量子電路設計軟件的框架與實現(xiàn)

鄭煜臻，馮加貴，2，熊康林，2

（1.中國科學院蘇州納米技術與納米仿生研究所納米真空互聯(lián)實驗站；2.材料科學姑蘇實驗室，江蘇 蘇州 215123）

0 引言

超導電子電路在量子計算與量子測量中有重要應用［1-2］。在分析超導量子電路時，需要考慮其所有節(jié)點的狀態(tài)，通常節(jié)點狀態(tài)不用電壓和電流表示，而是用共軛變量磁通（電壓的時間積分）和電荷量（電流的時間積分）［3］。對于簡單電路，很容易通過將電容器中的靜電能與電感器和約瑟夫森結中的磁能相加的方式計算哈密頓量，可采用運算符代替節(jié)點磁通和電荷完成量子化［4］。近年來，超導量子電子學飛速發(fā)展，目前已有學者提出采用電路量子電動力學研究超導電路與微波之間的相互作用［5］。此外，各種超導量子比特問世［6-9］，其利用電容器、電感器和諧振器實現(xiàn)了量子比特之間的耦合，還實現(xiàn)了量子誤差校正。目前62 位的可編程超導量子處理器已成功演示［10］，量子優(yōu)越性得以證明［11］。

在實際應用方面，糾纏量子比特的質量（通過相干時間和操作保真度衡量）和數(shù)量（字面上的個數(shù)）仍需提高［1］。為了獲得高質量的量子比特，除了改進材料與制造工藝外，還應仔細設計架構，以使其對噪聲不敏感［12］，例如Transmon 量子比特添加并聯(lián)電容器后對電荷擾動的敏感性降低［8］。設計新穎的量子比特是一個耗時、耗資金的過程，為了獲得更多耦合量子比特，諸多超導微波元件被集成到同一芯片中，由于電路的復雜性隨著元件數(shù)量的增加呈指數(shù)增長，因此急需一種可以方便設計與分析量子電路的工具［13］。

1 相關研究

超導量子比特的退相干，即波函數(shù)坍縮效應，是限制超導量子計算發(fā)展的一個難題，主要是由于量子比特會與外界噪聲發(fā)生耦合［14］。電荷［15］、磁通［16］和相位［17］這3 種典型的超導量子比特分別對環(huán)境電荷噪聲、磁通噪聲和相位噪聲十分敏感。為解決這一難題，一方面需要改進材料與制備工藝等降低噪聲，另一方面需要從設計上改變超導量子比特的結構，從器件原理出發(fā)降低噪聲對量子比特的影響［8］。隨著超導量子芯片集成規(guī)模的快速擴大，量子比特之間的串擾問題變得更加突出［10］，需要系統(tǒng)優(yōu)化芯片結構，因此優(yōu)良合理的設計對于提高量子芯片的性能非常關鍵。

量子芯片的設計跨越多個學科，反饋回路很長，技術上涉及器件布局、器件參數(shù)提取、哈密頓量生成、薛定諤方程求解、設計優(yōu)化等步驟。目前已有用于通用量子模擬的軟件，如QuTip［18］、Cirq 和QPanda 等，主要基于矩陣力學設計，關注普適的量子動力學過程，可以輔助量子計算研究，但不能實現(xiàn)量子芯片設計的自動化。近來IBM 發(fā)布了專門用于超導量子計算的電子設計自動化軟件Qiskit-metal［19］，可對集總元件模型的量子電路進行量子化。其通過調用外部電磁場數(shù)值分析軟件，對分布式元件進行經典的電磁分析。其還可以基于內建的器件模型和平面芯片結構自動布局布線，但靈活度稍微欠缺。目前，國內尚未發(fā)現(xiàn)有公開發(fā)布的針對超導量子芯片設計的軟件工具。

本文介紹采用Wolfram 語言編寫的cQED（Computation?al Quantum Electronics Design）軟件。相比于采用Python 編寫的Qiskit-metal，cQED 可以方便地調用Wolfram 系統(tǒng)的內置幾何計算、符號計算和集成數(shù)值功能，更適用于復雜超導量子電路的研究。cQED 還可以方便地擴展新功能，整個軟件框架無需花費過多精力維護，有望實現(xiàn)量子芯片設計的自動化，并使設計過程高效且不易出錯。

