基于挖掘力模型的采樣機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)位姿節(jié)能控制研究

姚興嶺，張 亮，張淑坤

（1.新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能制造學(xué)院，河南新鄉(xiāng)453000；2.山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東淄博255000）

隨著智能化技術(shù)的不斷發(fā)展，機(jī)械臂在農(nóng)業(yè)、醫(yī)療、煤礦及航空等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［1-2］。機(jī)械臂具有承載能力大、加工效率高及可連續(xù)生產(chǎn)等優(yōu)點(diǎn)，在社會(huì)生產(chǎn)中發(fā)揮著重大的作用，是衡量一個(gè)國(guó)家智能化水平的重要參考指標(biāo)之一。在科學(xué)技術(shù)的推動(dòng)下，對(duì)機(jī)械臂功能要求也越來(lái)越高?，F(xiàn)代工業(yè)對(duì)于機(jī)械臂的要求不僅僅是控制精度高，而且還要求機(jī)械臂工作時(shí)間長(zhǎng)、能量消耗低。面對(duì)各國(guó)的工業(yè)技術(shù)快速發(fā)展，能源問(wèn)題越來(lái)越被各國(guó)政府所重視，這也要求人類應(yīng)盡可能地節(jié)約地球資源。近些年，隨著人類對(duì)太空的探索，機(jī)械臂被大量應(yīng)用，機(jī)械臂在工作過(guò)程中，由于運(yùn)動(dòng)軌跡路徑較長(zhǎng)，導(dǎo)致其能量消耗大，造成了大量資源的浪費(fèi)。因此，必須盡快對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)位姿進(jìn)行規(guī)劃，降低機(jī)械臂能量消耗，為社會(huì)的發(fā)展貢獻(xiàn)力量。

目前，為了節(jié)約機(jī)械臂工作過(guò)程中的能量資源，從而更好地保護(hù)生態(tài)環(huán)境，如何降低機(jī)械臂的能量消耗已經(jīng)成為大量學(xué)者所研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。例如：文獻(xiàn)［3-4］研究了機(jī)械臂參數(shù)優(yōu)化方法，以并聯(lián)機(jī)械臂為研究對(duì)象，建立機(jī)械臂變換矩陣方程式，構(gòu)造機(jī)械臂主動(dòng)執(zhí)行器能量消耗目標(biāo)參數(shù)，引用差分進(jìn)化算法和粒子群算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，比較不同狀態(tài)下機(jī)械臂連桿的能量消耗，從而降低了機(jī)械臂的能量損失。文獻(xiàn)［5-6］研究了挖掘機(jī)器人神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制系統(tǒng)，分析了挖掘機(jī)器人功率特性，設(shè)計(jì)了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制方法，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠在線調(diào)整PID控制器參數(shù)，控制系統(tǒng)具有較好的節(jié)能效果。文獻(xiàn)［7-8］研究了機(jī)械手最小能量?jī)?yōu)化算法，建立了機(jī)械手運(yùn)動(dòng)的雅可比矩陣，分析了機(jī)械手能量?jī)?yōu)化方案，對(duì)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，結(jié)合仿真實(shí)例對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，與優(yōu)化前相比，優(yōu)化后的機(jī)械臂能夠降低運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量消耗。過(guò)去所研究的機(jī)械臂能夠降低其能量消耗，但是，主要采用優(yōu)化方法對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)參數(shù)和控制參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，無(wú)法對(duì)機(jī)械臂能量消耗進(jìn)行預(yù)測(cè)。針對(duì)傳統(tǒng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)位姿的弊端，本文研究了機(jī)械臂能量可操縱性橢球節(jié)能模型，根據(jù)坐標(biāo)變換建立能量消耗預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)，設(shè)計(jì)了機(jī)械臂主動(dòng)控制流程圖，采用Matlab軟件對(duì)機(jī)械臂不同位姿狀態(tài)下能量消耗進(jìn)行仿真，與無(wú)可操縱性橢球模型進(jìn)行對(duì)比，分析了采樣距離對(duì)機(jī)械臂能量消耗的影響，為研究節(jié)能型機(jī)械臂提供了理論基礎(chǔ)。

