若干廣義度量空間上的半連續(xù)函數(shù)的單調(diào)插入

胡星宇，金元峰，李堅(jiān)兵

（1.廣州工商學(xué)院 通識教育學(xué)院，廣東 廣州 510850；2.延邊大學(xué) 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002）

近些年，一般拓?fù)淇臻g上的函數(shù)插入問題受到了極大的關(guān)注，尤其是某些廣義度量空間和函數(shù)插入的關(guān)系更是被廣泛討論，謝利紅等［1-4］在這方面做了大量工作。金迎迎［5］討論了K-MCM 空間、層空間、半層空間、K-半層空間上的半連續(xù)函數(shù)的單調(diào)插入。本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上討論MCM 空間、MCP空間、弱MCP 空間、完備空間、完備正規(guī)空間上的半連續(xù)函數(shù)的單調(diào)插入。

1 基本知識

關(guān)于拓?fù)淇臻g的一些基礎(chǔ)知識在文獻(xiàn)［6］中都可以找到，此處省略。

定義1［7］設(shè)（X，μ）是拓?fù)淇臻g，R 是賦予通常拓?fù)涞膶?shí)直線。f：X→R 是上半連續(xù)函數(shù)（下半連續(xù)函數(shù))，若對每一a∈R 集合｛x∈X：f（x）＜r｝（或｛x∈X：f（x）＞r｝）是開集。

定義2［6］定義一個拓?fù)淇臻g（X，μ），若對于X 的任意開覆蓋均有一個有限的子覆蓋，則稱它為緊空間。

定義3［5］符號-∞和+∞被稱作廣義實(shí)數(shù)。令R*=R∪｛-∞，+∞｝，它同胚于［0，1］區(qū)間，那么R*被稱作是廣義實(shí)數(shù)集。它滿足序關(guān)系，對于任意r∈R，-∞＜r＜+∞。映射f：X→R*被稱作是廣義實(shí)值函數(shù)。

定義4［5］設(shè)（X，μ）是拓?fù)淇臻g，對于映射h：X→R*而言，如果存在正實(shí)數(shù)r 和一個X 的開領(lǐng)域U滿足h（U）?（-r，r），那么h：X→R*被稱作x 在R 上的局部有界映射，對于映射h：X→R*而言，定義Uh=｛x∈X：h 是x 在R 上的局部有界映射｝，很明顯的是，Uh是X 上的開集。

定義5［5］如果（Fj）是拓?fù)淇臻g（X，μ）中的遞減閉集序列，那么我們可以定義映射：X→R*為已知在X∩j∈NFj中是上半連續(xù)并且是x在R 上的局部有界映射。那么對于每一個j∈N，給定任意兩個遞減的閉集序列（Fj）j∈N和（Ej）j∈N，如果Fj?Ej，那么

定義6［5］如果（Uj）j∈N是拓?fù)淇臻g（X，μ）中的遞減開集序列，那么可以定義函數(shù)：X→R*為

2 主要結(jié)果

首先我們給出MCM、MCP 空間的概念。

定義7［7］空間X 被稱作單調(diào)可數(shù)亞緊空間MCM，如果存在一個算子U，將X 中的每一個相交為空集的遞減的閉集列｛Fn｝都對應(yīng)X 的開集列U（n，｛Fn｝）），并且滿足：

（1）對于每一個n∈N，有Fn?U（n，F(xiàn)j））成立；

（2）∩n∈NU（n，F(xiàn)n））=?；

（3）如果，那么｛U（n，｛Fn｝）｝?｛U（n，｛En｝）｝。

如果更設(shè)條件（2）滿足，，則稱為MCP 空間。

定義8［8］設(shè)X 為拓?fù)淇臻g（X，μ），如果其上的g 函數(shù)具有如下性質(zhì)，若對于每一n∈N 有xn∈g（n，yn），則序列｛xn｝在X 中有聚點(diǎn)，序列｛yn｝在X 中也有聚點(diǎn)，則稱空間X 是弱MCP 空間。其中g(shù) 為X 的弱MCP 函數(shù)。

由文獻(xiàn)［8］又知道每個C-MCP 空間都是C-弱MCP 空間。

定理1空間X 是MCM 空間當(dāng)且僅當(dāng)對于每一個局部有界的實(shí)值映射h：X→R，都存在一個下半連續(xù)h'：X→R 有：i）│h│≤h'；ii）如果│h1│≤│h2│，有

由定義7 和定義8，自然有如下推論。

推論1空間X 是MCP 空間當(dāng)且僅當(dāng)對于每一個局部有界的超實(shí)值映射h：X→R，都存在一個超下半連續(xù)h'：X→R 有：i）│h│≤h'；ii）如果│h1│≤│h2│，有。

