高等數(shù)學(xué)課程中三個(gè)教學(xué)內(nèi)容的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)方法探討

崔志濤 蹇柯 陳蒙蒙

摘 ?要：文章針對(duì)高等數(shù)學(xué)中的復(fù)雜函數(shù)、定積分、常微分方程三個(gè)部分教學(xué)內(nèi)容，在課堂教學(xué)中使用計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)軟件分別予以圖像展示、工程應(yīng)用展示及建模案例展示的教學(xué)設(shè)計(jì)方法，使學(xué)生可以從視覺(jué)感知、數(shù)學(xué)理論應(yīng)用及邏輯推理與知識(shí)應(yīng)用相結(jié)合的角度加深對(duì)課堂內(nèi)容的理解、掌握和使用，實(shí)現(xiàn)提高高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：MATLAB;函數(shù)圖像;視覺(jué)感知;數(shù)值積分; 函數(shù);目標(biāo)追蹤模型

中圖分類號(hào)：G642 ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2096-000X（2021）19-0102-04

Abstract： In order to achieve the goal of improving the teaching quality of "Advanced Mathematics" ， the teaching design methods of image display， engineering application display and mathematical modeling case display are given respectively for the three teaching contents of "Advanced Mathematics" such as complex function， definite integral and ordinary differential equation， by using computer and mathematical software. Students can deepen the understanding， mastery and use of the classroom content from the perspective of visual perception， application of mathematical theory and the combination of logical reasoning and mathematical knowledge application.

Keywords： MATLAB; function graph; visual perception; numerical integration; Trapz function; target tracking model

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是由教育部高等教育司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)1992年開(kāi)始主辦的面向全國(guó)高等院校所有專業(yè)的一項(xiàng)競(jìng)賽，競(jìng)賽于每年9月份的第二周舉行，是全國(guó)高校最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)、推動(dòng)了高校的教學(xué)改革[1]。競(jìng)賽自創(chuàng)辦以來(lái)，通過(guò)從事數(shù)學(xué)建模教學(xué)和賽前培訓(xùn)的過(guò)程，特別使得年輕數(shù)學(xué)教師拓寬了知識(shí)面、改善了知識(shí)結(jié)構(gòu)、提高了利用數(shù)學(xué)工具和計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力[2]。

本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)課程中的三個(gè)教學(xué)內(nèi)容部分，使用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件，分別從視覺(jué)感知、工程應(yīng)用、數(shù)學(xué)邏輯推理與應(yīng)用相結(jié)合的角度對(duì)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、科學(xué)研究的應(yīng)用進(jìn)行了展示。以期學(xué)生在課堂教學(xué)中加深對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、掌握與課后應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高課堂教學(xué)的質(zhì)量。

一、復(fù)雜函數(shù)圖像的課堂展示

函數(shù)部分是高等數(shù)學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容，對(duì)比于高中時(shí)期的基本初等函數(shù)，很多初等函數(shù)的表現(xiàn)形式復(fù)雜，沒(méi)有進(jìn)行聯(lián)想的素材，其函數(shù)圖像的板書(shū)繪制也較為困難。為了提高這一部分教材內(nèi)容的教學(xué)效果，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)更倚重視覺(jué)?？茖W(xué)研究表明，視覺(jué)是人類接收外界信息的主要通道，視覺(jué)的信息流強(qiáng)度是聽(tīng)覺(jué)的4倍。通過(guò)數(shù)學(xué)軟件MATLAB[3]等，在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行圖像[4]展示，使學(xué)生在腦海中將公式與函數(shù)圖形成對(duì)應(yīng)，加深學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的印象。例如：

例1： ? ? （1）

在課堂上打開(kāi)MATLAB軟件后，在命令窗口中輸入：

后，彈出繪圖結(jié)果如圖1。

通過(guò)圖形的展示，星形線的含義就直觀地呈現(xiàn)在課堂教學(xué)之中，且占用課堂時(shí)間較短。圖形的特征將會(huì)是驅(qū)動(dòng)學(xué)生記住星形線參數(shù)方程的一個(gè)重要因素。

例2：螺旋線： ? ? ? （2）

該方程中涉及的參數(shù)較多，為了便于軟件制圖，可對(duì)方程中參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的賦值，例如：可令a=？棕=v=1，則原參數(shù)方程就簡(jiǎn)化為了：

（3）

使用MATLAB繪制 ? ? ? ? ? 范圍的圖像，可在軟件的命令窗口中輸入：

繪制結(jié)果見(jiàn)圖2。

見(jiàn)圖知意，相比于板書(shū)繪圖來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)軟件的制圖效果立體感受強(qiáng)，學(xué)生在課堂聽(tīng)課過(guò)程中，通過(guò)視覺(jué)的感知更容易將函數(shù)圖形與函數(shù)的名稱聯(lián)系在一起。

例3：雙曲拋物面（馬鞍面）： ? （4）

雙曲拋物面是高等數(shù)學(xué)空間曲面教學(xué)內(nèi)容中的一個(gè)典型案例，因其圖形與馬鞍形似而得以命名。為了在課堂教學(xué)中引起學(xué)生的興趣，圖像展示是一個(gè)不二的選擇。在曲面及其方程的課堂教學(xué)中，引入MATLAB繪圖，可令參數(shù)a=2，b=3，在命令窗口輸入：

得到雙曲拋物面（馬鞍面）的圖形（見(jiàn)圖3）。

然后通過(guò)MATLAB圖形窗口中的旋轉(zhuǎn)，在課堂上實(shí)施多角度的圖形展示，輔之于MATLAB繪圖命令的簡(jiǎn)要講解，可以極大地豐富課堂講課的素材。同時(shí)在視覺(jué)感知方面也加深了同學(xué)們對(duì)空間曲面教學(xué)內(nèi)容的印象。

二、定積分的數(shù)值解