1 能量評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型

本文以3關(guān)節(jié)冗余機(jī)械臂為例，研究采樣機(jī)械臂末端執(zhí)行器數(shù)學(xué)模型，定義為可操縱性橢球，如圖1所示。根據(jù)拉格朗日方程式［9-10］可得，冗余機(jī)械臂轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為

圖1 采樣機(jī)械臂Fig.1 Sampling manipulator

式中：θ為機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；τ為機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩；M（θ）為機(jī)械臂慣量矩陣；h（θ）為機(jī)械臂角速度矩陣；JT（θ）為雅克比矩陣；f為外力；g（θ）為機(jī)械臂重力。

采樣機(jī)械臂末端執(zhí)行器工作時(shí)，機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變化為0，因此機(jī)械臂角速度和角加速度為0。式（1）可以變換為

機(jī)械臂末端執(zhí)行能量消耗計(jì)算公式為

式中：k1，k2，…，kn為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)；r1，r2，…，rn為相鄰齒輪之間的傳動(dòng)比；η1，η2，…，ηn為電機(jī)輸出效率；V為輸入的額定電壓；Tτ為對(duì)角矩陣。

由式（2）～式（6）得到能量表達(dá)式為

冗余機(jī)械臂關(guān)節(jié)不同，電機(jī)功率也不盡相同。因此，對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)電機(jī)功率w1，w2，…，wn進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，其表達(dá)式為

由式（7）～式（8）可以推導(dǎo)出

根據(jù)歐幾里德范數(shù)［11］，可操縱橢球能量消耗方程定義為

由式（9）～式（12）可以推導(dǎo)出

通過(guò)奇異值分解為

由式（13）～式（15）可以推導(dǎo)出

式（13）用于能量可操縱橢球體數(shù)學(xué)模型，如圖1所示。橢球中心到邊緣距離（lE）可以作為機(jī)械臂能量消耗評(píng)價(jià)指標(biāo)參數(shù)。lE越大，機(jī)械臂可以用越少的能量產(chǎn)生較大驅(qū)動(dòng)力。

為了將外力應(yīng)用到能量可操縱性橢球中，采用向量定義外力的大小方向，通過(guò)極坐標(biāo)系定義能量評(píng)價(jià)體系函數(shù)，具體如下：

式中：α為小區(qū)域與垂直方向角度；F（θ，α）為挖掘力。

2 執(zhí)行器受力分析

機(jī)械臂末端采樣挖斗受力如圖2所示，主要為6個(gè)方向的力，分別為挖斗內(nèi)部底部的力F1、挖斗頂部的力F2、挖斗側(cè)壁外部的力F3、挖斗側(cè)壁內(nèi)部的力F4、挖斗側(cè)壁邊緣的力F5、挖斗頂部邊緣的力F6。其中，F(xiàn)1、F3、F5為主動(dòng)力，F(xiàn)2、F4、F6為被動(dòng)力。

圖2 機(jī)械臂末端采樣挖斗Fig.2 The scoop of the sampling manipulator

2.1 F 1的計(jì)算模型

F1是6種力中最主要的一種，它類似于葉片通過(guò)土壤時(shí)產(chǎn)生的阻力，被稱為推土力。然而，F(xiàn)1的模型只能在土壤處于靜態(tài)狀態(tài)時(shí)計(jì)算阻力。因此，本文定義了一種計(jì)算土壤處于不穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)推土阻力的方法：

