借助直觀圖形解決重疊問(wèn)題

邱廷建

小朋友，我們知道解答求和問(wèn)題時(shí)，只要直接把各部分?jǐn)?shù)加起來(lái)，就可以得到答案。但是，計(jì)算部分有重復(fù)的時(shí)候，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了，我們把這類問(wèn)題稱為重疊問(wèn)題。在解答重疊問(wèn)題時(shí)，我們可以借助直觀圖形，化抽象為直觀，運(yùn)用“包含與排除”原理，理清數(shù)量關(guān)系：當(dāng)兩個(gè)部分有重復(fù)包含時(shí)，應(yīng)去掉重復(fù)部分，不重復(fù)計(jì)數(shù)，也就是要從它們的和中減去重復(fù)的數(shù)。

現(xiàn)在，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)解決人教版教材三年級(jí)上冊(cè)第九單元的有關(guān)重疊問(wèn)題。

例1 新亭小學(xué)三（1）班共有學(xué)生38人，每人至少參加踢毽子和跳繩兩項(xiàng)比賽中的其中一項(xiàng)。已知參加踢毽子的有25人，參加跳繩的有19人。求兩項(xiàng)比賽都參加的學(xué)生有多少人？

[分析與解]根據(jù)題意，我們可以畫(huà)出如圖1所示的直觀圖。

從圖1中我們可以看出，求兩項(xiàng)比賽都參加的學(xué)生有多少人，就是求中間的重疊部分。把參加踢毽子比賽的25人加上參加跳繩比賽的19人，和是25+19=44（人），44人比全班總?cè)藬?shù)38人多，是因?yàn)橹丿B部分多算了一次，所以重疊部分，也就是兩個(gè)項(xiàng)目比賽都參加的學(xué)生人數(shù)是44-38=6（人）。綜合算式是25+19-38=6（人）。

從圖1中我們還可以看出，用全班總?cè)藬?shù)38人減去參加踢毽子比賽的人數(shù)是38-25=13（人），這13人是只參加跳繩比賽而沒(méi)有參加踢毽子比賽的學(xué)生人數(shù)。而參加跳繩比賽的有19人，說(shuō)明這19人中有一部分既參加了跳繩比賽也參加了踢毽子比賽，從參加跳繩比賽的人數(shù)中減去只參加跳繩比賽的人數(shù)，剩下的就是兩個(gè)項(xiàng)目比賽都參加的人數(shù)，算式是19-13=6（人）。綜合算式是19-（38-25）=6（人）。同樣的道理，我們還可以這樣列綜合算式解答25-（38-19）=6（人）。

例2 紅星小學(xué)三（2）班做完語(yǔ)文作業(yè)的有32人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有27人，兩種作業(yè)都完成的有14人，每人至少完成一種作業(yè)。三（2）班共有學(xué)生多少人？

[分析與解]根據(jù)題意，我們可以畫(huà)出如圖2所示的直觀圖。

從圖2中我們可以看出，中間的重疊部分表示兩種作業(yè)都完成的有14人。這14人既包含在做完語(yǔ)文作業(yè)的32人中，又包含在做完數(shù)學(xué)作業(yè)的27人中，而做完兩種作業(yè)的一共有32+27=59（人），這59人中就重復(fù)計(jì)算了14人。因此要從做完兩種作業(yè)的總?cè)藬?shù)中減去重復(fù)計(jì)算的14人，就是三（2）班的學(xué)生人數(shù)，算式是59-14=45（人）。綜合算式是32+27-14=45（人）。

例3 育才小學(xué)三（3）班舉辦“元旦”聯(lián)歡會(huì)，參加唱歌表演的有26人，參加舞蹈表演的有15人。兩項(xiàng)都參加的有5人，兩項(xiàng)都沒(méi)有參加的有7人。三（3）班共有學(xué)生多少人？

[分析與解]根據(jù)題意，我們可以畫(huà)出如圖3所示的直觀圖。

從圖3中我們可以看出，中間的重疊部分表示兩項(xiàng)表演都參加的有5人。用參加舞蹈表演的人數(shù)減去重疊部分的人數(shù)就是只參加舞蹈表演的人數(shù)，算式是15-5=10（人）。用參加唱歌表演的人數(shù)加上只參加舞蹈表演的人數(shù)，再加上兩項(xiàng)都沒(méi)有參加的人數(shù)，就是全班的總?cè)藬?shù)，算式是26+10+7=43（人）。綜合算式是26+（15-5）+7=43（人）。

結(jié)合圖3，我們也可以這樣思考，用參加唱歌表演的人數(shù)減去重疊部分的人數(shù)就是只參加唱歌表演的人數(shù)，算式是26-5=21（人）。用只參加唱歌表演的人數(shù)加上參加舞蹈表演的人數(shù)，再加上兩項(xiàng)都沒(méi)有參加的人數(shù)，就是全班的總?cè)藬?shù)，算式是21+15+7=43（人）。綜合算式是26-5+15+7=43（人）。

例4 高新小學(xué)三（4）班有學(xué)生40人，做對(duì)第一道思考題的有24人，兩道思考題都做對(duì)的有9人，兩道思考題都做錯(cuò)的有8人。做對(duì)第二道思考題的有多少人？

[分析與解]根據(jù)題意，我們可以畫(huà)出如圖4所示的直觀圖。

從圖4中我們可以看出，中間的重疊部分表示兩道思考題都做對(duì)的有9人。全班有40人，兩道思考題都做錯(cuò)的有8人，可以求出做對(duì)第一道思考題和第二道思考題的一共有40-8=32（人）。做對(duì)第一道思考題的有24人，兩道思考題都做對(duì)的有9人，可以求出只做對(duì)第一道思考題的有24-9=15（人）。用做對(duì)第一道思考題和第二道思考題的總?cè)藬?shù)減去只做對(duì)第一道思考題的人數(shù)，就是做對(duì)第二道思考題的人數(shù)，算式是32-15=17（人）。綜合算式是40-8-（24-9）=17（人）。

結(jié)合圖4，我們還可以這樣思考，全班有40人，兩道思考題都做錯(cuò)的有8人，可以求出做對(duì)第一道思考題和第二道思考題的一共有40-8=32（人）。根據(jù)做對(duì)第一道思考題的有24人，先求出只做對(duì)第二道思考題的人數(shù)，算式是32-24=8（人）。根據(jù)兩道思考題都做對(duì)的有9人，再求出做對(duì)第二道思考題的人數(shù)是8+9=17（人）。綜合算式是40-8-24+9=17（人）。

（本文作者為福建省上杭縣教師進(jìn)修學(xué)校特級(jí)教師）

小靈通上學(xué)

小靈通的新家離學(xué)校有點(diǎn)遠(yuǎn)，他上學(xué)時(shí)坐車，回家時(shí)步行，在路上一共花了90分鐘;往返都坐車，只需要40分鐘;如果小靈通往返都步行，需要多少分鐘？

（參考答案見(jiàn)第40頁(yè)）