從雙圖象獲取信息

于秀坤

從雙圖象獲取信息解決身邊數(shù)學(xué)問(wèn)題，是近年中考命題的熱點(diǎn). 求解此類(lèi)題目，需要從已知圖象中發(fā)掘信息，先求函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式得出結(jié)論.

例1（2020·遼寧·大連）甲、乙兩個(gè)探測(cè)氣球分別從海拔5 m和15 m處同時(shí)出發(fā)，勻速上升60 min.圖1是甲、乙兩個(gè)探測(cè)氣球所在位置的海拔y（單位：m）與氣球上升時(shí)間x（單位：min）的函數(shù)圖象.

（1）求這兩個(gè)氣球在上升過(guò)程中y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

（2）當(dāng)這兩個(gè)氣球的海拔高度相差15 m時(shí)，求上升的時(shí)間.

分析：（1）從圖象中得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;

（2）根據(jù)分析可知：當(dāng)x大于20時(shí)，兩個(gè)氣球的海拔高度可能相差15 m，列出關(guān)于x的方程，求解可得到結(jié)論.

解：（1）設(shè)甲氣球的函數(shù)解析式為y = kx + b，

乙氣球的函數(shù)解析式為y = mx + n，

觀察圖象可知甲、乙兩個(gè)探測(cè)氣球分別從海拔5 m和15 m處同時(shí)出發(fā)，勻速上升60 min.

則甲探測(cè)氣球經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，5）和（20，25），乙探測(cè)氣球經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，15）和（20，25）.

根據(jù)題意得[b=5，20k+b=25，][ n=15，20m+n=25，]

解得[k=1，b=5，][ m=12，n=15.]

則甲氣球的函數(shù)解析式為y = x + 5，乙氣球的函數(shù)解析式為y = [12]x + 15.

（2）由初始位置可得：

當(dāng)x大于20時(shí)，兩氣球的海拔高度可能相差15 m，且此時(shí)甲氣球海拔更高，

可列方程為x + 5 - [12x+15] = 15，解得x = 50，

則當(dāng)這兩個(gè)氣球的海拔高度相差15 m時(shí)，上升的時(shí)間為50 min.

例2（2020·河南）暑期將至，某健身俱樂(lè)部面向?qū)W生推出暑期優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)方案如下.

方案一：購(gòu)買(mǎi)一張學(xué)生暑期專(zhuān)享卡，每次健身費(fèi)用按6折優(yōu)惠;

方案二：不購(gòu)買(mǎi)學(xué)生暑期專(zhuān)享卡，每次健身費(fèi)用按8折優(yōu)惠.

設(shè)某學(xué)生暑期健身x（次），按照方案一所需費(fèi)用為y1（元），且y1 = k1x + b;

按照方案二所需費(fèi)用為y2（元），且y2 = k2x. 其函數(shù)圖象如圖2所示.

（1）求k1和b的值，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義.

（2）求打折前的每次健身費(fèi)用和k2的值.

（3）八年級(jí)學(xué)生小華計(jì)劃暑期前往該俱樂(lè)部健身8次，應(yīng)選擇哪種方案所需費(fèi)用更少？說(shuō)明理由.

分析：（1）從圖象中獲取圖形所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入y1 = k1x + b，得到關(guān)于k1，b的方程組并求解;

（2）根據(jù)方案一每次健身費(fèi)用按6折優(yōu)惠，可得打折前每次健身費(fèi)用，再根據(jù)方案二每次健身費(fèi)用按8折優(yōu)惠，求得k2;

（3）將x = 8分別代入y1和y2關(guān)于x的函數(shù)解析式，進(jìn)行比較即可.

解：（1）∵y1 = k1x + b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，30），（10，180），

∴ 根據(jù)題意可得[b=30，10k1+b=180，][ k1=15，b=30.]

k1 = 15表示購(gòu)買(mǎi)一張學(xué)生暑期專(zhuān)享卡后每次健身費(fèi)用為15元，

b = 30表示購(gòu)買(mǎi)一張學(xué)生暑期專(zhuān)享卡的費(fèi)用為30元.

（2）由題意可得，打折前每次健身費(fèi)用為15 ÷ 0.6 = 25（元），

則k2 = 25 × 0.8 = 20.

（3）選擇方案一所需費(fèi)用更少.

理由：由題意可知y1 = 15x + 30，y2 = 20x.

當(dāng)健身8次時(shí)，選擇方案一所需費(fèi)用為y1 = 15 × 8 + 30 = 150（元），

選擇方案二所需費(fèi)用為y2 = 20 × 8 = 160（元）.

∵150<160，∴選擇方案一所需費(fèi)用更少.

某生態(tài)體驗(yàn)園推出了甲、乙兩種消費(fèi)卡，設(shè)入園次數(shù)為x時(shí)所需費(fèi)用為y元，選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖3所示，解答下列問(wèn)題：

（1）分別求出選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;

（2）請(qǐng)根據(jù)入園次數(shù)確定選擇哪種卡消費(fèi)比較合算.

答案：（1）y甲 = 20x;y乙 = 10x + 100.

（2）當(dāng)入園次數(shù)小于10次時(shí)，選擇甲消費(fèi)卡比較合算;

當(dāng)入園次數(shù)等于10次時(shí)，選擇兩種消費(fèi)卡費(fèi)用一樣;

當(dāng)入園次數(shù)大于10次時(shí)，選擇乙消費(fèi)卡比較合算.