推論2空間X 是弱MCP 空間當(dāng)且僅當(dāng)對于每一個局部有界的超實(shí)值映射h：X→R，都存在一個超下半連續(xù)h'：X→R 有：i）│h│≤h'；ii）如果│h1│≤│h2│，有。

下面我們給出完備空間、完備正規(guī)空間上的半連續(xù)函數(shù)的單調(diào)插入。

定義9［6］拓?fù)淇臻g（X，μ）的子集A 被稱為Gδ（Fδ）集，如果A 是可數(shù)個開（閉）集的交（并）集。

定義10［6］拓?fù)淇臻g（X，μ）被稱作完備的，如果每一個閉集都是Gδ集，稱為完備正規(guī)的，如果這空間既是T4的，又是完備的。

定理2設(shè)X 為拓?fù)淇臻g（X，μ），則下列條件相互等價：

（1）X 是完備空間；

（2）如果（Uj）j∈N是遞增的開集序列，那么存在遞增的閉集序列（Fj）j∈N，對于每一j∈N，有∪j∈NFj=∪j∈NUj成立，并且Uj?Fj；

（3）如果（Fj）j∈N是遞減的閉集序列，那么存在遞減的開集序列（Uj）j∈N，對于每一j∈N，有∩j∈NFj=∩j∈NUj成立，并且Uj?Fj。

證明（1）?（2），令（Uj）j∈N是遞增的開集序列。因?yàn)閄 是完備的，對于每一個j∈N，有Uj=∪i∈NFi，j。在這里對于每一個i∈N，F(xiàn)i，j是閉集，并且有Fi，j?Fi+1，j。令Dj=∪i≤jFi，j，很明顯（Dj）j∈N滿足性質(zhì)（2）。

由DeMorgen 法則，易知（2）?（3）。（2）?（1），對于X 中的任意開集，對于所有的j，令Uj=U，結(jié)果是顯然的。

依據(jù)定理2 可以給出下列定理。

定理3設(shè)X 為拓?fù)淇臻g（X，μ），則下列條件相互等價：

（1）X 是完備空間；

（2）存在一個算子U，將X 中的每一個遞減的閉集列｛Fn｝都對應(yīng)為X 的遞減開集列｛U（n，｛Fn｝）｝，使得下面這些結(jié)論成立：

（i）對于每一個n∈N，有Fn?U（n，（Fj））成立；

（ii）∩n∈ωU（n，（Fj））=∩n∈ωFn。

定理4拓?fù)淇臻g（X，μ）是完備空間，當(dāng)且僅當(dāng)對于每一個函數(shù)h：X→R*，都存在一個下半連續(xù)函數(shù)h'：X→R*，有下列結(jié)論成立：i）h'（Uh）?R；ii）│h│≤h'。

證明首先證明必要性，假設(shè)X 是完備空間。取任意函數(shù)h：X→R*，對于每一個j∈N，令因?yàn)閷τ诿恳粋€x∈Uh而言，h 都是x 在R 上的局部有界映射。通過定理3 一定存在算子滿足條件（2）。

接下來我們按照如下方式定義h'：X→R*

再證明充分性，在X 中仍取遞減的閉集序列（Fj）j∈N。通過式（5）定義映射：X→R*。很明顯的是是上半連續(xù)函數(shù)并且。再根據(jù)假設(shè)，存在一個下半連續(xù)函數(shù)h'：X→R*，有：i）h'（Uh）?R；ii）│h│≤h'；iii）如果│h1│≤│h2│，那么成立。令，因此可以通過定義算子U（（Fj））=（U（n，（Fj）））n∈N將每一個遞減的閉集序列（Fj）j∈N對應(yīng)到U 上，在這里對于每一個n∈N，U（n，（Fj））=Un。為了證明X 是C-完備空間，需要證明算子U 滿足定理3 的（2）。

很明顯的是，∩j∈NU（n，（Fj））?∩n∈NFn。取任意x?∩j∈NFj。根據(jù)假設(shè)，存在r∈R 滿足。因此，如果n0＞r，那么x?U（n0，（Fj））。這意味著∩j∈NU（n，（Fj））=∩n∈NFn，那么算子U 滿足定理3 的（2）（ii）。

根據(jù)定理3，很明顯下面這個推論成立。

推論3拓?fù)淇臻g（X，μ）是完備正規(guī)空間，當(dāng)且僅當(dāng)對于每一個函數(shù)h：X→R*，都存在一個下半連續(xù)函數(shù)h'：X→R*，有下列結(jié)論成立：i）h'（Uh）?R；ii）│h│≤h'。