球形復(fù)合柱表面波聲子晶體的帶隙特性仿真*

譚自豪 孫小偉? 宋婷 溫曉東 劉禧萱 劉子江2)

1) (蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

2) (蘭州城市學(xué)院物理系, 蘭州 730070)

設(shè)計(jì)了一種由鎳球與環(huán)氧樹(shù)脂墊層組成的復(fù)合柱沉積在鈮酸鋰基體上構(gòu)成的表面波聲子晶體結(jié)構(gòu), 采用有限元法計(jì)算了其能帶結(jié)構(gòu)和位移矢量場(chǎng). 結(jié)果表明: 與具有相同晶格常數(shù)的倒圓錐形表面波聲子晶體結(jié)構(gòu)相比, 研究結(jié)構(gòu)可以在更低的頻率范圍打開(kāi)更寬的聲表面波完全帶隙, 且隨著復(fù)合柱半徑增大, 鎳球體與壓電基體的硬邊界之間形成限制腔模, 相鄰高階帶隙間存在能量的耦合以及振動(dòng)模式的繼承; 此外, 溫度場(chǎng)的引入可以實(shí)現(xiàn)帶隙的主動(dòng)調(diào)控, 帶隙頻率范圍隨著溫度升高向低頻移動(dòng); 通過(guò)增加復(fù)合柱體的層數(shù), 多振子結(jié)構(gòu)與行波發(fā)生多極共振耦合, 可在高階能帶間打開(kāi)完全帶隙. 本文的研究結(jié)果為微米級(jí)表面波聲子晶體結(jié)構(gòu)在100 MHz以下頻率范圍的帶隙特性優(yōu)化提供了理論支持.

1 引 言

基于Yu等[1]在2011年提出的界面相位不連續(xù)理論, Ni等[2]于2012年首次提出了一種厚度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)的電磁超表面材料, 在這種人工微結(jié)構(gòu)中, 可通過(guò)改變結(jié)構(gòu)的幾何尺寸調(diào)整相位分布, 從而實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁波傳播的調(diào)控[3]. 在電磁超表面的啟發(fā)下, 聲學(xué)超表面的提出在理論上實(shí)現(xiàn)了對(duì)聲波傳播路徑的任意調(diào)控[4-6].

