雙口形式的戴維寧定理在電路分析中的應(yīng)用

梁永清, 龔文英, 李畸勇

(廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院 廣西大學(xué)電氣工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心， 廣西 南寧 530004)

0 引言

電網(wǎng)絡(luò)理論是電氣專業(yè)學(xué)生的必須掌握的分析工具。在電路分析中常用的方法有回路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、疊加定理、戴維寧定理等，這些方法通常只針對(duì)單端口電路，對(duì)多端口網(wǎng)絡(luò)則較少涉及。隨著大規(guī)模電網(wǎng)絡(luò)的出現(xiàn)，常規(guī)求解方法已不能滿足需要。面對(duì)現(xiàn)代電子或電力技術(shù)中包含大量元件的大規(guī)模電路，矩陣分析法成為行之有效的分析手段。

單端口戴維寧定理描述為：任一線性含源單口電路，可等效為一個(gè)電壓源與電阻串聯(lián)的等效電路。電壓源的電壓Uoc等于端口開(kāi)路電壓，電阻Req為電路獨(dú)立源置零后的等效電阻[1～2]。實(shí)際上可將戴維寧定理的應(yīng)用推廣為雙口網(wǎng)絡(luò)。

網(wǎng)絡(luò)撕裂算法，包括支路撕裂法和節(jié)點(diǎn)撕裂法兩類。其基本思想是把復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分解成子網(wǎng)，對(duì)各子網(wǎng)在分割邊界處分別進(jìn)行等值計(jì)算，求出分割邊界處的協(xié)調(diào)變量[1]。分塊計(jì)算可以提高計(jì)算效率。二端口網(wǎng)絡(luò)又稱雙口網(wǎng)絡(luò)，是多端口網(wǎng)絡(luò)中最常見(jiàn)的一種形式，電工電子技術(shù)中很多實(shí)際問(wèn)題都可以利用雙口理論進(jìn)行研究。本文基于支路撕裂法，探討雙口形式的戴維寧定理及其在電路分析中的應(yīng)用，供大家參考。

1 基于雙口網(wǎng)絡(luò)的戴維寧定理

1.1 撕裂網(wǎng)絡(luò)

為敘述方便，本文討論的有源雙口網(wǎng)絡(luò)是指含獨(dú)立源的二端口網(wǎng)絡(luò)。無(wú)源雙口網(wǎng)絡(luò)是指不含獨(dú)立源的二端口網(wǎng)絡(luò)。用撕裂法將電路網(wǎng)絡(luò)分解為共地連接的有源雙口網(wǎng)絡(luò)N和無(wú)源雙口網(wǎng)絡(luò)L的組合形式，如圖1所示。構(gòu)造為戴維寧定理雙口等效網(wǎng)[1～2]，如圖2所示。

圖1 雙口網(wǎng)絡(luò)

圖2 戴維寧定理雙口等效網(wǎng)絡(luò)

(1)

ZL為無(wú)源雙口負(fù)載阻抗，其Z參數(shù)為

(2)

1.2 雙口網(wǎng)絡(luò)的戴維寧定理的矩陣形式

由圖2，設(shè)端子A、B、M、N的對(duì)地電壓分別為UA、UB、UM、UN

則UA=ZL11IL1+ZL12IL2

(3)

UB=ZL21IL1+ZL22IL2

(4)

UM=-ZO11IL1-ZO12IL2

(5)

UN=-ZO21IL1-ZO22IL2；

(6)

UO1=UA-UM=(ZL11+ZO11)IL1+(ZL12+ZO12)IL2

(7)

UO2=UB-UN=(ZL21+ZO21)IL1+(ZL22+ZO22)IL2

(8)

(9)

即UO=(ZO+ZL)IL

(10)

(11)

1.3 有源雙口網(wǎng)絡(luò)撕裂原則：

由圖1, 沿A、B處撕裂，撕裂后的有源雙口網(wǎng)絡(luò)N應(yīng)滿足：

(1)各節(jié)點(diǎn)電流遵循KCL，各回路電壓遵循KVL定律。

(2)無(wú)伴電壓源(包括無(wú)伴受控電壓源)不能短路，無(wú)伴電流源(包括無(wú)伴受控電流源)不能開(kāi)路。且受控源的控制量不能被消去。

(3)對(duì)于多電源電路，各無(wú)伴電壓源(包括無(wú)伴受控電壓源)不能并聯(lián)，各無(wú)伴電流源(包括受控電流源)不能串聯(lián)。

(4)ZL與N無(wú)耦合關(guān)系。

1.4 無(wú)源雙口阻抗參數(shù)

為求解方便，設(shè)ZL為不含受控源的雙口無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。電路中常見(jiàn)的類型有T型網(wǎng)絡(luò)、V型網(wǎng)絡(luò)和Δ型網(wǎng)絡(luò)。

雙口T型網(wǎng)絡(luò)如圖3所示，其Z參數(shù)為：

(12)

雙口V型網(wǎng)絡(luò)如圖4所示，其Z參數(shù)為：

(13)