2 框架設計

2.1 架構

cQED 軟件的框架結構遵循傳統(tǒng)半導體芯片物理設計的工作流程：首先需要確定單個電子元器件的幾何尺寸，以滿足給定的量子特性；然后對電路進行仿真驗證；最后將元件放置在芯片上，并布線互聯(lián)各個元件。此外，在導出用于電路制造的GDSII 版圖文件之前，必須多次檢查和校驗。在cQED 框架下，每個模塊都執(zhí)行特定的任務，用戶根據需要可以單獨或一起加載相應模塊。在Wolfram 系統(tǒng)中，模塊也被稱為包（Package），“`”符號用作軟件包的路徑分隔符。例如，cQED`QE`Hamiltonian`表示在cQED 框架的目錄QE 下有一個子包Hamiltonian`。在下文中，cQED 將遵循這個慣例。

cQED 的體系結構如圖1 所示，主要功能以矩形框的形式列出，即文件系統(tǒng)中的目錄。每個目錄下都有數(shù)個源文件，每個文件都包含一個子包的定義，每個子包都有數(shù)個公開函數(shù)，每個函數(shù)可以完成特定任務，當前共有52 個源文件和270 個公開函數(shù)。

Fig.1 Structure of the cQED framework圖1 cQED 軟件框架結構

2.2 主要功能

cQED 軟件框架主要用于量子計算的超導芯片物理設計流程中，其功能包括量子體系求解、微波工程和布局布線，用戶可以單獨或同時使用。以下列舉每個模塊的功能。

cQED 是軟件的主體結構，為Wolfram 系統(tǒng)中的用戶基礎目錄，包含cQED`、cQED` UnitsAndConstants`子包以及所有其他模塊。其中，cQED 的子程序包控制全局功能，并可獲取有關整個框架的統(tǒng)計信息；cQED`UnitsAndConstants`管理輸入與輸出物理變量和常量的單位。

cQED`MW`包含兩個模塊，其中cQED`MW`EM`處理電磁問題，并從幾何形狀中提取電參數(shù)，如多個耦合共面波導的電容矩陣；cQED`MW`NW`主要使用散射矩陣法分析微波網絡，并可獲得耦合到饋線的共面波導諧振器的品質因子。

cQED`QD`包含提取諧振器和量子比特特征的基本工具，還包含了Transmon 在磁通和電荷空間的薛定諤方程的求解。

cQED`QE`用于一般量子電子電路，可以讀取電容器、電感器、約瑟夫森結、電流和電壓源的網表文件，生成整個電路的哈密頓量。其還可以通過求解定態(tài)薛定諤方程給出電路的本征能量和本征矢量，并針對單個節(jié)點求解含時方程。該模塊的一些子程序包可以繪制電路的拓撲結構和量子態(tài)。

cQED`GDS`用于讀取和寫入GDSII 流格式文件，其可自由操作GDSII 文件。通過使用該軟件包，用戶可以從Wolfram 腳本中精確地為器件生成幾何圖案，無需在布局編輯器中手動繪制。

cQED`PNR`用于從邏輯網表中生成布局圖，也可以從GDSII 文件中加載量子比特的設計，然后解析量子比特級網表。利用這些網表信息，cQED`PNR`Placing`可以放置量子比特，而cQED`PNR`Routing`可以使用給定長度和寬度的導線連接不同的量子比特。

cQED`GUI`中有數(shù)個子軟件包，可在用戶界面生成帶有圖形的交互式工具。對于不直接使用代碼的人，使用GUI 模塊計算某些問題非常方便。該模塊也適用于超導量子計算的教學。

2.3 命名規(guī)則

從設計方面考慮，cQED 是一個可擴展的軟件框架，因此命名規(guī)則十分重要。cQED 的幾種命名規(guī)則為：①私有函數(shù)的名稱以“r”開頭，公共函數(shù)的名稱以“f”開頭；②從另一個程序包調用函數(shù)時，始終使用其全名以避免命名沖突；③軟件包或模塊級別的參數(shù)以字母“p”開頭，函數(shù)內的局部變量以其他小寫字母開頭；④代碼采用過程式編程風格，在cQED 的其他部分，適當時也可使用函數(shù)式編程。