近年來(lái), 基于二維超表面結(jié)構(gòu)、三維周期超結(jié)構(gòu)以及表面波聲子晶體結(jié)構(gòu)對(duì)聲波的異常調(diào)控特性[7], 利用亞波長(zhǎng)尺度的周期性超結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)低頻聲的寬能帶隔離、吸收以及調(diào)控成為研究者們廣泛關(guān)注的問(wèn)題[8-12]. Pennec等[13]和Wu等[14,15]分別提出了一類具有周期性柱狀物的板式超結(jié)構(gòu), 此類結(jié)構(gòu)的局部共振模式能與低頻蘭姆波發(fā)生耦合, 并顯示出波長(zhǎng)大于晶格常數(shù)的低頻蘭姆波帶隙; 基于此, Jin等[16]提出了一種新的空心柱結(jié)構(gòu), 以增強(qiáng)局部共振對(duì)行波的限制, 當(dāng)改變一排柱的內(nèi)半徑形成波導(dǎo)時(shí), 彈性波在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)部被有效地引導(dǎo),在此基礎(chǔ)上, 可通過(guò)在空心柱中填充不同液體以實(shí)現(xiàn)操縱波的傳播模式[17,18]; 此外, 曾偉等[19]通過(guò)在所設(shè)計(jì)模型的內(nèi)部引入點(diǎn)缺陷, 成功地將表面波的能量限制在缺陷處; Oudchi等[20]在多層復(fù)合柱結(jié)構(gòu)中引入缺陷時(shí), 可以產(chǎn)生具有良好聲約束能力的腔模, 將彈性波能量局限在一個(gè)單元內(nèi), 基于缺陷態(tài)的能量集中特性, 通過(guò)在缺陷處引入機(jī)電耦合材料, 實(shí)現(xiàn)了彈性波能量的收集[21]. 引入功能材料,如壓電材料和磁彈性材料, 可以更高效調(diào)控波的傳播[22,23]. 壓電材料被廣泛應(yīng)用于各種電聲設(shè)備中,因此基于壓電材料的各類聲學(xué)超結(jié)構(gòu)具有重要的研究?jī)r(jià)值. Benchabane等[24]設(shè)計(jì)了一種在128°YX鈮酸鋰基體表面帶有正方晶格排列的圓柱體小孔的表面波聲子晶體結(jié)構(gòu), 有限元法仿真結(jié)果表明,該結(jié)構(gòu)在203—226 MHz頻段打開(kāi)了完全聲表面波帶隙; 在此基礎(chǔ)上, Yudistira等[25]在鈮酸鋰壓電基體表面上設(shè)置了三角晶格排列的短柱體, 實(shí)驗(yàn)測(cè)得GHz頻段的非輻射完全聲表面波帶隙, 同時(shí)分析了帶隙的形成機(jī)理; Ash等[26]進(jìn)一步設(shè)計(jì)了一種鈮酸鋰基體表面蝕刻有限深度環(huán)形孔洞型表面波聲子晶體結(jié)構(gòu), 通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)能夠產(chǎn)生具有高衰減值的表面波帶隙; Hsu和Lin[27]在Yudistira等[25]工作的基礎(chǔ)上, 通過(guò)相同的仿真方法構(gòu)造了呈蜂窩陣列的倒圓錐柱體沉積在鈮酸鋰壓電基體上的表面波聲子晶體結(jié)構(gòu), 通過(guò)增加圓錐的質(zhì)量降低了表面波局域共振帶隙的頻率范圍; Coffy等[28]在一維超表面結(jié)構(gòu)中引入超薄環(huán)氧樹(shù)脂墊層, 獲得了相對(duì)帶寬達(dá)94%的蘭姆波帶隙. Cheng等[29]研究了鐵電陶瓷Ba0.7Sr0.3TiO3與環(huán)氧樹(shù)脂交替形成的一維聲子晶體板中蘭姆波的溫度調(diào)諧帶隙. 通過(guò)對(duì)蘭姆波帶隙結(jié)構(gòu)和透射譜的分析, 證明了蘭姆波帶隙的連續(xù)溫度可調(diào)性.蘭姆波禁帶寬度和位置隨溫度變化顯著, 這種強(qiáng)位移結(jié)構(gòu)可以用于溫度調(diào)諧的多頻蘭姆波濾波器.Liu等[30]研究了面內(nèi)體波的拓?fù)浔Ｗo(hù)邊緣態(tài)頻率在熱場(chǎng)條件下的主動(dòng)可調(diào)性, 結(jié)果表明, 隨著溫度的升高, 拓?fù)鋷兜闹行念l率下降, 帶寬增大. 同時(shí), 拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣狀態(tài)的頻率范圍也向低頻轉(zhuǎn)移. 在上述工作中, 100 MHz以下頻率范圍帶隙的優(yōu)化問(wèn)題仍未得到有效解決, 而考慮環(huán)境溫度對(duì)聲表面波帶隙特性的影響亦有更重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[31,32].

本文提出了一種基于球形復(fù)合柱體的二維壓電表面波聲子晶體結(jié)構(gòu), 采用有限元法計(jì)算了該結(jié)構(gòu)的帶隙特性, 并討論了復(fù)合柱體的半徑與層數(shù)以及溫度對(duì)帶隙的影響, 并結(jié)合振動(dòng)模態(tài)詳細(xì)分析了高階帶隙的形成機(jī)理.

2 模型與方法

圖1為新設(shè)計(jì)的表面波聲子晶體單胞結(jié)構(gòu)及其按正方晶格排列的第一布里淵區(qū)示意圖. 晶格常數(shù)a= 1 × 10—5m, 球形復(fù)合柱體的半徑r=0.4a, 墊層高度h= 0.2a, 基體材料厚度為晶格常數(shù)的20倍. 基體材料選用強(qiáng)壓電材料鈮酸鋰(YX-128°LiNbO3), 球形散射體選用金屬鎳, 彈性墊層材料選用環(huán)氧樹(shù)脂. 計(jì)算所需的材料參數(shù)[26]分別由表1和表2給出.

表2 所設(shè)計(jì)模型的基體與散射體材料參數(shù)Table 2. Material parameters of matrix and scatterer of the designed model.