對(duì)于圖5所示的雙口Δ型網(wǎng)絡(luò)，可利用Y/Δ變換將其變換為雙口T型網(wǎng)絡(luò)，再求其Z參數(shù)。

圖3 T型網(wǎng)絡(luò)

圖4 V型網(wǎng)絡(luò)

圖5 Δ型網(wǎng)絡(luò)

2 雙口戴維寧定理在獨(dú)立電源電路中應(yīng)用

算例1：計(jì)算圖6所示電路中電流IL1和流IL2

圖6 算例1原電路

解：將原電路(圖6)中由R1、R2、R3組成的T型電阻作為雙口負(fù)載阻抗，沿A、B處撕裂，分解為有源雙口網(wǎng)絡(luò)(圖7)和雙口負(fù)載阻抗(圖9)的組合。

1)計(jì)算開(kāi)路電壓

由圖7得，UO1=136-2×3=130 V，UO2=50 V

(14)

(15)

2)計(jì)算有源雙口網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)阻抗Z參數(shù)

(16)

3)計(jì)算雙口負(fù)載阻抗的Z參數(shù)

(17)

4)列寫雙口網(wǎng)絡(luò)戴維寧定理的矩陣形式

由式(9)、(10),UO=(ZO+ZL)IL得

(18)

(19)

圖7 撕裂后有源雙口網(wǎng)絡(luò)

圖8 有源雙口網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)阻抗ZO

圖9 雙口T型負(fù)載阻抗ZL

3 雙口戴維寧定理在含受控源電路中應(yīng)用

對(duì)于含受控源電路，除了遵循獨(dú)立電源電路的規(guī)則外，還應(yīng)注意受控源的控制量不能為端口電流或電壓；求有源雙口網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)阻抗Z參數(shù)時(shí)，應(yīng)將所有獨(dú)立電源置零(電壓源短路，電流源開(kāi)路)，受控源應(yīng)保留，其控制量不能被消去。

撕裂后的有源雙口網(wǎng)絡(luò)N與無(wú)源雙口內(nèi)阻抗ZO應(yīng)滿足的條件：

1)含有受控電壓源電路

①無(wú)伴受控電壓源不能與無(wú)伴電壓源并聯(lián)；②無(wú)伴受控電壓源不能短路，且控制量所在支路不能與之并聯(lián)。

2)含有受控電流源電路

①無(wú)伴受控電流源不能與無(wú)伴電流源串聯(lián)；②無(wú)伴受控電流源不能開(kāi)路，且控制量所在支路不能與之串聯(lián)。

算例2：計(jì)算圖10所示電路中電流IL1和IL2

圖10 算例2原電路

解：本例屬于含有一個(gè)受控電壓源電路。將原電路(圖10)中由R1、R2組成的V型電阻作為雙口負(fù)載阻抗，沿A、B處撕裂，分解為有源雙口網(wǎng)絡(luò)(圖11)和雙口負(fù)載阻抗(圖13)的組合。

1)計(jì)算開(kāi)路電壓

由圖11得，I=9-17=-8 A，UO2=-16 V，

(20)

UO1=UO2+33I=-280 V，

(21)

(22)

2)計(jì)算有源雙口網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)阻抗Z參數(shù)

將圖11有源雙口網(wǎng)絡(luò)中獨(dú)立電源置零，受控源保留，得圖12。

圖11 撕裂后有源雙口網(wǎng)絡(luò)

圖12 有源雙口網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)阻抗ZO

當(dāng)I2=0，UI=2I+33I=35I，

(23)

I1=I，U2=2I

(24)

(25)

當(dāng)I1=0，I2=I，UI=35I=35I2，U2=2I=2I2

(26)

(27)

(28)

3)計(jì)算雙口負(fù)載阻抗的Z參數(shù)

(29)

圖13 雙口V型負(fù)載阻抗ZL

4)列寫雙口網(wǎng)絡(luò)戴維寧定理的矩陣形式

由式(9)、(10)，UO=(ZO+ZL)IL得

(30)

(31)

4 結(jié)語(yǔ)

戴維寧定理作為經(jīng)典理論，在電學(xué)中的地位舉足輕重。本文基于雙口網(wǎng)絡(luò)的戴維寧定理，通過(guò)算例嘗試性地進(jìn)行了分析與探討。本方法并不針對(duì)所有電路，只適用于滿足約束條件的電路網(wǎng)絡(luò)。要成功運(yùn)用該方法，必須遵循撕裂原則。通過(guò)撕裂法，合理地分解網(wǎng)絡(luò)并正確求出其參數(shù)是關(guān)鍵，否則會(huì)造成無(wú)解。負(fù)載之所以選擇V型或T型雙口網(wǎng)絡(luò)，是因?yàn)樗毫押蟮木W(wǎng)絡(luò)“破壞性小”，而且計(jì)算簡(jiǎn)單。特別是含受控源電路，控制量耦合關(guān)系復(fù)雜，既要解出撕裂后有源雙口網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓，又要解出無(wú)源雙口網(wǎng)絡(luò)的Z參數(shù)。該方法對(duì)豐富電路理論知識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力是有所幫助的。