非線性聚集粒子群算法求解音圈電機(jī)PID優(yōu)化問(wèn)題

宋阿妮，包賢哲

（湖北工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430068）

0 引言

音圈電機(jī)[1?6]系統(tǒng)以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、高速、高加速、響應(yīng)快、便于控制、行程大等諸多優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于電機(jī)位置控制以及精密加工機(jī)床各個(gè)領(lǐng)域中[7?9]。音圈電機(jī)是由磁體和線圈兩部分組成的單相兩極裝置，音圈電機(jī)推力系數(shù)恒定，推力波動(dòng)小，所以提高系統(tǒng)精度主要還是集中在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)上?，F(xiàn)階段PID 控制是其最常見(jiàn)的控制方式，但使用PID 控制時(shí)存在參數(shù)不精確、難以快速整定等問(wèn)題，精確求解特定情景下音圈電機(jī)的PID 參數(shù)能夠顯著提升音圈電機(jī)的性能和穩(wěn)定性，具有重要的研究意義。

隨著技術(shù)成熟，出現(xiàn)了眾多新型音圈電機(jī)控制方法，如文獻(xiàn)[10]采用基于PWM 波的控制方式提高電機(jī)精度，但很容易受到干擾，穩(wěn)定性較差。文獻(xiàn)[11]則采用驅(qū)動(dòng)芯片數(shù)字驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)，該方法涉及的硬件成本高、系統(tǒng)復(fù)雜，不適用于小型音圈電機(jī)系統(tǒng)。文獻(xiàn)[12]結(jié)合模糊控制與PID 控制的方式提高音圈電機(jī)性能，實(shí)驗(yàn)表明了其有效性，但模糊控制參數(shù)設(shè)定復(fù)雜且其響應(yīng)速度仍有提升空間?，F(xiàn)階段音圈控制系統(tǒng)的方法繁多，但通過(guò)對(duì)比可以看出，PID 控制法仍然具有成本低、效果好、操作簡(jiǎn)單等明顯優(yōu)勢(shì)。對(duì)PID 控制加以改進(jìn)可以有效提升音圈電機(jī)的穩(wěn)定性和精確度，是最適合音圈電機(jī)控制的方法之一。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)該方法做過(guò)許多研究，如文獻(xiàn)[13]通過(guò)嵌入混沌映射提出一種CBBO 算法，能夠有效減少PID 控制器的誤差；文獻(xiàn)[14]提出一種基于天牛群優(yōu)化算法的PID 最優(yōu)控制策略，運(yùn)用于實(shí)際算例中，算法有效避免了系統(tǒng)震蕩；文獻(xiàn)[15]提出一種改進(jìn)的自適應(yīng)螢火蟲(chóng)算法來(lái)求解PID 三個(gè)參數(shù)并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證；文獻(xiàn)[16]針對(duì)自動(dòng)駕駛問(wèn)題設(shè)計(jì)了一種PSO?RBFNN?PID 控制器并進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果表明其相對(duì)單一算法擁有更好的控制精度和穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[17]結(jié)合遺傳算法和模糊規(guī)則提出一種新的優(yōu)化方式；文獻(xiàn)[18]采用遺傳算法優(yōu)化板球系統(tǒng)中的PID 參數(shù)；文獻(xiàn)[19]采用在線識(shí)別實(shí)時(shí)收集數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)PID 控制；文獻(xiàn)[20]在專家經(jīng)驗(yàn)?zāi)：刂埔?guī)則的基礎(chǔ)上用智能化算法進(jìn)行規(guī)則優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)模糊PID 控制；文獻(xiàn)[21]首次提出了模糊RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制與PID 控制相結(jié)合的可調(diào)參數(shù)PID 控制算法；文獻(xiàn)[22]將施加Levy 飛行特征的灰狼算法[23]對(duì)PFC?PID 進(jìn)行參數(shù)整定，其應(yīng)用效果較好；文獻(xiàn)[24]采用非線性PID控制器控制氣動(dòng)執(zhí)行器的定位和跟蹤；文獻(xiàn)[25]提出一種自調(diào)節(jié)非線性PID 控制策略來(lái)提高氣動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制精度；文獻(xiàn)[26]運(yùn)用改進(jìn)蟻群算法克服高速長(zhǎng)網(wǎng)紙機(jī)PID 參數(shù)難以整定的問(wèn)題；文獻(xiàn)[27]通過(guò)改進(jìn)蟻群解決了中央空調(diào)冷凍水系統(tǒng)控制魯棒性變差的問(wèn)題；文獻(xiàn)[28]提出了一種基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器（ESO）的自適應(yīng)超加捻非線性分?jǐn)?shù)階PID 滑模控制策略，實(shí)驗(yàn)表明其擁有較強(qiáng)的魯棒性；文獻(xiàn)[29]結(jié)合自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階PID 控制來(lái)提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，仿真實(shí)驗(yàn)證明該方法具有較低的上升率和較好的執(zhí)行性能。

