn，an)}均為ρ的框架譜．

2)若ρ是框架譜測度，且有譜Λρ={(λn，an)}，則μ為框架譜測度，且Λ={λn}為其一個框架譜．

3)若將框架譜測度和框架譜分別替換為譜測度和譜，上述結(jié)論仍成立．

證明設(shè)h(x，y)∈L2(ρ)，那么y=0.從而f(x)=h(x，0)∈L2(μ).注意到

這表明

設(shè)λ∈n，a∈，則

〈f(x)，e2πi〈x，λ〉〉L2(μ).

1)設(shè)A為μ的下框架界.那么對任意{an}?R，有

即下框架界條件成立.類似可證上框架界條件成立.從而ρ為框架譜測度，且Λρ為相應(yīng)的框架譜．

2)設(shè)A為測度ρ的下框架界，那么

即下框架界條件成立.類似可證上框架界條件成立.從而μ為框架譜測度，且Λ為相應(yīng)的一個框架譜．

3)注意到對任意a，η∈，

條件μ為譜測度，Λ為其一個譜,等價于下面恒等式成立:

它等價于ρ為譜測度，Λρ為其一個譜．

引理3設(shè)Λ={λ1，λ2，…}?d，Λ′={(λn，an):n≥1}，其中諸an為實數(shù)，則對任意α≥0，有

證明當(dāng)z=(x，y)∈d+1和r>0時，若(λn，an)∈B(z，r)，則an∈B(y，r).因此

#Λ′∩B(z，r)≤#{an}∩B(y，r).

則由上Beurling密度的定義可以導(dǎo)出所需結(jié)論．

下面均假定實數(shù)列{rn}滿足

引理4設(shè)α>0和s∈[0，+∞]，令

(1)

其中k為滿足rk≤r

證明對于n≥1，1≤j≤bn和m=0，1，定義

(2)

(1)式左邊不等式成立.下證右邊不等式．

所以，當(dāng)y∈時，至多存在一個不小于k的整數(shù)(記其為n)，使得Γ(n)與B(y，r)相交非空.因此集Γ(n)∩B(y，r)的勢不超過

當(dāng)s=0時，取K=(r/log logr)α;當(dāng)s∈+，取K=s·rα;當(dāng)s=+∞時，取K=rαlog2r.直接驗算，知若2j>K，則因此，倘若f(r)為題設(shè)所給，則有

#Γ(n)∩B(y，r)≤f(r)rα.

綜上，對任意y∈，由{rn}的快速增長性，有

2 主要結(jié)論及其證明

本節(jié)將給出主要定理的證明，為此先給出3個引理．

證明令a2n-m=(-1)m2n，n≥1，m=0，1.記Γ={an:n≥1}，Λρ={(λn，an):n≥1}.注意到差分序列{a2(n+1)-m-a2n-m=2n}為嚴(yán)格單增序列，所以對于任意r>2，

于是當(dāng)r充分大時，若n≥2log2r，則

|a2n-1|=|a2n|≥22log2r=r2>2r.

所以#Λρ∩B(0，r)<2log2r.設(shè)α>0，那么

故由引理3知dimBΛρ≤α.故dimBΛρ=0．

對于后一結(jié)論，設(shè)Λρ={(λn，an):n≥1}為ρ的一個(框架)譜，那么由引理2 2)知Λ={λn:n≥1}為μ的一個(框架)譜.注意到μ的(框架)譜是無窮集，故#Λρ=+∞.因此

所以后一結(jié)論也成立．

引理6設(shè)μ，ρ，Λ如引理5所給,且dimBΛ>0,則對于任意0<α

證明因為dimBΛ>0，所以當(dāng)α∈(0，dimB(Λ))時有

(3)

因此存在實數(shù)列{rn}和d的點列{xn}使得

挑選{rn}的子列(不妨依舊記為{rn})，使之滿足引理4的要求并且滿足下述不等式，

其中cn為引理4所給.令an，j，bn，f(r)和Γ(n)，Γ1亦為引理4所給.那么，

任取Λ∩(B(xn，rn)B(xn-1，rn-1))中含有2bn個元的子集，并記其為Λ(n)={λin，1，…，λin，2bn}.設(shè)I=N(∪n，j{in，j})，并令Γ2={ak:k∈I}為中任一上Beurling維數(shù)為0的點列．

由引理4知，

因此Λρ(n)?B(zn，rn).所以

從而

綜上，當(dāng)s為正實數(shù)時，引理結(jié)論成立.當(dāng)s=0時，上述下界證明表明當(dāng)β<α?xí)r，

而當(dāng)s=+∞時，上述上界證明表明當(dāng)α<β

所以dimBΛρ=α.因此Λρ即為所求.

當(dāng)n充分大時，有

故Λ∩(B(xn，rn)B(xn-1，rn-1))的勢不小于

(4)

因此當(dāng)0

所以dimB(Λρ)=α.證明完畢.

定理1的證明定理的結(jié)論分為三種情形:α=0;α∈(0，dimBΛ)和α=dimBΛ.而這三種情形分別被引理5、6、7所證，所以定理結(jié)論成立．