式中：φ為土壤內(nèi)摩擦角；δ為挖斗和土壤之間的摩擦角；β為土的破壞面角；θp為突然接觸角；F1為推土力；W為土壤受到的重量。

2.2 F 3的計(jì)算模型

切應(yīng)力是作用在挖斗側(cè)壁外部表面上的力，其計(jì)算方程式為

式中：r為挖斗到采樣土壤的中心距離；α為挖斗與垂直方向的角度；h0為挖斗旋轉(zhuǎn)軸距土壤表面的高度；ρ為土壤密度；g為重力加速度。

挖斗邊緣處產(chǎn)生的剪應(yīng)力為

式中：τmax為挖斗最大剪應(yīng)力；j為挖斗采樣土壤位移；k為土壤彈性模量；c為土壤之間黏聚力。

采樣積分求解F3：

2.3 F 5的計(jì)算模型

挖斗在挖掘過(guò)程中，土壤受到壓縮，挖斗側(cè)面就會(huì)發(fā)生阻力。挖斗側(cè)壁邊緣的力F5計(jì)算公式為

式中：kc為土壤變形的黏聚力；kφ為土壤變形的摩擦模量；h為采樣土壤深度。

F5的計(jì)算公式如下：

式中：wp為挖斗厚度；q為挖掘系數(shù)。

3 機(jī)械臂位姿控制

3.1 電機(jī)模型

采用電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂關(guān)節(jié)，其電機(jī)提供的電流方程式為

式中：u為控制電壓；ka為放大器跨導(dǎo)。

電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩方程式定義為

式中：km為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)。

因此，可以得到電機(jī)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型為

式中：Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為黏性摩擦系數(shù)；τc為摩擦力矩。

3.2 位置主動(dòng)控制

采用PID控制器對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)位姿進(jìn)行控制，其控制律［12］為

式中：Kp為比例系數(shù)；Ki為積分系數(shù)；Kd為微分系數(shù)；θd為關(guān)節(jié)期望角位移；θ為關(guān)節(jié)實(shí)際角位移。

機(jī)械臂關(guān)節(jié)位姿控制系統(tǒng)電流輸出計(jì)算公式為

式中：Kc為電流轉(zhuǎn)換因子；KPM為速度內(nèi)環(huán)比例增益系數(shù)；KIM為速度內(nèi)環(huán)積分增益系數(shù)；eM（t）為角速度內(nèi)環(huán)誤差。

角速度內(nèi)環(huán)誤差計(jì)算公式為

式中：KPL為位置環(huán)比例增益系數(shù)；θ′M為電機(jī)速度反饋；γ為傳動(dòng)比。

機(jī)械臂關(guān)節(jié)位置主動(dòng)控制流程如圖3所示。

圖3 采樣機(jī)械臂主動(dòng)控制Fig.3 Active control of the sampling manipulator

4 能量仿真分析

為了評(píng)價(jià)采樣機(jī)械臂挖斗在不同運(yùn)動(dòng)軌跡下能量變化結(jié)果，采用Matlab軟件對(duì)其仿真。假設(shè)連桿長(zhǎng)度分別為l1=0.5 m、l2=0.4 m、l3=0.5 m，連桿質(zhì)量分別為m1=0.5 kg、m2=0.4 kg、m3=0.5 kg。當(dāng)采樣機(jī)械臂采樣點(diǎn)為x=0.4 m、y=-1.0 m，在無(wú)可操縱性橢球采樣模型條件下，運(yùn)動(dòng)位姿如圖4所示，能量評(píng)價(jià)指標(biāo)變化如圖6所示。在有可操縱性橢球采樣模型條件下，運(yùn)動(dòng)位姿如圖5所示，能量評(píng)價(jià)指標(biāo)變化如圖7所示。當(dāng)采樣機(jī)械臂采樣點(diǎn)為x=1.0 m、y=-1.0 m，在無(wú)可操縱性橢球采樣模型條件下，運(yùn)動(dòng)位姿如圖8所示，能量評(píng)價(jià)指標(biāo)變化如圖10所示。在有可操縱性橢球采樣模型條件下，運(yùn)動(dòng)位姿如圖9所示，能量評(píng)價(jià)指標(biāo)變化如圖11所示。