圖1 球形復(fù)合柱表面波聲子晶體單胞結(jié)構(gòu)及第一布里淵區(qū)示意圖Fig. 1. Schematic diagram of the unit cell and the first Brillouin zone of the surface phononic crystal with spherical composite column.

表1 所設(shè)計(jì)模型的彈性墊層材料參數(shù)Table 1. Material parameters of elastic cushion of the designed model.

本文采用工程領(lǐng)域常用的有限元法對(duì)所設(shè)計(jì)的表面波聲子晶體結(jié)構(gòu)中聲表面波的傳播特性進(jìn)行仿真. 聲波在LiNbO3中的運(yùn)動(dòng)控制方程[33]表示為

其中u為應(yīng)力張量,φ為電勢(shì)張量,cijkl,eikl,εik和ρ分別為剛度張量、壓電張量、介電張量和密度,它們都依賴于位置矢量r. 基于表面波聲子晶體結(jié)構(gòu)的周期性, 在單胞的四個(gè)側(cè)面添加Bloch-Floquet周期性邊界條件, 結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)可表示為

其中kx,ky為Bloch波矢,i= (x,y), 能帶結(jié)構(gòu)可通過(guò)掃描簡(jiǎn)約布里淵區(qū)邊界的波矢k進(jìn)而求解特征值問(wèn)題獲得.

為驗(yàn)證所得能帶結(jié)構(gòu)的正確性, 計(jì)算表面波聲子晶體結(jié)構(gòu)的插入損失譜是必要的, 圖2為計(jì)算傳輸損失所用的半無(wú)限結(jié)構(gòu). 沿x軸設(shè)置10個(gè)有效單胞, 在結(jié)構(gòu)左端添加線位移激勵(lì)源以模擬能激勵(lì)出瑞利波模式的波動(dòng)源, 在10個(gè)單胞排列結(jié)構(gòu)的后端拾取表面位移量. 令T1表示沒(méi)有設(shè)置10個(gè)單胞結(jié)構(gòu)時(shí)透射端基體表面拾取的位移,T2表示設(shè)置有10個(gè)單胞結(jié)構(gòu)時(shí)透射端基體表面拾取的位移, 插入損失計(jì)算公式[34]定義為

圖2 用于計(jì)算所設(shè)計(jì)表面波聲子晶體結(jié)構(gòu)插入損失的半無(wú)限結(jié)構(gòu)Fig. 2. The semi-finite structure for calculating the insertion loss of designed surface phononic crystal.

為了計(jì)算的準(zhǔn)確性, 假設(shè)基體材料底部為低反射邊界, 并在沿x軸兩端設(shè)置完美匹配層以減少反射波對(duì)結(jié)果的影響, 沿y軸方向設(shè)置為周期性邊界條件.

3 結(jié)果與討論

3.1 能帶結(jié)構(gòu)與帶隙機(jī)理分析

圖3為所設(shè)計(jì)的球形復(fù)合柱表面波聲子晶體模型在柱半徑取不同值時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)圖. 圖中綠色實(shí)線表示速度最慢的體波模式, 稱為聲線, 聲線上方黃色區(qū)域表示區(qū)別于表面波的體波成分, 稱為聲錐, 聲線的下方灰色部分表示表面波帶隙. 由于表面波傳播速度要比體波慢, 可將聲線作為表面波模式和體波模式的邊界. 由圖3(a)可知, 所設(shè)計(jì)的模型同時(shí)存在多條聲表面波帶隙, 其第一完全帶隙出現(xiàn)在第二條能帶與第三條能帶間, 起始頻率為26.5 MHz, 截止頻率為39.5 MHz, 帶寬為13 MHz,第二完全帶隙與第四完全帶隙的寬度分別達(dá)到了12和114 MHz. 為了便于比較, 本文設(shè)計(jì)的球形復(fù)合柱結(jié)構(gòu)取與文獻(xiàn)[27]的倒圓錐型結(jié)構(gòu)相同的晶格常數(shù), 采用相同的基體材料和散射體材料. 如圖3(b)所示, 該倒圓錐結(jié)構(gòu)的表面波帶隙頻率范圍為108—129 MHz, 帶隙寬度為21 MHz. 球形復(fù)合柱結(jié)構(gòu)在100 MHz以上頻率范圍打開(kāi)的表面波帶隙寬度為114 MHz, 是倒圓錐結(jié)構(gòu)帶隙寬度的5.43倍, 并且在100 MHz以下頻率范圍打開(kāi)了兩條總帶寬為25 MHz的低頻表面波帶隙. 對(duì)比圖3(a)、圖3(c)和圖3(d)可知, 隨著柱體半徑的增大, 第一完全帶隙、第二完全帶隙和第三完全帶隙均向低頻范圍移動(dòng), 且?guī)捴饾u變窄. 第四帶隙的起始頻率大幅下降, 截止頻率未發(fā)生變化, 原因是截止頻率處對(duì)應(yīng)波的傳播為體波形式, 復(fù)合柱體的變化對(duì)基體中體波的傳播不產(chǎn)生影響.

