通過路徑優(yōu)化提高介質(zhì)擊穿算法效率研究

梁國茂 張?zhí)斐? 賀惜晨

【摘要】? ? 在軍事領域，人們通過對HPM（高功率微波）大氣擊穿研究，希望改進現(xiàn)有雷達系統(tǒng)。本論文以大氣中閃電現(xiàn)象依托，來討論介質(zhì)擊穿算法的效率，首先簡述介質(zhì)擊穿分析模型，分析有限差分法，通過優(yōu)化有限差分法以提高介質(zhì)擊穿算法的效率。建立介質(zhì)概率擊穿模型，討論在介質(zhì)中電樹枝如何隨機形成的，通過實驗求解介質(zhì)擊穿路勁，使用matlab工具編寫靜電場邊值問題的有限差分法算法通過文獻資料與實驗，本文最終完成對有限差分法的優(yōu)化，達到提高介質(zhì)擊穿算法的效率的目的。

【關鍵詞】? ? 有限差分法（FDM）? ? 介質(zhì)擊穿路徑? ? MATLAB? ? 邊值處理

世界上主要國家都以發(fā)展HPM武器而研究HPM脈沖壓縮技術，如俄羅斯TOMSK核物理研究所，美國空軍研究實驗室。與HPM脈沖壓縮技術相關的HPM大氣擊穿技術可以用于提升現(xiàn)有雷達技術。依據(jù)這一強有力的背景，本文選取電磁場分布的熱門話題，提升介質(zhì)擊穿算法效率，在電磁學中常使用有限差分法在處理電磁場分布方法，使用MATLAB工具進行介質(zhì)擊穿算法實現(xiàn)，在實驗中優(yōu)化路徑預測算法，根據(jù)實驗與理論確定最終優(yōu)化方法。

一、研究方法與研究模型

1.1有限差分法簡介

有限差分法（FDM，全稱finite difference method）本質(zhì)思想是離散化場（域），在格點中運用差分原理，將微風方程通過具體運算來處理，是一種經(jīng)典的應用。另外在時間工程中，通常不需要解析解，只要數(shù)字解即可解決工程問題，以此近似替代是有效的，并且被經(jīng)常使用。

在格點模型中使用足夠小的方格，將方格組成網(wǎng)絡標示場（域），使用φ0、φ1、φ2、φ3、φ4代表五個點的電勢。當ρ=0時，便可以得到拉普拉斯方程的五點差分公式（1）。

公式（1）是在格點相同，即每個網(wǎng)格的邊長是相同的，忽略距離參數(shù)的公式，如果是非均勻格點劃分，則只需加入距離因子即可。因為在本論文的實驗中，方格邊長足夠小，可以忽略距離的影響，可以不用考慮其影響。下面介紹使用有限差分法近似求解固定邊界的問題進行求解。

在格點模型中，除邊界外的點都有一個五點方程，由這些方程組成方程組，這些差分方程組便可以標示整個場或域。由高斯-賽德爾迭代法可以推導出公式（2），公式中的（i，j）是坐標，n是迭代次數(shù)。該公式即是基本的有限差分迭代次數(shù)。

在matlab中可以使用公式（3）進行計算。

由于有限差分解是微分的近似解，經(jīng)過多次迭代后，場（域）中每個點的前后兩次計算值的誤差小于修正值時，可以終止計算，即獲得近似解。迭代終止條件，如公式（4）所示。公式中w是修正值，是最大允許的誤差，即迭代終止條件，本實驗采用1×10-5。

1.2介質(zhì)擊穿的概率模型

1.2.1四個點的閃電概率模型

BDM模型引入概率因子，從概率方面模擬介質(zhì)被擊穿的過程。

本論文討論二維平面的情況，假設其中三邊電勢為零，則另一邊電勢為縱向格點數(shù)量。擊穿的格點就是介質(zhì)擊穿路徑。

公式中P是該點被擊穿的概率，φ是該點電勢。因為場內(nèi)的每個點都存在被擊穿的可能，所以隨機產(chǎn)生一個0到1的數(shù)，使用該數(shù)值所在概率區(qū)間，決定距離最近的四個點中哪個點被擊穿。

1.2.2八個點的改進模型

另外四個點的距離相同，但是其距離是最近的四個點的距離的倍。增加計算的有效信息量，可以使用周圍相鄰的八個點。實際運算中只要引入距離參數(shù)即可將公式（4）改寫為公式（6），假設格點距離是單位距離，則公式（6）中的d是距離。

1.3有限電場模型

在實驗開始前，以自然界閃電為有限電場原型，以閃電路徑，作為介質(zhì)擊穿路徑。假設一理想矩形空間，四周金屬板電勢固定，中間是普通空氣填充。該場一面電壓是100伏，其余三面電勢是0，使用個格點描述該場。

