dRGT質(zhì)量引力的黑洞的全息熱機(jī)效率

李慧玲,張思宇,方戈亮

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,沈陽(yáng) 110034)

2014年,Johnson提出了以黑洞作為熱機(jī)工質(zhì)的概念[1]。這一開創(chuàng)性工作引起了很多關(guān)注,繼而Johnson又對(duì)Gauss-Bonnet黑洞和Born-Infeld AdS黑洞等為工質(zhì)的全息熱機(jī)進(jìn)行研究[2-6],并得到了熱機(jī)做矩形循環(huán)時(shí)的精確效率公式[3]。除此之外,黑洞熱機(jī)也被推廣到許多其他黑洞中。2016年,Bhamidipati等[7]對(duì)Dilatonic Born-Infeld黑洞熱機(jī)進(jìn)行研究;2017年,三維帶電BTZ黑洞的全息熱機(jī)被研究,卡諾周期的結(jié)果被擴(kuò)展到三維時(shí)空[8];2019年,朱軒然[9]對(duì)全息熱機(jī)的矩形循環(huán)效率進(jìn)行研究。

在愛因斯坦的廣義相對(duì)論中,引力子是一個(gè)無(wú)質(zhì)量粒子。在Kastor[10]工作的啟發(fā)下,Chabab等[11]通過(guò)將引力子質(zhì)量解釋為熱力學(xué)變量這一思想,提出了一個(gè)包含質(zhì)量項(xiàng)的熱力學(xué)第一定律,并建立了一個(gè)新的斯馬爾公式。本文研究了dRGT質(zhì)量引力中的一個(gè)黑洞,其中引力子質(zhì)量被視為一個(gè)熱力學(xué)變量,以引力子勢(shì)作為其共軛量,在此基礎(chǔ)上,對(duì)以其為工質(zhì)構(gòu)造的熱機(jī)進(jìn)行研究。

1 dRGT質(zhì)量引力黑洞

dRGT質(zhì)量引力黑洞時(shí)空線元為[11]

(1)

(2)

(3)

選取參數(shù)α=1,β=2,c=1,代入式(3),得

(4)

定義v=2rh[12],可以得到P和v的關(guān)系式為

畫出P-V圖像,如圖1所示。其中Q=0.5,α=1,β=2,c=1,T值從上到下依次減小,間隔為0.001 26,從上到下依次取T為0.065 04,0.063 78,0.062 52,0.061 26,0.06。

圖1 壓強(qiáng)P與體積V的關(guān)系圖Fig.1 Relationship between pressure and volume

隨著壓強(qiáng)的變化,在大黑洞和小黑洞之間存在一階相變,類似范德瓦爾斯液氣系統(tǒng)。由P-V圖像可以看出等溫線復(fù)雜,這使選取等溫線建立卡諾循環(huán)比較繁瑣[9]。Johnson提出了由2個(gè)等體過(guò)程和2個(gè)等壓過(guò)程組成,在P-V圖像上呈現(xiàn)為矩形的循環(huán)[1],如圖2所示。

圖2 矩形循環(huán)P-V圖 Fig.2 Rectangular cycle P-V diagram

2 熱機(jī)的卡諾循環(huán)

圖3 熱機(jī)循環(huán)的流程 Fig.3 The flow of the engine cycle

圖4 卡諾循環(huán)的P-V圖Fig.4 Carnot cycle P-V diagram

因?yàn)閂1=V4,V2=V3,所以卡諾循環(huán)的效率為

(5)

其中:TH是的高溫?zé)嵩?TC是低溫?zé)嵩?二者存在溫度差使熱機(jī)工作。由式(5)可以看出,卡諾熱機(jī)的效率只取決于2個(gè)熱源的溫度。根據(jù)式(3)得到

圖5和圖6中取Q=0.5,α=1,β=2,c=1,S1=S4=3,S2=S3=5,P1=P2=5,P3=P4=3。由圖像可觀察到在卡諾循環(huán)中,TC隨著電荷Q的增加在減小,而熱機(jī)的效率卻隨著電荷Q的增加而增大。

圖5 低溫?zé)嵩磁c電荷的關(guān)系圖Fig.5 Relationship between low temperature heat source and charge

圖6 卡諾循環(huán)的效率與電荷的關(guān)系圖Fig.6 Relationship between efficiency and charge of carnot cycle

3 熱機(jī)的矩形循環(huán)

吸收的熱量為

同理,可求放出的熱量為

熱機(jī)的效率為

以上用2種方式求解的熱機(jī)效率結(jié)果一致,Johnson提出效率公式[3]對(duì)于dRGT質(zhì)量引力黑洞是成立的,并把矩形循環(huán)的效率與卡諾循環(huán)的效率對(duì)比,作出η-Q圖像。其中Q=0.5,α=1,β=2,c=1,S1=S4=3,S2=S3=5,P1=P2=5,P3=P4=3。圖7上面曲線為全息熱機(jī)的卡諾效率曲線,下面曲線為矩形循環(huán)效率曲線。圖8為矩形循環(huán)和卡諾循環(huán)的效率比值與電荷Q的關(guān)系圖。

圖7 熱機(jī)循環(huán)效率與電荷的關(guān)系Fig.7 Relationship between cycle efficiency and charge of heat engine

圖8 兩種循環(huán)的效率比值與電荷的關(guān)系圖Fig.8 Relationship between efficiency ratio and charge of two cycles

由圖7可以看出,卡諾循環(huán)的效率曲線始終在矩形循環(huán)效率曲線上方,說(shuō)明等電荷時(shí),卡諾循環(huán)效率大于矩形循環(huán)效率。由圖8可以看出,同等條件下,矩形循環(huán)效率與卡諾循環(huán)效率的比值小于1,說(shuō)明矩形循環(huán)的效率小于卡諾循環(huán)的效率。

4 結(jié) 論

本文分別對(duì)dRGT質(zhì)量引力下黑洞全息熱機(jī)的卡諾循環(huán)效率和矩形循環(huán)效率進(jìn)行了研究,并且繪制了關(guān)于全息熱機(jī)效率η與電荷的圖像。在卡諾循環(huán)中,黑洞所帶電荷對(duì)黑洞的熱機(jī)效率有影響,并且黑洞所帶電荷越大,熱機(jī)的有用功越大,以其為工質(zhì)的熱機(jī)卡諾效率就越高。同等條件下,卡諾循環(huán)的效率始終大于矩形循環(huán)的效率,比值小于1,這也符合了熱力學(xué)第二定律,并且隨著電荷的增大,矩形循環(huán)與卡諾循環(huán)的效率逐漸接近。