為了分析模型的帶隙形成機(jī)理, 選取了圖3(a)中A—F點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài), 如圖4所示.A點(diǎn)的本征頻率對(duì)應(yīng)模態(tài)如圖4(a)和圖4(b)所示, 圖4(c)所示模態(tài)對(duì)應(yīng)B點(diǎn)的本征頻率, 圖4(d)所示模態(tài)對(duì)應(yīng)C點(diǎn)的本征頻率,D點(diǎn)的本征頻率對(duì)應(yīng)模態(tài)如圖4(e)和圖4(f)所示,E點(diǎn)的本征頻率對(duì)應(yīng)模態(tài)如圖4(g)和圖4(h)所示, 圖4(i)和圖4(j)所示模態(tài)對(duì)應(yīng)F點(diǎn)的本征頻率. 圖4(a)示所模態(tài)是以復(fù)合柱體為振子, 以基體表層為振動(dòng)中心的沿Γ-X方向的一階彎曲振動(dòng). 圖4(b)所示模態(tài)為復(fù)合柱沿Γ-M方向的一階彎曲振動(dòng), 由于圖4(b)與圖4(a)所示模態(tài)彎曲極化對(duì)稱性的不同, 一階彎曲振動(dòng)在X點(diǎn)附近主導(dǎo)了波與基體的耦合響應(yīng), 前兩條能帶形成近耦合的弱色散平直帶[35]. 圖4(c)示所模態(tài)表現(xiàn)為復(fù)合柱的扭轉(zhuǎn)振動(dòng), 該模態(tài)與基體之間幾乎不發(fā)生耦合, 因此對(duì)能帶結(jié)構(gòu)沒(méi)有影響. 圖4(d)所示模態(tài)為復(fù)合體以基體為固定點(diǎn)沿z軸方向的一階拉壓式振動(dòng), 基體材料隨之發(fā)生一定程度的振動(dòng), 由圖3(a)可以看出,C點(diǎn)所在能帶與局域共振形成的平直帶的區(qū)別在于該能帶在Γ點(diǎn)附近的群速度較大, 即能量可以向前傳播, 其插入損失譜在該能帶處并沒(méi)有明顯的聲衰減現(xiàn)象也證明了這一點(diǎn), 此類平直帶形成的原因是基體中的瑞利波與一階拉壓式振動(dòng)模態(tài)發(fā)生了相互作用, 從而大幅降低了X-M方向波的群速度. 圖4(e)和圖4(f)所示模態(tài)分別是Γ-X,Γ-M方向上的以復(fù)合柱為振子和振動(dòng)中心的二階彎曲振動(dòng). 由圖4(g)所示模態(tài)可以看出, 振動(dòng)能量分布在基體的下表面, 圖4(h)和圖4(i)所示模態(tài)的振動(dòng)集中在基體的上表面, 三個(gè)模態(tài)的振動(dòng)分布深度正好對(duì)應(yīng)圖3(a)中標(biāo)記點(diǎn)E附近頻率的波長(zhǎng)范圍, 結(jié)合其“滾動(dòng)式”的振動(dòng)方式可證明圖4(g), 圖4(h)和圖4(i)所示模態(tài)由瑞利波造成, 圖4(j)所示模態(tài)的振動(dòng)能量則分布在整個(gè)基體中, 這是明顯的體波行為.