3 實現(xiàn)方法

3.1 電磁場模塊（cQED`MW`EM`）

超導電路在單個振蕩器和耦合組件中廣泛使用電容器和電感器等電子元件，電子元器件本身的電磁場值得深入分析。目前有數(shù)十種工業(yè)軟件可用于不同類型的應用場景，但是不適合集成到設計流程中?？紤]到目前多在晶片（主要是硅或藍寶石）上制造超導量子比特和電路，該模塊實現(xiàn)了從二維（2D）幾何形狀中提取電學參數(shù)的功能。

cQED`MW`EM`模塊解決了3 個問題，均為超導量子器件物理設計的核心。

（1）共面波導和多耦合微帶線的電容和電感矩陣。在超導電路中，微波信號在共面波導中傳播，一段共面波導可以作為諧振器使用。將不同的波導互相靠近可以有效耦合，使用對稱設計和浮動金屬接地可以抑制雜散模式，因此TEM 模式或準TEM 模式在這些波導中占主要地位。對于共面波導或微帶線，保形映射是首選分析方法，其可使用最少的計算時間提取電容和電感矩陣［20］。

（2）多種金屬的電容矩陣。在Transmon 和Xmon 中使用電容器可使量子比特與諧振器之間實現(xiàn)耦合。在超導量子電路中，電容器的尺寸遠小于襯底中微波的波長，因此可將電容視為集總元件而不是分布式元件。如果金屬形狀規(guī)則，也可以使用保形映射計算集總電容。然而在大多數(shù)設計中，金屬形狀并不規(guī)則，因此需要在三維空間中求解泊松方程。cQED`MW`EM`Electrostatic`子軟件包采用數(shù)值求解的方法求解靜電問題以提取電容，其使用正交網格離散感興趣的三維區(qū)域、設置薄金屬電壓、求解離散的泊松方程，以獲取電勢分布。其還利用高斯定律計算每種金屬上的感應電荷，最后返回電容矩陣。cQED 軟件中使用的網格如圖2（彩圖掃OSID 碼可見）所示，灰色的多邊形為薄金屬電極，其厚度可被忽略，虛線小框標記紅色網格節(jié)點的有限體積元。

Fig.2 Schematic diagram of the grid on the XY plane to solve the Poisson equation圖2 用于求解泊松方程的XY 平面上網格示意圖

（3）回路和線路的電感矩陣。在磁通量子比特或Transmon 量子比特中，需要磁通偏置調控SQUID 的有效約瑟夫森臨界電流，從而改變量子比特的哈密頓量。此外，一些磁通量子比特也可通過電感耦合，因此有必要計算自感和互感。cQED`MW`EM 模塊使用Neumann 公式計算電感［21］。

3.2 微波網絡模塊（cQED`MW`NW`）

共面波導被廣泛用于傳導微波脈沖。值得注意的是，由于長度與微波波長相當，波導之間的耦合是分布式的［22］。cQED'MW`NW`模塊采用微波網絡理論中廣泛使用的散射參數(shù)分析分布式電路［23］。

本文設計的cQED 軟件使用通用模型處理分布式耦合。如圖3 所示，N 條微帶線相互耦合，其中耦合區(qū)域可由S2N×2N矩陣表征。給定耦合區(qū)域的長度，通過cQED`MW`EM`模塊提取每個單位長度的電容和電感矩陣，進而推導出阻抗矩陣，然后推導S 參數(shù)。在給定了某個端口的負載阻抗后，S 參數(shù)的秩會降低，從降秩的S 參數(shù)中可獲得整個網絡的信息，如諧振頻率等。

Fig.3 Diagram of N coupled metal stripes圖3 N 個耦合的金屬微帶線示意圖

該模塊的一個特殊應用是計算耦合到饋線的共面波導諧振器的耦合品質因子。例如將1/4 波長諧振器的兩個端口分別設置為開路和短路，饋線的兩個端口設置為阻抗匹配（50Ω），接地線的端口設置為短路，從饋線的反射或透射譜中可以提取諧振頻率以及品質因子。cQED‘MW`NW’模塊可分析具有超高品質因子的諧振器，而由于受網格尺寸和數(shù)值精度的限制，傳統(tǒng)的有限元方法無法模擬該情況。

3.3 量子器件模塊（cQED`QD`）

該模塊給出了L-C 諧振器和Transmon 的薛定諤方程的解析與數(shù)值解。如果是傳輸線諧振器，可通過找到其等效L-C 電路完成量子化。而對于由電容器C、約瑟夫森結J、電感器L 和并聯(lián)電流源I 組成的CJLI 電路，通過在相位空間上對薛定諤方程進行數(shù)值求解，可以獲得本征能量和本征矢量。

