考慮地球曲率的三維目標(biāo)APBR 跟蹤算法*

袁繼成，郭云飛，錢文杲

（杭州電子科技大學(xué)信息與控制研究所，杭州 310018）

0 引言

隨著軍事技術(shù)的不斷發(fā)展，反輻射導(dǎo)彈和隱身飛機(jī)等武器正日益威脅傳統(tǒng)有源雷達(dá)的探測性能。為了適應(yīng)現(xiàn)代軍事戰(zhàn)爭的需求，無源雷達(dá)應(yīng)運而生。機(jī)載被動雙基站雷達(dá)（Airborne Passive Bistatic Radar，APBR）系統(tǒng)作為無源雷達(dá)的一種新型存在模式，受到了廣泛應(yīng)用［1］。由于APBR 系統(tǒng)不易受到電子干擾，有良好的隱身效果［4-6］，應(yīng)用前景十分廣泛。為了使APBR 系統(tǒng)在實際應(yīng)用中達(dá)到令人滿意的性能，還需要解決目標(biāo)三維狀態(tài)估計問題。

由于目標(biāo)具有一定的高度，但大多數(shù)的APBR系統(tǒng)無法得到源于目標(biāo)的俯仰角信息，大多數(shù)算法都是忽略目標(biāo)高度進(jìn)行濾波跟蹤，從而使得算法的目標(biāo)跟蹤精度下降［7］。因此，如何在APBR 系統(tǒng)中估計出目標(biāo)的高度成為一個亟待解決的問題。文獻(xiàn)［8］提出了一種高度參數(shù)化方法來估計目標(biāo)高度，但是并沒有考慮目標(biāo)的初始化問題。Mallick 首次將高度參數(shù)化的思想應(yīng)用于高度變化的爬升運動中，并比較了不同的濾波器對于目標(biāo)高度估計的效果［9］。不過上述結(jié)論都是基于一些限制性的假設(shè)，即假設(shè)地球是平的，然而這種情況在目標(biāo)與雷達(dá)相距較遠(yuǎn)時是不合理的，尤其是在使用APBR 這種遠(yuǎn)距離探測系統(tǒng)的情況下，必須要考慮地球曲率的因素，忽略地球曲率所造成的誤差如圖1 所示。

圖1 忽略地球曲率造成的高度估計誤差

圖中R 為地球半徑，雷達(dá)放置于地面，h'為忽略曲率測出的目標(biāo)高度，h 為考慮曲率時目標(biāo)的真實高度，Δh 為忽略曲率時的高度誤差。

文獻(xiàn)［10］用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法闡明了地球曲率對于雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)［11］在地心地固坐標(biāo)系下（Earth-Center Earth-Fixed，ECEF）將無偏轉(zhuǎn)換和無跡變換引入到交互多模型機(jī)動目標(biāo)跟蹤算法中，提出了ECEF 下基于無偏UT-IMM 機(jī)動目標(biāo)跟蹤算法。算法有效降低了遠(yuǎn)距離情況下坐標(biāo)的非線性變換旋轉(zhuǎn)所帶來的誤差及地球曲率的影響。文獻(xiàn)［12］首次考慮了地球曲率對目標(biāo)高度估計產(chǎn)生的影響，對傳統(tǒng)的三維目標(biāo)運動場景作了進(jìn)一步完善，并提出新的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式。不過在后續(xù)過程中，目標(biāo)的過程噪聲并沒有被考慮進(jìn)去。

本文針對文獻(xiàn)［12］在后續(xù)過程中沒有考慮目標(biāo)的過程噪聲的問題，結(jié)合了APBR 背景，利用ECEF 坐標(biāo)系不受地球曲率影響的特性，提出了一種ECEF-ML-PDA（Earth-Center Earth-Fixed-Maximum Likelihood-Probabilistic Data Association）方法。該方法首先通過坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化建立目標(biāo)在ECEF 坐標(biāo)系下的大圓運動方程，在整個跟蹤過程中目標(biāo)近似作大圓周運動，高度不變。然后根據(jù)接收站提供的量測建立極大似然函數(shù)，并使用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解，得出目標(biāo)的初始參數(shù)。之后使用概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)結(jié)合擴(kuò)展卡爾曼濾波得到目標(biāo)的狀態(tài)估計，該方法一方面考慮了目標(biāo)航跡的起始，在后續(xù)過程中考慮了過程噪聲的影響；另一方面通過在ECEF 坐標(biāo)系中進(jìn)行跟蹤，避免了地球曲率對于目標(biāo)跟蹤精度的影響，從而解決了APBR 背景中考慮地球曲率的目標(biāo)航跡起始和三維跟蹤問題。