圖3 球形復(fù)合柱半徑不同取值時(shí)所設(shè)計(jì)模型的能帶結(jié)構(gòu)以及對(duì)比模型的能帶結(jié)構(gòu) (a)左圖為柱體半徑r = 0.3a時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)圖, 右圖為對(duì)應(yīng)的插入損失譜; (b)參考文獻(xiàn)[26]中對(duì)比模型半徑r = 0.32a時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)圖; (c)柱體半徑r = 0.4a時(shí)的能帶結(jié)構(gòu); (d)柱體半徑r = 0.5a時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)Fig. 3. Band structures of the designed model with different radius of spherical composite column and the comparison model:(a) Designed model with cylinder radius r = 0.3a in the left and its insertion loss spectrum in the right; (b) comparison model with cylinder radius r = 0.32a from Ref. [26]; (c) designed model with cylinder radius r = 0.4a and (d) r = 0.5a, respectively.

圖4 (a)—(j)分別為圖3(a)中A — F點(diǎn)附近的振動(dòng)模態(tài). 紅色代表振動(dòng)部分, 振動(dòng)位移的大小如圖例所示Fig. 4. (a)—(j) are the vibration modes at the marked points A—F in Fig. 3, respectively. The vibration part corresponds to the red and the magnitude of vibration displacement is shown in the legend.