雖然現(xiàn)有的音圈電機(jī)改進(jìn)的PID整定方法都有一定的效果，但仍然存在參數(shù)設(shè)置復(fù)雜、收斂速度慢、精度不高等問(wèn)題，對(duì)此提出一種非線性聚集粒子群優(yōu)化（Nonlinear Aggregate Particle Swarm Optimization，NAPSO）算法，該算法通過(guò)非線性策略改進(jìn)慣性權(quán)重，提高算法收斂精度，并采用聚集策略將粒子群分階段采用不同的進(jìn)化公式進(jìn)化，以平衡算法的全局和局部搜索能力，擴(kuò)大前期搜索范圍，加快后期的收斂速度，最后將算法運(yùn)用于音圈電機(jī)PID 整定中，證明了該算法在音圈電機(jī)PID 控制中的有效性，對(duì)音圈電機(jī)PID 參數(shù)整定問(wèn)題有良好的適應(yīng)性，能夠高效控制音圈電機(jī)，減小其系統(tǒng)誤差。

1 問(wèn)題分析與模型建立

音圈電機(jī)的工作原理為在線圈上施加電壓產(chǎn)生電流，在磁場(chǎng)中產(chǎn)生安培力驅(qū)使電機(jī)運(yùn)動(dòng)。其良好的特性和較高的精度適用于各種高精度定位設(shè)備，根據(jù)音圈電機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)特性，從能量轉(zhuǎn)換和守恒角度分析音圈電機(jī)控制部分的數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)線圈中通以電流i，周圍磁場(chǎng)強(qiáng)度為B時(shí)，放在磁場(chǎng)中的N根導(dǎo)線受到的電磁力為：

電動(dòng)力F驅(qū)使音圈電機(jī)運(yùn)動(dòng)，切割磁場(chǎng)產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)：

式中v表示音圈電機(jī)切割磁感線的速度；Bδ，L都為不變常量。根據(jù)式（2）及音圈電機(jī)工作原理可以畫出音圈電機(jī)的等效電路圖如圖1 所示。

圖1 音圈電機(jī)等效電路圖

根據(jù)圖1 信息可知，回路等效電阻為Rc，等效電感為L(zhǎng)c，兩端電樞電壓為U，在考慮穩(wěn)態(tài)情況下的音圈電機(jī)可以得到穩(wěn)態(tài)回路方程為：

但在實(shí)際過(guò)程中，音圈電機(jī)是處于動(dòng)態(tài)狀況的，所以無(wú)法忽略電感電壓，動(dòng)態(tài)情況下回路方程為：

音圈電機(jī)既受到電磁力也受到靜摩擦力，電機(jī)運(yùn)動(dòng)必須要克服靜摩擦力，除此之外還要克服慣性力，根據(jù)牛頓第二定律慣性力為：

式中：m表示動(dòng)子的質(zhì)量；a表示動(dòng)子加速度；v則表示動(dòng)子的速度。

設(shè)動(dòng)子受到的動(dòng)摩擦力為Fm，則聯(lián)立式（5），動(dòng)子受到的作用力為：

式中kz為摩擦力系數(shù)，動(dòng)子速度可表示為：

音圈電機(jī)工作依靠安培力，安培力的大小正比于電流大小，根據(jù)電機(jī)動(dòng)力學(xué)方程聯(lián)立可得：

將得到的方程組（8）進(jìn)行拉普拉斯變換，并消去中間變量即可得到音圈電機(jī)電壓與位移之間的傳遞函數(shù)：

根據(jù)式（9）的音圈電機(jī)的傳遞公式可以畫出音圈電機(jī)系統(tǒng)模型圖如圖2 所示。

圖2 音圈電機(jī)系統(tǒng)模型

得到音圈電機(jī)的傳遞函數(shù)后即可開(kāi)始PID 參數(shù)的整定，PID 的一般表達(dá)式為：

式中：Kp為比例系數(shù)；Ki為積分系數(shù)；Kd為微分系數(shù)。需要通過(guò)調(diào)節(jié)三個(gè)系數(shù)的數(shù)值使音圈電機(jī)系統(tǒng)能快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

對(duì)于一個(gè)PID 控制系統(tǒng)，通常評(píng)判其控制性能的參數(shù)有上升時(shí)間、超調(diào)量、時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分、時(shí)間乘誤差平方積分以及絕對(duì)誤差積分等，為了能夠準(zhǔn)確反應(yīng)系統(tǒng)控制性能，采用多種指標(biāo)結(jié)合的檢驗(yàn)方式：

式中：Tup為上升時(shí)間；η為超調(diào)量。

2 改進(jìn)的粒子群算法

2.1 傳統(tǒng)粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法是由Eberhart 博士和Kennedy 博士發(fā)明的模仿鳥(niǎo)群捕食行為的一種智能搜索算法，其運(yùn)用十分廣泛[30?34]。每個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的解都是搜索空間中的一只鳥(niǎo)，稱之為“粒子”。所有的粒子都有一個(gè)由函數(shù)決定的適應(yīng)度值，同時(shí)還有決定他們飛行方向和距離的速度量。所有粒子在空間中不斷改變速度和方向直到搜尋到最優(yōu)解，速度進(jìn)化公式為：