1 問題描述

1.1 運動模型

考慮一個三維空間的APBR 系統(tǒng)，由一個合作移動的機(jī)載外輻射源和一個接收站組成。假設(shè)三者都是作大圓周運動［12］，定義一個原點在地球中心，X 軸指向目標(biāo)的速度方向，Z 軸指向地面，Y 軸遵循右手系定則的大圓坐標(biāo)系。那么目標(biāo)在大圓坐標(biāo)系內(nèi)的運動方程為：

式中，i 為雷達(dá)掃描幀數(shù)。rc0和θc具體為：

式中，（xc0，yc0）為目標(biāo)在大圓內(nèi)的初始位置，Rc為目標(biāo)大圓周運動的半徑，vc為目標(biāo)圓周運動的速度。ECEF 直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點位于地心，XOY平面位于赤道面，X 軸指向格林尼治子午圈，Z 軸指向北極點。根據(jù)大圓坐標(biāo)系到ECEF 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化公式：

那么目標(biāo)在ECEF 坐標(biāo)系中的運動方程：

由于地球本是橢球體，上述的假設(shè)肯定會帶來誤差，在跟蹤過程中使用過程噪聲來覆蓋這種誤差。為了減少過程噪聲帶來的影響，后續(xù)的航跡維持階段使用了PDA 結(jié)合EKF 來進(jìn)行濾波。為此，需要得到目標(biāo)狀態(tài)的遞推式。依據(jù)式（5）建立k 時刻與k-1 時刻的遞推關(guān)系式，從而遞推函數(shù)為：

1.2 測量模型

假設(shè)APBR 系統(tǒng)在第k 幀共收到Mk個測量，其測量集合Zk記為：

2 ECEF 坐標(biāo)系下目標(biāo)的高度估計

極大似然法（Maximum Likelihood，ML）實現(xiàn)目標(biāo)航跡初始化的基本思想是：首先通過對獲取的測量信息進(jìn)行多幀積累，構(gòu)建對數(shù)似然函數(shù)，然后利用優(yōu)化算法求解對數(shù)似然的最優(yōu)解，所得的解就是目標(biāo)的初始狀態(tài)。此外，由于使用ML 方法，需要的是確定性的系統(tǒng)，所以在初始化的這一段過程中，忽略過程噪聲的影響，之后的濾波過程仍然考慮過程噪聲。

圖2 ECEF-ML-PDA 算法流程圖

使用ML 方法實現(xiàn)目標(biāo)的航跡起始，通常作如下假設(shè)：1）不同幀之間的測量相互獨立；2）每幀的測量中僅包含一個源于目標(biāo)的測量，其余的測量均是雜波；3）雜波在測量空間內(nèi)均勻分布，其個數(shù)服從泊松分布。

根據(jù)如上假設(shè)，定義每一時刻的對數(shù)似然比［14］：

表1 初始狀態(tài)的設(shè)置

將泊松分布的規(guī)則代入建立目標(biāo)每一時刻的似然函數(shù)有：

從而目標(biāo)狀態(tài)估計問題就轉(zhuǎn)化為求解如下的優(yōu)化問題：

求解極值解的方法有很多，較傳統(tǒng)的有梯度下降法、擬牛頓法等。目前較成熟的智能算法有模擬退火法、遺傳算法、蟻群算法［13］等，本文將使用遺傳算法來求解極值。

3 仿真結(jié)果與分析

在本文的仿真中，假設(shè)目標(biāo)近似作大圓周運動，測試ECEF-ML-PDA 方法在雜波環(huán)境中跟蹤目標(biāo)的可靠性。為了證明所提方法的有效性，選擇目標(biāo)位置的RMSE，目標(biāo)高度的RMSE 為性能指標(biāo)，將所提方法與ENU-ML-PDA 算法進(jìn)行對比。相較于ECEF 坐標(biāo)系，ENU 坐標(biāo)系是一種局部坐標(biāo)系，在這個坐標(biāo)系中進(jìn)行跟蹤濾波會受到地球曲率的影響，從而會影響到目標(biāo)跟蹤的精度。