由前文分析可知, 當(dāng)復(fù)合柱半徑為0.3a時(shí),第7—10條能帶表征著瑞利波和體波模式, 當(dāng)柱體半徑為0.5a時(shí), 第7—10條能帶均出現(xiàn)了平直化現(xiàn)象, 打開(kāi)了新的方向帶隙, 能帶結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)圖由圖5給出. 為了探究該方向帶隙的產(chǎn)生機(jī)理, 我們給出了圖5中標(biāo)記點(diǎn)A—R對(duì)應(yīng)頻率的振動(dòng)模態(tài), 如圖6所示. 可以發(fā)現(xiàn), 圖6(a)所示模態(tài)表現(xiàn)為基體表層“滾動(dòng)式”振動(dòng)與環(huán)氧樹(shù)脂層扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的耦合振動(dòng), 由于基體表層的振動(dòng)能量較大, 因此圖6(a)所示模態(tài)可視為瑞利波表征態(tài). 圖6(b)所示模態(tài)處于第7條能帶的拐點(diǎn)處, 該模態(tài)以環(huán)氧樹(shù)脂層的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)為主, 基體表層存在少量瑞利波能量. 圖6(c)所示模態(tài)的振動(dòng)集中于環(huán)氧樹(shù)脂層, 該模態(tài)處于第7條能帶的平直帶處. 圖6(a)—(c)所示模態(tài)實(shí)現(xiàn)了瑞利波振動(dòng)模式向環(huán)氧樹(shù)脂層扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式的轉(zhuǎn)化, 行波的能量在硬質(zhì)界面間被局域化, 環(huán)氧樹(shù)脂層形成的“限制腔?！笔菍?shí)現(xiàn)能帶平直化進(jìn)而打開(kāi)帶隙的原因. 圖6(d)所示模態(tài)表現(xiàn)為“滾動(dòng)式”的瑞利波特征, 其能量的極化方向與圖6(a)所示模態(tài)相比存在一定區(qū)別, 該模態(tài)符合第8條能帶瑞利波部分的特性. 圖6(e)所示模態(tài)作為第8條能帶的第一個(gè)拐點(diǎn)模態(tài), 表現(xiàn)為與圖6(c)所示模態(tài)極化方向相反的扭轉(zhuǎn)局域振動(dòng),圖6(e)所示模態(tài)形成了限制性腔模將大部分瑞利波能量局域在環(huán)氧樹(shù)脂層, 完成了能帶的平直化.圖6(f)所示模態(tài)中基體表層出現(xiàn)與圖6(b)所示模態(tài)相似的弱瑞利波模式, 由于第8條能帶在E點(diǎn)發(fā)生平直化后與第7條能帶靠近, 且圖6(e)所示模態(tài)中能量的極化方向與圖6(b)所示模態(tài)的相反, 能帶在靠近的過(guò)程中模態(tài)之間發(fā)生耦合, 導(dǎo)致圖6(f)所示模態(tài)中的能量發(fā)生逆轉(zhuǎn)化(被局域化的能量轉(zhuǎn)化為瑞利波的能量). 第8條能帶在圖6(f)所示模態(tài)處發(fā)生第二次偏轉(zhuǎn), 使圖6(f)所示模態(tài)未繼續(xù)延續(xù)圖6(e)所示模態(tài)的限制性腔模, 由平直帶表征的限制性腔模態(tài)向瑞利波模態(tài)轉(zhuǎn)化. 相較于圖6(f)所示模態(tài), 圖6(g)所示模態(tài)中的瑞利波能量增加, 并且表現(xiàn)為與圖6(e)所示模態(tài)相反的“滾動(dòng)”方向, 環(huán)氧樹(shù)脂層也出現(xiàn)兩極扭轉(zhuǎn)狀態(tài). 可以理解為第8條能帶在模態(tài)圖6(f)與模態(tài)圖6(b)耦合的情況下, 繼承了第7條能帶的瑞利波模式. 第9條能帶與第8條能帶的變化類似, 簡(jiǎn)述為由基體下底面振動(dòng)的表面波表征態(tài)(圖6(h))向環(huán)氧樹(shù)脂層的限制性腔模(圖6(i))轉(zhuǎn)化, 隨著能帶的平直化, 能量被局域化, 如圖6(j)所示. 由于限制腔模(圖6(j))中能量的極化方向與圖6(e)所示模態(tài)的相反, 當(dāng)?shù)?條能帶靠近第8條能帶時(shí), 圖6(k)所示模態(tài)中所局域的能量變小. 圖6(l)與圖6(e)所示模態(tài)發(fā)生耦合, 限制腔模式的能量被逆轉(zhuǎn)化為瑞利波模式, 圖6(m)所示模態(tài)出現(xiàn)與圖6(d)所示模態(tài)相似的能量分布, 表現(xiàn)為基體的瑞利波“滾動(dòng)”和環(huán)氧樹(shù)脂層的兩極扭轉(zhuǎn)同時(shí)存在. 第9條能帶反平直化的原因是圖6(l)所示模態(tài)繼承了第8條能帶的瑞利波表征態(tài). 第10條能帶的兩次變化則有所不同, 通過(guò)圖6(n)—圖6(p)所示模態(tài)的變化可知,集中于基體下表面的振動(dòng)向復(fù)合柱體四極共振的轉(zhuǎn)化是該能帶發(fā)生平直化的原因. 圖6(p)所示模態(tài)中四極共振的等效剛度由金屬鎳的形變部分提供, 大的等效剛度限制了共振模態(tài)與行波能量的耦合, 不利于帶隙的形成. 由圖6(q)和圖6(r)可以看出, 第10條平帶沒(méi)在圖6(q)所示模態(tài)處繼承第9條能帶的瑞利波表征模式, 而是形成了環(huán)氧樹(shù)脂層的兩極扭轉(zhuǎn)形式的限制性腔模, 這可能是第10條能帶的四極共振模態(tài)與第9條能帶的瑞利波模態(tài)耦合的結(jié)果.

圖5 當(dāng)r = 0.5a時(shí), 所設(shè)計(jì)表面波聲子晶體的第7—10條能帶的結(jié)構(gòu)圖Fig. 5. The band structure of the seventh to tenth bands of designed surface phononic crystal when r = 0.5a.

圖6 (a)—(r)分別為圖5中A—R標(biāo)記點(diǎn)處的振動(dòng)模態(tài).Fig. 6. (a)—(r) are the vibration modes at the marked points A—R in Fig. 5, respectively.

3.2 帶隙調(diào)控與優(yōu)化

由于壓電型表面波聲子晶體結(jié)構(gòu)在新型電子濾波器件方面有著較高的潛在應(yīng)用價(jià)值, 考慮到環(huán)氧樹(shù)脂的溫敏特性, 研究溫度對(duì)聲表面波帶隙特性的影響是必要的. 邊祖光等[36]基于動(dòng)態(tài)力學(xué)分析儀測(cè)量了環(huán)氧樹(shù)脂的彈性模量隨溫度的變化特性,測(cè)試結(jié)果由圖7(a)給出, 對(duì)應(yīng)的環(huán)氧樹(shù)脂彈性模量與溫度之間的擬合關(guān)系為

圖7 (a)參考文獻(xiàn)[36]中隨溫度的變化對(duì)環(huán)氧樹(shù)脂彈性模量的影響; (b) r = 0.4a時(shí), 前6條能帶隨溫度的變化Fig. 7. (a) Effect of temperature change on elastic modulus of epoxy resin in the Ref. [36]; (b) change of the first six bands with temperature when r = 0.4a.