若CJLI 電路有兩個節(jié)點，其中一個節(jié)點接地，則CJLI電路的哈密頓量為：

式中，q和?分別為未接地節(jié)點的電荷和磁通；C、EJ、L和I 分別為電容、約瑟夫森耦合能量、電感和偏置電流；?0為磁通量子，而?0為用于調整約瑟夫森結的偏置磁通。需要說明的是，q和?是一對共軛變量，表示為：

將CJLI 電路視為在磁通勢阱中振蕩且“質量”為C 的粒子，該磁通勢阱由感性電子元件決定。約瑟夫森結提供余弦部分，電感器提供拋物線分量，電流源使勢阱傾斜。如圖4 所示，勢阱由約瑟夫森結（左上）、電感器（中上）和電流源（右上）貢獻，振蕩器的“質量”等于并聯(lián)電容器的電容。通過在一維相空間中對薛定諤方程進行數(shù)值求解，可以獲得振蕩器的本征能量和本征態(tài)。

Fig.4 One-dimensional oscillator in flux space圖4 磁通空間中的一維振蕩器

3.4 量子電路模塊（cQED`QE`）

當數(shù)個量子比特和諧振器通過電容器、電感器或約瑟夫森結耦合在一起形成電路網路時，網絡的哈密頓量會變得復雜。耦合會改變單個器件的哈密頓量，因此在分析器件，尤其是耦合強度較大時，耦合不能被忽略，此時需首先生成整個網絡的哈密頓量，然后將哈密頓量分解為各個器件和耦合部分的項。實際上，cQED`QE`模塊的功能之一即為大規(guī)模網絡生成哈密頓量。

該模塊通過cQED`QE`Netlist`讀取文本文件，獲取電路的全局信息。例如，圖5 中的電路通過電容器耦合到L-C振蕩器的量子比特，電路中有3 個節(jié)點，整個電路通過固定格式的文字描述，節(jié)點已采用數(shù)字編號，其中節(jié)點1 接地，節(jié)點2 和3 為自由節(jié)點。

Fig.5 Equivalent circuit of a Transmon qubit coupled to a resonator by a capacitor圖5 通過電容器耦合到諧振器的Transmon 量子比特等效電路

網表加載到cQED`QE`后，將其中一個節(jié)點設置為地，默認節(jié)點1 接地，則存儲在電容器中的靜電能量可表示為：

式中，C 為網絡的電容矩陣；v為所有節(jié)點的電壓矢量，其是節(jié)點磁通向量? 的時間微分。如果電路中有電壓源，則電壓矢量v滿足：

式中，MV為電壓源的鄰接矩陣，Vs為電壓源的電壓。電壓源會減少自由節(jié)點的數(shù)量，該模塊在生成電路哈密頓量時將消除非自由節(jié)點。

與cQED`QD`模塊類似，電路網絡中的磁能為電感、電流源與約瑟夫森結中的能量之和。其中，電感能量UL可通過磁通矢量? 和電感矩陣L 計算得到，電流源能量UI為電流源矢量I 與磁通矢量的內積，利用向量EJ、約瑟夫森結的鄰接矩陣MJ和磁通矢量可計算得到約瑟夫森結能量UJ，具體表示為：

將靜電能E 類比為動能，磁能U 類比為勢能，電路的拉格朗日量可表示為：

與節(jié)點磁通共軛的動量表示為：

式中，q 為所有節(jié)點的電荷向量。

聯(lián)合式（6），節(jié)點電壓可以用節(jié)點電荷表示。如果電路的某些部分是純電感性的，則節(jié)點電壓將不會出現(xiàn)在拉格朗日量中，其電荷不能從式（10）中得出，本文cQED 將不考慮該類電路。

采用電荷矢量和磁通矢量表示電路的哈密頓量，為：

如果自由節(jié)點的數(shù)量，即磁通向量的長度很小，則可在所有節(jié)點磁通組成的多維磁通空間中數(shù)值求解薛定諤方程。如果自由節(jié)點的數(shù)量很大，則不可能直接求解薛定諤方程，因為所需內存和計算時間將呈指數(shù)級增加。當節(jié)點之間的耦合較小時（大多數(shù)用于量子計算的電路滿足該條件），哈密頓量可表示為：

3.5 文件模塊（cQED`GDS`）

GDSII 格式廣泛用于存儲芯片布局。隨著超導量子比特數(shù)量的增加，芯片上電路的復雜度呈指數(shù)增長。對于具有數(shù)千個量子比特的芯片，幾乎不可能手工繪制所有器件的幾何圖形，因此通過腳本操縱超導電路的設計版圖至關重要。cQED`GDS`模塊可用于讀取、寫入和修改GDSII 文件。