3.1 仿真場景

3.2 仿真結(jié)果與分析

圖3 分別給出了距離差、方位角的原始測量值。從圖中可以看出源于目標(biāo)的真實測量值淹沒在雜波中。

圖3 角度和距離差的原始測量值

從圖4 中可以看出目標(biāo)出現(xiàn)時，經(jīng)門限檢測后［14］，目標(biāo)狀態(tài)解是唯一的，并且大致分布在目標(biāo)真實值附近。證明所建立的似然函數(shù)是可以正確求出極值解的。

圖4 目標(biāo)出現(xiàn)時極大似然函數(shù)解的分布

使用遺傳算法來進(jìn)行求解，為保證求解結(jié)果真實可信，采用50 次蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）求平均值的方法，并分析了不同的雜波密度和檢測概率對計算結(jié)果的影響，具體結(jié)果見下頁表2。其中，Xtrue為目標(biāo)的真實狀態(tài)，Xini為目標(biāo)初始狀態(tài)搜索范圍，為50 次MC 初始狀態(tài)估計的平均值?？梢钥闯?，隨著檢測概率的下降和雜波密度的上升，遺傳算法求解的精度隨之下降。原因是兩個參數(shù)值的變化影響了量測數(shù)據(jù)的質(zhì)量，而極大似然函數(shù)是根據(jù)量測數(shù)據(jù)的積累所建立，因此，會導(dǎo)致計算精度下降。

表2 50 次MC 仿真，不同Pd的求解情況

表2 50 次MC 仿真，不同Pd的求解情況

（/m·rad）參數(shù)值 0.9 0.8 0.7 1×10-4 5×10-4 10×10-4參數(shù) Pd images/BZ_52_1732_429_1757_460.pngXture Xini X^100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 12 km 12 km 12 km 12 km 12 km 12 km 200 m/s 200 m/s 200 m/s 200 m/s 200 m/s 200 m/s 0 rad 0 rad 0 rad 0 rad 0 rad 0 rad 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 10 km～15 km 10 km～15 km 10 km～15 km 10 km～15 km 10 km～15 km 10 km～15 km 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s-0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad 100.041 km 99.829 km 99.191 km 100.141 km 99.685 km 99.518 km 99.883 km 100.125 km 100.739 km 99.893 km 100.251 km 100.343 km 12.156 km 11.857 km 11.562 km 12.126 km 11.811 km 12.244 km 200.652 m/s 201.561 m/s 198.267 m/s 200.34 m/s 201.38 m/s 202.35 m/s-0.014 rad -0.015 rad -0.023 rad -0.009 rad -0.019 rad -0.024 rad

圖5 給出所提算法的跟蹤效果圖，從俯視圖可以看出算法在初始的一段時間內(nèi)跟蹤誤差較大，后續(xù)過程中誤差逐漸減小，說明所提算法能有效對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，圖5 中的三角為目標(biāo)的起始位置。

圖5 ECEF-ML-PDA 跟蹤圖

圖6 給出了所提算法與ENU-ML-PDA 的對比，從圖中可以看出考慮曲率的跟蹤精度更高。

圖6 ECEF 和ENU 坐標(biāo)系目標(biāo)高度和位置RMSE 對比圖

圖7 給出了不同高度初始值情況下的目標(biāo)高度RMSE 圖，從圖中可以看出，隨著高度初始值的準(zhǔn)確性降低，目標(biāo)的跟蹤精度也隨之下降，當(dāng)目標(biāo)的高度初始值與真實高度相差近4 000 m 時，從圖中可以看出，RMSE 曲線并沒有出現(xiàn)收斂的情況，至于后續(xù)RMSE 出現(xiàn)下降的原因可能是濾波過程所引起的。

圖7 不同高度初始值的情況下目標(biāo)高度的RMSE 圖

表3 不同檢測概率和不同雜波密度下的平均位置RMSE 和平均高度RMSE 統(tǒng)計

4 結(jié)論

本文針對雙基站APBR 系統(tǒng)下考慮地球曲率三維目標(biāo)的航跡起始和跟蹤問題，提出了E CEF-ML-PDA 算法。經(jīng)仿真分析，與不考慮地球曲率的算法相比，所提算法能有效地減小跟蹤誤差，提高跟蹤性能。今后的工作將重點研究該算法在被動多基站雷達(dá)系統(tǒng)方面的應(yīng)用。