在20—41 ℃范圍內(nèi), 環(huán)氧樹(shù)脂材料的彈性模量呈線性遞減趨勢(shì).

帶隙寬度由其起始頻率和截止頻率決定, 選取前6條能帶在不同溫條件下對(duì)應(yīng)帶隙的起止頻率作為能帶的代表點(diǎn), 以探究溫度的變化對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響, 如圖7(b)所示. 觀察圖7(b)可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)r= 0.4a時(shí), 隨著溫度升高, 第1條能帶和第2條能帶的頻率下降了0.9 MHz, 第4條能帶的頻率下降了2 MHz, 其余3條能帶沒(méi)有發(fā)生變化. 通過(guò)對(duì)比圖4發(fā)現(xiàn), 發(fā)生變化的3條能帶所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)分別是一階彎曲振動(dòng)和沿z軸方向的一階拉壓式振動(dòng), 兩種振動(dòng)模態(tài)的等效剛度均由環(huán)氧樹(shù)脂提供. 當(dāng)溫度升高, 環(huán)氧樹(shù)脂的彈性模量減小導(dǎo)致等效剛度減小, 對(duì)應(yīng)能帶向低頻移動(dòng). 沒(méi)有發(fā)生移動(dòng)的3條能帶對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)分別是復(fù)合柱體的內(nèi)部扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和二階彎曲振動(dòng), 因此環(huán)氧樹(shù)脂彈性模量變化的影響可以忽略, 由此可以推斷, 采用具有更小彈性模量的材料替換環(huán)氧樹(shù)脂彈性墊層, 能夠有效地降低帶隙的頻率范圍.

Oudich等[21]設(shè)計(jì)的多層圓柱體結(jié)構(gòu)有效地增強(qiáng)了能量的局域化, 降低了帶隙的頻率范圍. 基于此, 本文進(jìn)一步研究了當(dāng)r= 0.4a時(shí), 多層復(fù)合柱結(jié)構(gòu)的帶隙特性. 如圖8(b)所示, 兩層復(fù)合柱結(jié)構(gòu)擁有更低的帶隙頻率范圍, 可以在100 MHz以下頻率范圍打開(kāi)多條完全帶隙, 第一完全帶隙的起始頻率為6.2 MHz, 相較于單層復(fù)合柱的第一完全帶隙的起始頻率(圖3(b))降低了9 MHz, 第二完全帶隙的起始頻率降低了10 MHz. 多層復(fù)合結(jié)構(gòu)可以打開(kāi)更高階的完全帶隙, 同時(shí), 觀察圖8(b),和圖8(c)可以發(fā)現(xiàn), 隨著復(fù)合柱層數(shù)的增加, 帶隙頻率向低頻移動(dòng).

圖8 當(dāng)r = 0.4a, h = 0.2a時(shí), 多層球形復(fù)合柱表面波聲子晶體的模型結(jié)構(gòu)示意圖及其能帶結(jié)構(gòu) (a)兩層球形復(fù)合柱模型結(jié)構(gòu)示意圖; (b)兩層球形復(fù)合柱模型的能帶結(jié)構(gòu)圖; (c)球形復(fù)合柱層數(shù)分別為三層、四層和五層時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)及其模型示意圖Fig. 8. Model structures and band structures of the surface phononic crystals with multi-layer spherical composite columns when r = 0.4a and h = 0.2a: (a) Schematic of the two-layer spherical composite column model structure; (b) band structures of the designed model with two-layer spherical composite column; (c) band structures of the designed model with three, four and five layers,respectively.