式中：Vnp表示第n個(gè)粒子的第p維；ω為慣性權(quán)重，可以調(diào)節(jié)算法的全局和局部搜索能力；C1,C2為常數(shù)，一般取[0,4]之間；Knp表示第n個(gè)粒子歷史最優(yōu)個(gè)體的第p維；Kgp則表示全局最優(yōu)個(gè)體的第p維。粒子根據(jù)此公式每迭代一次更新一次前進(jìn)速度：

粒子按照式（13）進(jìn)行位置更新最終收斂于最優(yōu)解附近。

2.2 非線性聚集粒子群算法

2.2.1 非線性策略

粒子群算法搜索是一個(gè)非常復(fù)雜的非線性過(guò)程，所以如果采用線性變化的慣性權(quán)重改動(dòng)進(jìn)化公式，其搜索性能與算法自身特性契合度不高，為了能夠最大程度擬合算法搜索過(guò)程，采用非線性改進(jìn)策略：

式中：ωinitial=0.942；ωfinal=0.27。非線性變化的慣性權(quán)重可以根據(jù)算法收斂情況改變進(jìn)化速度的快慢，能夠顯著增加算法的收斂速度和收斂精度，增大在前期的搜索范圍避免陷入最優(yōu)解。

2.2.2 聚集策略

為了優(yōu)化粒子群算法的全局和局部搜索能力，引入聚集距離，該距離能夠很好地判斷粒子群當(dāng)前局部和全局搜索能力的優(yōu)劣并做出改動(dòng)。

式中：Lavg表示平均聚集距離；N為最大粒子數(shù)量；空間搜索緯度維為p。

式中Lmax表示最大聚集距離，由此可以得到聚集距離變化率為：

算法進(jìn)化公式的慣性權(quán)重根據(jù)此聚集距離變化率分段如下：

式中ω(t)由式（14）計(jì)算可得。當(dāng)γ較大時(shí)即表示其最大聚集距離和平均聚集距離差距較大，表明算法的全局搜索能力較差，因此加強(qiáng)其全局搜索能力；相反，當(dāng)γ較小時(shí)應(yīng)加強(qiáng)其局部搜索能力。通過(guò)此改動(dòng)可以很好地平衡算法的全局和局部搜索能力，加快算法的搜索速度、增大粒子的收斂概率。算法的整體流程圖如圖3所示。

圖3 非線性聚集粒子群算法流程圖

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

假設(shè)有一個(gè)音圈電機(jī)，其技術(shù)參數(shù)如下：電機(jī)質(zhì)量m=0.38 kg,km=kc=11.7 N/A，慣性系數(shù)kd=4 979 N/m，摩擦系數(shù)kz=14.52(N?m)/s，電 感L=1.30 mH，電阻Rc=2.22 Ω，由于電感數(shù)值太小對(duì)系統(tǒng)的整體沒(méi)有太大影響，可以將其忽略，由此可以得到音圈電機(jī)的具體傳遞函數(shù)為：

將式（19）的傳遞函數(shù)代入進(jìn)行PID 參數(shù)整定，使用螢火蟲(chóng)算法、遺傳算法、傳統(tǒng)粒子群算法以及非線性聚集粒子群算法求解，設(shè)置粒子個(gè)數(shù)N=100，最大迭代次數(shù)tmax=100，粒子的維數(shù)M=3，初始化粒子群速度和位置，迭代得到的最終結(jié)果如圖4 所示。

根據(jù)圖4 可以看出，改進(jìn)后的粒子群算法性能相較于其他三種算法更優(yōu)，改進(jìn)后的算法在相同精度下收斂速度更快，在相同迭代次數(shù)下精度更高。四種算法整定的PID 參數(shù)如表1 所示。

圖4 四種算法對(duì)比迭代結(jié)果

從表1 中可以看到，NAPSO 最優(yōu)解的精度相對(duì)于其他三種算法分別提高了64.35%，82.24%，28.59%。根據(jù)四種算法得到的PID 參數(shù)可以得到最終的音圈電機(jī)控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖5 所示。從圖5 中可以看到，由NAPSO 整定出來(lái)的PID 參數(shù)控制的系統(tǒng)響應(yīng)速度更快，能夠在較短的上升時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，顯著提高了音圈電機(jī)的運(yùn)行效率和響應(yīng)速度。

表1 四種算法PID 參數(shù)結(jié)果對(duì)比

圖5 系統(tǒng)階躍響應(yīng)輸出曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)音圈電機(jī)的PID 參數(shù)整定不精確、速度慢等問(wèn)題，提出了一種非線性聚集粒子群算法，該算法通過(guò)非線性策略改進(jìn)慣性權(quán)重，讓粒子搜索速度的變化更加契合算法的搜索過(guò)程，提高算法的收斂精度，又通過(guò)聚集策略將粒子分段采用不同的進(jìn)化公式迭代搜索，平衡算法的全局和局部搜索能力，擴(kuò)大其前期搜索范圍，加快算法收斂速度。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法能夠顯著提升音圈電機(jī)的運(yùn)行效率和穩(wěn)定性，對(duì)于音圈電機(jī)系統(tǒng)有著良好的適應(yīng)性。