例談“指數(shù)與對(duì)數(shù)模型”求參數(shù)范圍的編題思考與解題策略探究

廣州市鐵一中學(xué)(510600)范選文

已知函數(shù)不等式求參數(shù)的取值范圍是高考?jí)狠S題的常見(jiàn)考點(diǎn)之一,常見(jiàn)的有五種類(lèi)型:一是“指數(shù)與冪函數(shù)模型”;二是“對(duì)數(shù)與冪函數(shù)模型”;三是“指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型”;四是“指數(shù)、對(duì)數(shù)與冪函數(shù)模型”;五是“指數(shù)或?qū)?shù)與三角函數(shù)模型”.前兩種模型的解題策略筆者已經(jīng)探究[1],后面三種題型比較靈活,綜合性較強(qiáng),對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)解決方法較難掌握.本文筆者主要針對(duì)“指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型”的探究.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

題目1設(shè)函數(shù)f(x)=ex?ln(x+a).當(dāng)f(x)≥0 時(shí),求a的取值范圍.

此題是筆者針對(duì)一道高考題(2013年高考全國(guó)II 卷第21 題)進(jìn)行了改編,原題是已知函數(shù)f(x)=ex?ln(x+m).當(dāng)m≤2 時(shí),證明f(x)>0.在講解過(guò)程中與學(xué)生探討時(shí)發(fā)現(xiàn)改編后不能求出具體a的取值范圍.

二、問(wèn)題解決

問(wèn)題改編思考:此題改編后題目本身沒(méi)有問(wèn)題,只是針對(duì)高中學(xué)生來(lái)說(shuō)求解出來(lái)的參數(shù)取不是常見(jiàn)具體數(shù)值而導(dǎo)致解答失敗.沒(méi)有改編成功的關(guān)鍵是在于最后的普通式利用基本不等式求解最值,忽略了不等式等號(hào)成立的x0取值與最后求解出的參數(shù)范圍等號(hào)成立時(shí)x0的取值是否一致(即沒(méi)有作出檢驗(yàn)),導(dǎo)致筆者最初所寫(xiě)解答錯(cuò)誤.假如改編的題目能這點(diǎn)上處理得當(dāng),應(yīng)該就比較容易設(shè)置出“指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)混合模型”求參數(shù)范圍的題目.

三、問(wèn)題再改編與解題策略探究

評(píng)注指數(shù)函數(shù)部分與對(duì)數(shù)函數(shù)部分是互為相反的凹凸性,且?guī)⒉糠值暮瘮?shù)是指數(shù)或者對(duì)數(shù)進(jìn)行左右平移或者上下平移的變換,則可以利用它們有相同的切點(diǎn)和公切線(xiàn)的性質(zhì),尋找它們之間大小關(guān)系.

策略二、利用不等式ex≥x+1 進(jìn)行放縮求解

解法2因?yàn)閒(x)=ex?a?ln(x+a)≥0,所以ex?a≥ ln(x+a),因?yàn)閑x≥x+ 1,可以轉(zhuǎn)化為不等式ln(x+ 1)≤x(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立).所以ex?a≥x+ 1?a(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立),ln(x+a)≤x+a?1(當(dāng)且僅當(dāng)x+a=1 時(shí)等號(hào)成立).因?yàn)樾枰獫M(mǎn)足ex?a≥ln(x+a),所以x+a?1 ≤x+1?a,解得a≤1.(經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a=1 時(shí)x=0,滿(mǎn)足不等式同時(shí)成立的條件,故符合題意)

評(píng)注在遇到“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型”進(jìn)行整合的不等式恒成立求參數(shù)范圍時(shí),則首選觀察指數(shù)函數(shù)部分與對(duì)數(shù)函數(shù)部分是否互為反函數(shù),假如是互為反函數(shù),則直接用指數(shù)函數(shù)部分與直線(xiàn)y=x作比較即可,方法是利用直線(xiàn)與指數(shù)函數(shù)相切可求得.

策略四、虛設(shè)零點(diǎn),整體代換把超越式降為普通式求解

評(píng)注針對(duì)“指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型”的不等式求參數(shù)范圍的題目,因?yàn)檫@類(lèi)函數(shù)求導(dǎo)后還是一個(gè)超越函數(shù),無(wú)法直接求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),所以我們一般對(duì)導(dǎo)函數(shù)虛設(shè)零點(diǎn),對(duì)原函數(shù)的超越式進(jìn)行合理代換,把超越式變成普通式后再進(jìn)行求解.

策略五、虛設(shè)零點(diǎn),消參得到關(guān)于零點(diǎn)的單一函數(shù)求解

策略六、利用同構(gòu)思想求解

解法6因?yàn)閒(x)=ex?a?ln(x+a)≥0,所以ex≥ln(x+a)+a,兩邊加上x(chóng)得到

ex+x≥ln(x+a)+(x+a),

即有同構(gòu)式

ex+x≥ln(x+a)+eln(x+a).

構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x,則g′(x)=ex+1>0 恒成立,故g(x)在(?a,+∞)上單調(diào)遞增,所以只需x≥ln(x+a)成立即可,即a≤ex?x.構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex?x,易得h(x)min=1,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤1.

評(píng)注同構(gòu)思想是構(gòu)造函數(shù)求解的重要思想之一,在導(dǎo)數(shù)中有重要的應(yīng)用,我們可以總結(jié)出一些常見(jiàn)的同構(gòu)變形:

四、解題策略的高考運(yùn)用

例(2020年高考山東卷第21 題)函數(shù)f(x)=aex-1?lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解法1(運(yùn)用相同切線(xiàn)分界來(lái)進(jìn)行求解)因?yàn)閒(x)≥1,所以aex-1≥lnx?lna+ 1.根據(jù)y=aex-1與y=lnx?lna+1 的凹凸性可得y=aex-1與y=lnx?lna+1有公切線(xiàn),設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),故根據(jù)切線(xiàn)可得

解法2(利用不等式ex≥x+ 1 進(jìn)行放縮求解)因?yàn)閒(x)≥ 1,所以aex-1≥ lnx?lna+ 1(a >0).因?yàn)閑x≥x+ 1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立),所以aex-1≥ax(當(dāng)且僅當(dāng)x=1 時(shí)等號(hào)成立).又因?yàn)椴坏仁絣nx≤x?1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1 時(shí)等號(hào)成立),所以lnx?lna+ 1=lnax?2 lna+ 1 ≤ax?2 lna(當(dāng)且僅當(dāng)ax=1 時(shí)等號(hào)成立).因?yàn)閍ex-1≥lnx?lna+1,所以ax≥ax?2 lna,解得a≥1,(經(jīng)檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件都是x=1 條件下取得,所以不等式等號(hào)成立,符合題意).故a≥1.

解法3(利用互為反函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)進(jìn)行求解)因?yàn)閥=aex-1與y=lnx?lna+1 互為反函數(shù),根據(jù)y=aex-1與y=lnx?lna+1 的凹凸性,它們有共同的切點(diǎn),且切點(diǎn)(x0,y0)在直線(xiàn)y=x上,故根據(jù)公切線(xiàn)可得

解得x0=1,a=1,.故a≥1.

總之,指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的混合函數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題難度比較大,而且靈活性較強(qiáng),筆者通過(guò)例題來(lái)探究和思考,總結(jié)出以上六種解題策略,當(dāng)然,它們不能不是萬(wàn)能的,而且每種策略都有其局限性.在處理這種題型時(shí),需要我們對(duì)題目結(jié)構(gòu)上的細(xì)致觀察和深入計(jì)算了解,再選擇有效的解題思路和解題策略.