為了簡化求解過程，將連續(xù)過程離散化求解，使用有線差分進行有效逼近，最終轉化為求解差分形式的線性方程組?？砂言匠毯陀卸ń獾臈l件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和有定解的條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到電勢在整個區(qū)域上的近似解。

二、結果分析

常規(guī)的計算方法是通過構建135*135矩陣，在固定位置插值后進行矩陣運算，然后通過抽值來直接求解矩陣。該方法編程比較繁瑣，其空間復雜度與時間復雜度都很大，這將導致其計算效率比較低。當邊界條件復雜時該方法的編程將十分麻煩，由于計算本身是近似方法，精確求解沒有實際意義，實際上只需要滿足精度的近似解即可，因此引入迭代法簡化編程，以提高工作效率。

通過與直接計算方法相比同時處理17*11格點模型，迭代法比在常規(guī)直接計算的方法浮點系數(shù)矩陣空間大幅減少。在四格點模型中，每一點的電勢，由最近的四個點決定，因此簡單迭代方法求解時需要先對場域內(nèi)的格點賦予迭代初值。帶入公式（1）中，進行反復迭代。若第N次迭代以后，所有的內(nèi)節(jié)點的相鄰兩次迭代運算值之間的最大誤差不超過允許范圍，即可接受誤差，可終止迭代，將此次計算的結果作為有限電場內(nèi)并將第N次迭代結果作為內(nèi)節(jié)點上電位的最終數(shù)值解。

在上述迭代算法中的掃描方式是逐行掃描的，即在求取的值時，它的前一點與上一點已經(jīng)從新計算過，在計算時有新值可共使用新值，因此可以將公式（3）進行優(yōu)化，改寫為公式（7）。

在使用公式（7）進行迭代運算時，只迭代了223次，比公式（3）的迭代次數(shù)減少了將近一般。因此該優(yōu)化方向是正確的，優(yōu)化算發(fā)是生效的。

為了取得更大的優(yōu)化效果，可以使用超松馳迭代公式，即公式（8）。

其中a是加速收斂因子，顧名思義，a的取值可以影響迭代的收斂速度。由于以上實驗都是基于逐行掃描的，很自然的想到通過隔行掃描與對稱掃描，以盡可能的使用新值來降低算法的復雜度。

下面本論文使用該方法討論并解決實際模型--自然界的閃電現(xiàn)象。假設地面與云端在同一平面，并且地面電勢為100，云端電勢0，閃電起于云端，終于地面，閃電路徑即是介質(zhì)擊穿路徑，擊穿發(fā)生后所有電勢歸零。

下面對等于3時，計算在四點模型與八點模型的運算量，實驗結果如表1。

對比上述表格可以看出，在相同的格點情況下，八點模型迭代次數(shù)比四點模型的迭代次數(shù)要少，因此運算時間復雜度得到優(yōu)化。

在使用m程序繪制100*100的擊穿路徑圖形時，隨著的增大，介質(zhì)擊穿路徑的“分叉”情況越來越少，從文獻中可知取2到3時，模擬的路徑與真實介質(zhì)發(fā)生擊穿路徑相似。在時間運算中得出，等于3時花費時間較短，因此本論文值取3。

三、結束語

本文從空間復雜度與時間復雜度兩個方面優(yōu)化介質(zhì)擊穿路徑算法，達到提高介質(zhì)擊穿效率。使用迭代方式將空間復雜度從O（x4）降低到O（x2）。在時間復雜度上，通過盡可能使用新近計算的值來降低迭代次數(shù);通過改進格點模型，增加新計算的值在變量計算總的比例達到降低運算量的目的，根據(jù)理論與實驗數(shù)據(jù)，證明本論文方法降低了算法的時間復雜度。因此本論文完成了預期目標，即通過優(yōu)化介質(zhì)擊穿路徑算法提高介質(zhì)擊穿效率的目標。

通過降低算法空間復雜度與時間復雜度來提高介質(zhì)擊穿算法的效率。通過分步驟的方式來改進算法，首先對了解與分析問題，建立數(shù)學模型;然后編寫程序求解已知邊界的有限電場分布，并以閃電擊穿大氣為背景進行仿真。使用迭代方法替代直接求解來降低空間復制度;而后對迭代算法進行優(yōu)化，通過使用新值來降低迭代次數(shù)，提升介質(zhì)擊穿算法的效率。最后，討論概率因子對路徑算法的影響，根據(jù)文獻資料與實驗數(shù)據(jù)，本論文的概率因子取3，來跟接近自然界閃電擊穿大氣的現(xiàn)象。

參? 考? 文? 獻

[1]陳方平，祁錚.基于分形思想的閃電模擬與仿真[J].計算機應用， 2013，33（S2）：218-219.

[2]吳明亮.中層大氣閃電現(xiàn)象的模擬研究[D].北京：中國科學院研究生院，2006：9-23.