論導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

馮仰超

(江蘇省徐州市第七中學(xué) 221011)

數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解答相關(guān)習(xí)題，應(yīng)注重為學(xué)生細(xì)致的講解導(dǎo)數(shù)的意義，使其牢記一些函數(shù)的求導(dǎo)公式，尤其應(yīng)結(jié)合具體例題為其講解導(dǎo)數(shù)的具體應(yīng)用，為其高效的解題帶來(lái)啟示.

一、用于求解參數(shù)范圍

求解參數(shù)的取值范圍是高中數(shù)學(xué)的一類(lèi)重要題型.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解答該類(lèi)習(xí)題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，確定要求解的問(wèn)題屬于恒成立還是存在性問(wèn)題.另外，解答該類(lèi)習(xí)題常規(guī)思路是分離參數(shù)，具體是先分離參數(shù)還是求導(dǎo)后再分離參數(shù)需要視情況而定.比如下面的習(xí)題就是求導(dǎo)后再分離參數(shù)，因此，教學(xué)中應(yīng)提醒學(xué)生應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，不能局限于思維定勢(shì).

例1若曲線(xiàn)y=lnx+ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負(fù)的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

C.(0，+∞) D.[0，+∞)

該題目難度并不大，考查學(xué)生對(duì)切線(xiàn)概念的理解.解題的關(guān)鍵在于能夠正確轉(zhuǎn)化題干中的“不存在斜率為負(fù)的切線(xiàn)”這一條件.即，轉(zhuǎn)化為在x>0時(shí)曲線(xiàn)的導(dǎo)數(shù)y′≥0恒成立.

二、用于比較數(shù)值大小

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛，其也可用于比較數(shù)值大小.該類(lèi)習(xí)題題型復(fù)雜多變，部分習(xí)題求導(dǎo)后便可分析出結(jié)果，但部分習(xí)題則需要二次求導(dǎo)以判斷原函數(shù)的單調(diào)性.為使學(xué)生掌握運(yùn)用二次求導(dǎo)解題的思路，教學(xué)中應(yīng)注重篩選與講解相關(guān)例題.如以下例題：

A.a>bB.a

題目涉及的函數(shù)為較復(fù)雜，無(wú)法直接判斷其單調(diào)性.需要對(duì)其求導(dǎo)，通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)能夠確定其單調(diào)性，如不能需要繼續(xù)進(jìn)行二次求導(dǎo).

三、用于判斷函數(shù)圖像

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像是導(dǎo)數(shù)最為基礎(chǔ)的應(yīng)用.解答該類(lèi)習(xí)題需要對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系有個(gè)深入的認(rèn)識(shí).即根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的取值的正負(fù)可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的變化趨勢(shì)，則可進(jìn)一步判斷出原函數(shù)斜率的變化，更為細(xì)致的勾勒出原函數(shù)的圖像.為使學(xué)生掌握相關(guān)解題技巧，可與學(xué)生一起分析如下習(xí)題：

例3如圖1所示，為函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，那么y=f(x)，y=g(x)的圖像可能是( ).

圖1

該題目要求根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的圖像，屬于導(dǎo)數(shù)的靈活應(yīng)用題目.解答該題需要深入理解導(dǎo)函數(shù)的圖像與原函數(shù)的關(guān)系.觀察圖1內(nèi)容可知，y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)隨著x的值增大而減小，表示原函數(shù)隨著x的增大斜率逐漸變小，圖像上凸.y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)隨著x的值增大而增大，表示原函數(shù)隨著x的增大斜率逐漸變大，圖像下凹，此時(shí)可排除A、C.又因?yàn)樵趚=x0處兩個(gè)導(dǎo)函數(shù)相交，即在拐點(diǎn)處原函數(shù)具有大小相等的斜率.觀察B、D兩項(xiàng)中函數(shù)的圖像，可將B項(xiàng)排除，故正確答案為D.

四、用于求解函數(shù)極值

求解函數(shù)極值時(shí)，為保證解題的正確性應(yīng)遵循一定的解題步驟，先根據(jù)已知條件判斷函數(shù)的定義域范圍，而后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo).令導(dǎo)函數(shù)的值為零求解其根.如含有參數(shù)需要對(duì)根的大小情況進(jìn)行討論，判斷函數(shù)單調(diào)性找到函數(shù)的極值點(diǎn)，將極值點(diǎn)代入求解即可.為使學(xué)生感受解題過(guò)程，教學(xué)中可為學(xué)生講解如下習(xí)題：

例4設(shè)f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3為公差為d的等差數(shù)列.若d=3，求f(x)的極值.

該題目是函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合習(xí)題，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)解題的綜合能力.解題時(shí)需要吃透題意，充分運(yùn)用已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析解答.

x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)極大值極小值

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，是解答函數(shù)問(wèn)題的重要工具.為提高學(xué)生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題的能力，教學(xué)中應(yīng)圍繞具體習(xí)題為學(xué)生認(rèn)真講解解答過(guò)程.同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生多進(jìn)行訓(xùn)練、反思、總結(jié)，不斷深化對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解，真正做到融會(huì)貫通.