圖4 運(yùn)動(dòng)姿勢(shì)（無(wú)采樣模型）Fig.4 The motion posture（without sampling model）

圖5 運(yùn)動(dòng)姿勢(shì)（有采樣模型）Fig.5 The motion posture（with sampling model）

圖6 能量平價(jià)（無(wú)采樣模型）Fig.6 Energy evaluation（without sampling model）

圖7 能量平價(jià)（有采樣模型）Fig.7 Energy evaluation（with sampling model）

圖8 運(yùn)動(dòng)位資（無(wú)采樣模型）Fig.8 The motion posture（without sampling model）

圖9 運(yùn)動(dòng)位資（有采樣模型）Fig.9 The motion posture（with sampling model）

分析圖4、圖6可知，當(dāng)采樣機(jī)械臂采樣點(diǎn)為x=0.4 m，y=-1.0 m，在無(wú)可操縱性橢球采樣模型條件下，機(jī)械臂連桿1沒(méi)有垂直向下，單位長(zhǎng)度的機(jī)械臂需要的力越大，導(dǎo)致能量消耗較多。分析圖5、圖7可知，當(dāng)采樣機(jī)械臂采樣點(diǎn)為x=0.4 m，y=-1.0 m，在可操縱性橢球采樣模型條件下，機(jī)械臂連桿1垂直向下，單位長(zhǎng)度的機(jī)械臂需要的力越小，導(dǎo)致能量消耗較少。

分析圖8、圖10可知，當(dāng)采樣機(jī)械臂采樣點(diǎn)為x=1.0 m、y=-1.0m，在無(wú)可操縱性橢球采樣模型條件下，機(jī)械臂連桿1沒(méi)有垂直向下，單位長(zhǎng)度的機(jī)械臂需要的力越大，導(dǎo)致能量消耗較多。分析圖9、圖11可知，當(dāng)采樣機(jī)械臂采樣點(diǎn)為x=1.0 m、y=-1.0 m，在可操縱性橢球采樣模型條件下，機(jī)械臂連桿1垂直向下，單位長(zhǎng)度的機(jī)械臂需要的力越小，導(dǎo)致能量消耗較少。

圖10 能量平價(jià)（無(wú)采樣模型）Fig.10 Energy evaluation（without sampling model）

圖11 能量平價(jià)（有采樣模型）Fig.11 Energy evaluation（with sampling model）

因此，同等條件下，采用可操縱性橢球采樣模型，采樣機(jī)械臂相對(duì)更加省力。隨著采樣土壤的距離越遠(yuǎn)，采樣機(jī)械臂也更加費(fèi)力，能量也消耗得更多。

5 結(jié)論

針對(duì)采樣機(jī)械臂挖斗挖掘土壤時(shí)消耗能量較多問(wèn)題，設(shè)計(jì)了可操縱性橢球采樣模型，通過(guò)不同運(yùn)動(dòng)位姿狀態(tài)下檢驗(yàn)?zāi)芰肯?，主要結(jié)論如下：①在無(wú)可操縱性橢球采樣模型狀態(tài)下，采樣機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)位姿較差，單位連桿長(zhǎng)度受力較大，導(dǎo)致其消耗的能量較多。在可操縱性橢球采樣模型狀態(tài)下，采樣機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)位姿較優(yōu)，單位連桿長(zhǎng)度受力較小，導(dǎo)致其消耗的能量較少。②在同等條件下，采樣機(jī)械臂的采樣點(diǎn)不同，單位連桿機(jī)械臂受力不同，消耗的能量也不同。采樣機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)距離越遠(yuǎn)，其采樣過(guò)程中消耗的能量也越多。③本文研究了機(jī)械臂在不同運(yùn)動(dòng)位姿狀態(tài)下，其采樣過(guò)程中能量消耗的評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)。但是，本文對(duì)于機(jī)械臂采樣過(guò)程中運(yùn)動(dòng)軌跡精度并沒(méi)有展開深入研究，未來(lái)可以作為進(jìn)一步研究對(duì)象。