淺談條件的充分性與必要性

王曄平

【摘要】充分性和必要性是一個很重要的數(shù)學(xué)概念，給數(shù)學(xué)解題提供了一個很好的手段和方法，也在中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)、三角、幾何以及高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn).如何判斷是充分條件還是必要條件，要著重抓住充要條件.充要條件實際上是等價條件，但很多學(xué)生做題時，只講究充分性或必要性，容易造成錯解或漏解.下面通過幾個例子來說明條件的充分性和必要性的判斷技巧，使學(xué)生有效掌握這一內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);條件問題;充分與必要

條件的充分性與必要性是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)、三角、幾何以及高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn).但學(xué)生對條件是充分的、必要的還是充要的不知如何加以判斷，為什么會出現(xiàn)這種情況？原因是學(xué)生對概念沒有掌握.在現(xiàn)行中學(xué)教材中對有關(guān)條件的充分性與必要性的認(rèn)識不夠系統(tǒng)，有關(guān)理論掌握得不夠完整，再加上教材中沒有具體的判斷方法與步驟.本文對充要條件以及和充要條件有關(guān)的命題、命題的四種形式、條件的充分性與必要性的判斷方法等內(nèi)容進行粗淺的討論.

一、命 題

定義：具有判斷形式的句子叫作命題.

所謂判斷形式的句子就是要有肯定或否定形式的語氣.如，我們常說的“若兩個角是對頂角，則這兩個角相等”，這就是用肯定的語氣敘述的一個命題，它包含了兩部分，“若……，則……”.這里若是條件，則是結(jié)論.也就是說命題是由具有條件和結(jié)論的條件句所組成，可表示為“若A，則B”的形式，這里A是條件，B是結(jié)論.上例敘述的語氣是肯定形式的語氣，還可以用否定形式的語氣來敘述就得到另一個命題.如“若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等”，這便是一個用否定形式的語氣敘述的命題，可記為“若A，則B”的形式，它對前一命題來說是否命題，再將它們的條件和結(jié)論交換位置又可得到兩個命題.因此命題有四種形式，如下圖.

命題的基本性質(zhì)是它要么是真，要么是假，不能同時是真又是假.由命題的基本性質(zhì)知道命題又有真假之分.如“若兩個角是對頂角，則這兩個角相等”，這一命題是正確的.但“若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等”，這一命題顯然不正確.“若兩角相等，則這兩個是對頂角”也不正確.但“若兩個角不相等，則這兩角不是對頂角”是正確的.又如，若天下雨，則地下濕;若地下濕，則天下雨;若天不下雨，則地下不濕;若地下不濕，則天不下雨.原命題是真的，但是逆命題不真.因為不下雨，地也可能濕，比如，水庫放水灌溉土地.否命題也不真，因為不下雨，地也可能濕.但逆否命題是真的，因為如果地不濕，那么是不會下過雨的.從上面的例子看出原命題的正確不能保證逆命題與否命題也正確，也就是對于它們的正確性還需要證明.但可從上例看出：若原命題是正確的，逆否命題也正確.下面我們證明互為逆否關(guān)系的兩個命題同真或同假的結(jié)論.

已知：若A，則B.

求證：若B，則A.

證明：對于任何對象具有某條件或不具有某條件二者必居其一，即有A或不A必居其一（在邏輯學(xué)上稱為排中律）.

若有A，則根據(jù)已知條件“若A，則B”，則有B，與題設(shè)若B矛盾.因而必然有A，即若B，則A.

同樣可以證明，逆否命題成立時，原命題也成立.因為原命題是逆否命題的逆否命題.于是我們得出結(jié)論：原命題和逆否命題同真或同假.稱它們?yōu)榈葍r命題.同樣也可證明逆命題和否命題也為等價命題.

二、條件的充分性與必要性

定義1：若A，則B成立，那么A是B的充分條件.

定義2：若A，則B成立（或若B，則A成立），那么A是B的必要條件.

定義3：若A，則B成立，同時若A，則B也成立，那么A是B的充分必要條件（簡稱充要條件）.

例如，“若兩個角是對頂角，則這兩個角相等”.這里兩個角是對頂角，是兩個角相等的充分條件，即條件具備時結(jié)論一定成立.也就是對頂角的條件是以保證兩個角相等.另外，“若兩個角不相等，則這兩個角不是對頂角”，這里把兩個角相等的條件去掉，則這兩個角不可能是對頂角.也就是兩個角相等是兩個角是對頂角的必要條件，即條件不具備時結(jié)論一定不成立.

又如，“若b2-4ac=0，則實系數(shù)方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根相等”，這里b2-4ac=0的條件保證了方程ax2+bx+c=0的根相等這一事件的成立.所以b2-4ac=0是這一事件的充分條件;若沒有這個條件，顯然方程的兩個根也不可能相等.所以，這個條件又是這一事件的必要條件，因此，這個條件便是充要條件.

三、條件的充分性與必要性的判斷

我們所謂的充分條件指的是條件是充分的但非必要的這樣的條件，換句話說，對于結(jié)論來說是有了它一定行，沒有它不一定不行，也就是說“有則必然，無則不必然”，或者“有它行，沒它也行”這樣的條件.其具體判斷方法是先把所要判斷的事件寫成“若A，則B”的命題形式后要考慮“若A，則B”真，但“若B，則A”不真，則可得出A是B的充分條件.當(dāng)然也可考慮其他的等價命題.如，“若兩個角是對頂角，則這兩個角相等”真，但“若兩個角相等，則這兩個角是對頂角”不真，便可得出“兩個角是對頂角”是“兩個角相等”的充分條件.

我們所謂的必要條件指條件是必要但非充分這樣的條件，換句話說，對于結(jié)論來說有了它不一定成立，而沒有它卻一定不成立，也就是說“有則不必然，無則必不然”，或者說“有它不夠，沒它不行”這樣的條件.其具體判斷方法是先把所要判斷的事件寫成“若A，則B”的命題形式后要考慮“若A，則B”不真，但“若B，則A”真，則可得出A是B的必要條件.同樣，也可考慮其他的等價命題.如，“若兩個角相等，則這兩個角是對頂角”不真，但“若兩個角是對頂角，則這兩個角相等”是正確的.便可得出“兩個角相等”是“兩個角是對頂角”的必要條件.兩個角相等不一定是對頂角，但兩個角不相等卻一定不是對頂角.

我們所謂的充要條件指的條件是既充分又必要這樣的條件，對于結(jié)論來說有了它一定成立，而沒有它一定不成立，也就是“有則必然，無則必不然”或者“有它就行，沒它就不行”這樣的條件.其具體判斷方法也是先把要判斷的事件寫成“若A，則B”的命題形式后考慮原命題和逆命題都真，便可得出A是B的充要條件，同樣B也是A的充要條件.如，b2-4ac=0是實系數(shù)方程ax2+bx+c=0（a≠0）有相等根的充要條件.