如圖6 所示，cQED`GDS`模塊是根據GDSII 流格式的數(shù)據結構實現(xiàn)的。GDSII 為二進制文件格式，其記錄列表以預先定義的順序存儲。每個記錄都包含頭文件和特定類型的數(shù)據。若要讀取GDSII 文件，第一步是將原始二進制數(shù)據轉換為GDSII 可以識別的數(shù)據類型；在記錄時，GDSII由實體數(shù)據結構組成，因此第二步是將記錄放入實體中，并根據一定的關系排列實體；最后一步是訪問實體中的數(shù)據。除了讀取、寫入和修改GDSII 文件外，該模塊中的cQED`GDS`Graph`軟件包可將GDSII 元素轉換為圖形基元并進行顯示，cQED`GDS`Shape`子包可用于生成超導芯片中的常用圖形。

Fig.6 Data structure and functionalities of the cQED`GDS`module圖6 cQED`GDS`模塊的數(shù)據結構與功能

3.6 布線模塊（cQED`PNR`）

超導芯片的規(guī)模在不斷擴大，cQED`PNR`模塊旨在實現(xiàn)超導芯片布局圖形的自動生成。該模塊可處理量子比特的放置以及二維平面上的布線，目前不考慮二維以外的技術，如倒裝芯片鍵合和三維封裝。布局和布線是CMOS芯片物理設計的重要步驟，其可以從門級網表和標準單元中生成芯片布局。門級網表定義電路的邏輯功能，簡單電路可以通過手動創(chuàng)建門級網表，大型電路的門級網表可以在邏輯綜合步驟從寄存器傳輸級網表中自動生成；標準單元是已驗證和制造的基本邏輯單元的物理布局。在超導量子計算中，網表是量子比特級的，而標準單元是量子比特的圖形。cQED`PNR`網表用于解析量子比特級的網表，網表的語法類似于Verilog 硬件描述語言。

讀取量子比特級的網表后，實例量子比特之間的邏輯連接可清楚地用鄰接矩陣表示。cQED`PNR`Placing`使用矩陣構建圖形，并生成圖形的位置坐標。利用來自GDSII文件中引用單元的其他信息，將坐標轉換為實例量子比特的位置，便可以生成一個新的GDSII 文件存儲布局。

放置好量子比特后，cQED`PNR`Routing`可以使用半波長諧振器在邏輯連接的端口之間布線。給定端口的兩個邊緣、半波長諧振器的長度以及曲折線路的最大振幅，該模塊可通過固定寬度的導線自動連接兩個端口。如圖7（彩圖掃OSID 碼可見）所示，沿著最短路徑（虛線）的方向可分為兩種類型的區(qū)域，即兩個過渡區(qū)域和曲折區(qū)域。過渡區(qū)域由一個扇區(qū)和一個貝塞爾曲線形部分組成，它們將兩個邊緣對齊，從而使曲折區(qū)域對稱。布線步驟完成后，線路參數(shù)將存在新的GDSII 文件中。

Fig.7 Route to connect two edges（red rectangles）generated by the cQED`PNR`Routing`sub-package圖7 cQED`PNR`Routing`程序包生成的連接兩個邊（紅色矩形）的線路

3.7 用戶界面模塊（cQED`GUI`）

該模塊包含多個交互式圖形界面工具，可用于快速計算一些問題。參數(shù)可以通過GUI 模塊輸入而不是代碼輸入，雖然不如使用腳本那么靈活，但特別適合不熟悉編碼的用戶使用，而且便于演示。從技術上講，GUI 模塊通過在Mathematica 中封裝以上6 個模塊的功能實現(xiàn)。

4 結語

本文設計了采用Wolfram 語言實現(xiàn)的用于超導量子電子設計的cQED 框架性工具，從單器件分析到布局生成，其功能涵蓋單諧振器設計、電路分析、微波工程、布局處理和布線，為了使用方便，還構建了圖形交互工具。隨著超導量子計算的發(fā)展，大規(guī)模超導量子比特被集成，量子芯片的設計會變得十分復雜。采用Wolfram 語言實現(xiàn)的cQED易于擴展，可以輔助超導量子電路研究，使超導量子電路的設計自動化，尤其會在大規(guī)模超導量子計算電路中發(fā)揮重要作用。