力矩分配的矩陣方程法

摘??要：為提高力矩分配的計算效率和計算精度，在傳統(tǒng)力矩分配法的基礎(chǔ)上，使用方程方法，引入矩陣形式，建立矩陣方程法，從而提高了結(jié)構(gòu)計算效率，解題思路步驟清晰，且計算結(jié)果是精確解。

關(guān)鍵詞：力矩分配法;矩陣方程法;多結(jié)點連續(xù)梁;無側(cè)移鋼架

傳統(tǒng)力矩分配法是求解超靜定結(jié)構(gòu)的實用計算方法，該法克服了力法和位移法需要聯(lián)立求解方程組的缺點，通過逐次分配傳遞不平衡力矩來逼近精確解。[1]但是具有計算量大，精度有限的缺點。

本文建立矩陣方程法，該法在傳統(tǒng)力矩分配法的基礎(chǔ)上重新引入方程組，但該方程組具有部分系數(shù)為1的特點，仍較力法和位移法的方程組簡單，同時利用方程系數(shù)物理意義，引入矩陣形式，和最終彎矩求解的通式，使求解思路步驟清晰簡潔，且計算結(jié)果是精確解。

1?力矩分配矩陣方程法

1.1?計算步驟（以三個分配點A、B、C為例說明，可推廣至多個分配點）

①計算各分配系數(shù)μ、傳遞系數(shù)C、固端彎矩MF、放松彎矩m0。

②列矩陣

③計算各桿端最后彎矩

通式：MPQ=MPQF+MPQ+=MPQF+XPμPQ+XQμQPCQP

（P、Q為分配點編號;當P為非分配點時，XPμPQ=0）

1.2?基本原理

結(jié)合以下連續(xù)梁算例說明：

假設(shè)B、C、D三結(jié)點同時進行一次分傳，分傳完成后三分配結(jié)點放松力矩被全部放松。

設(shè)XB、XC、XD分別為對應(yīng)結(jié)點分配的總力矩，分析可知分配點放松彎矩m0由對應(yīng)結(jié)點分配總力矩X以及傳遞得到的力矩兩部分組成。列方程求解可得各結(jié)點分配的總力矩X，回代、將固端彎矩MF和結(jié)點分傳各行疊加便得各桿端最終彎矩。

對于連續(xù)梁，按圖2表格形式計算即可。但對于鋼架，不便于列表，為免去列表，直接由分配系數(shù)μ、傳遞系數(shù)C、固端彎矩MF、放松彎矩m0求得桿端最終彎矩，現(xiàn)引入矩陣的方法。

分析線性方程各系數(shù)及常數(shù)項，知結(jié)點對應(yīng)分配的總力矩X的系數(shù)為1，非對應(yīng)X的系數(shù)為μC，常數(shù)項為放松彎矩m0。列出矩陣形式如下：

為使矩陣形式統(tǒng)一，令1=μPP=CPP，得

分析最終疊加的過程，得到計算各桿端最后彎矩的通式：

MPQ=MPQF+MPQ+=MPQF+XPμPQ+XQμQPCQP

2?方法正確性及精度驗算

為進行方法正確性及精度驗算，選取文獻[2]中等比數(shù)列彎矩分配法的例題作為算例。

例?兩跨剛架無側(cè)移，L1=8m，，L2=10m，高H=5m，各梁柱剛度相等均為EI，，EA為無窮大，短跨布置均布載荷q1?=?10kN/m，長跨布置均布載荷q2=20?kN/m，見圖3

3?結(jié)論

本文提出了在含有多個分配點的連續(xù)梁、無側(cè)移鋼架中用矩陣方程法求精確解的計算步驟，解釋了基本原理，并通過算例進行了驗證。?得到以下結(jié)論：

（1）矩陣方程法可以避免彎矩分配傳遞的重復(fù)運算，利用參數(shù)、矩陣、通式直接求得桿端彎矩的精確解，思路步驟清晰，形式統(tǒng)一，求解快速方便，實用性強。

（2）在教學中，本文提出的方法可以在學生掌握傳統(tǒng)彎矩分配方法后進行擴展，使學生對力矩分配法有更全面的理解。

參考文獻：

[1]朱慈勉.結(jié)構(gòu)力學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]劉天一，陳素文.含3個分配點結(jié)構(gòu)的彎矩分配公式法精確解.力學與實踐，2014，36（02）：207-209+206.

[3]劉茂燧，程渭民.一次性分配的力矩分配法[J].力學與實踐，2007（04）：73-75.

作者簡介：朱曉江（2000—???），男，漢族，浙江嘉興人，本科生。