為了分析高階帶隙形成的原因以及帶隙降低的物理機(jī)理, 分析了圖8(b)中標(biāo)記點(diǎn)A—G處的振動(dòng)模態(tài). 如圖9所示, 圖9(a)—圖9(f)所示振動(dòng)模態(tài)與單層復(fù)合柱的振動(dòng)模態(tài)一致, 表現(xiàn)為復(fù)合柱體的一階彎曲振動(dòng)、一階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、二階彎曲振動(dòng)以及一階拉壓式振動(dòng). 其中, 圖9(f)所示模態(tài)的一階拉壓式振動(dòng)由于復(fù)合柱體等效質(zhì)量的增加, 其振動(dòng)模式與基體板表層中行波的耦合變?nèi)? 導(dǎo)致第6條能帶靠近聲線的位置出現(xiàn)較高的群速度. 多層復(fù)合柱的多振子結(jié)構(gòu)可以形成具有等效質(zhì)量更大和等效剛度更小的多極共振模態(tài), 如圖9(g)—圖9(j)所示模態(tài)的兩極扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài), 兩極彎曲振動(dòng)模態(tài)以及兩極拉壓式振動(dòng)模態(tài)均可以與行波能量發(fā)生耦合, 從而打開(kāi)高階帶隙. 多極共振模態(tài)是在更高階能帶間打開(kāi)完全帶隙的關(guān)鍵因素.

圖9 兩層球形復(fù)合柱模型的能帶結(jié)構(gòu)中k = X點(diǎn)處的振動(dòng)模態(tài)Fig. 9. Vibration modes at the points k = X of the band structure of the designed model with two-layer.

4 結(jié) 論

本文針對(duì)低頻表面波帶隙的設(shè)計(jì)和形成機(jī)理進(jìn)行了詳細(xì)分析, 設(shè)計(jì)了一種基于復(fù)合球柱體的壓電型表面波聲子晶體模型, 該復(fù)合柱由半徑相同的鎳球體與環(huán)氧樹(shù)脂圓柱體墊層按一維周期性排列構(gòu)成. 利用有限元法計(jì)算了該結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)及位移矢量場(chǎng), 詳細(xì)分析了帶隙的形成機(jī)理, 并探究了外加溫度場(chǎng)對(duì)帶隙特性的影響. 首先討論了復(fù)合柱半徑變化對(duì)模型能帶結(jié)構(gòu)的影響, 發(fā)現(xiàn)隨著半徑增大, 帶隙向低頻范圍移動(dòng). 當(dāng)復(fù)合柱半徑取值為0.5a時(shí), 高階能帶間打開(kāi)了非完全帶隙并且存在能帶的平直化和反平直化現(xiàn)象. 通過(guò)模態(tài)分析發(fā)現(xiàn),帶隙的平直化是由于硬邊界間形成的限制腔模和結(jié)構(gòu)的多極共振模式與行波耦合造成的; 帶隙的反平直化是因?yàn)楦唠A能帶平直化過(guò)后的模態(tài)與前一階能帶的非平直化模態(tài)發(fā)生耦合, 且兩者能量的極化方向相反, 導(dǎo)致高階模態(tài)繼承了前一階模態(tài)的振動(dòng)模式和能量. 其次, 結(jié)合環(huán)氧樹(shù)脂材料的溫敏特性, 引入外加溫度場(chǎng), 計(jì)算了不同溫度條件下模型的帶隙特性, 結(jié)果表明, 在20—40 ℃的變化范圍內(nèi), 環(huán)氧樹(shù)脂的彈性模量隨溫度升高而降低, 模型的帶隙向低頻移動(dòng). 最后, 通過(guò)增加復(fù)合球柱體的層數(shù), 進(jìn)一步降低了帶隙的頻率范圍, 并且在高階能帶間打開(kāi)了完全帶隙. 通過(guò)振動(dòng)模態(tài)分析發(fā)現(xiàn),帶隙降低的主要原因是多極共振模態(tài)中等效質(zhì)量的增加以及等效剛度的減小; 模型的多振子結(jié)構(gòu)與行波發(fā)生強(qiáng)烈耦合, 是在高階能帶間打開(kāi)完全帶隙的主要原因. 本工作的研究結(jié)果可為表面波聲子晶體在100 MHz以下頻率范圍的帶隙優(yōu)化與調(diào)控以及該低頻范圍的表面波濾波器和波導(dǎo)器件的聲學(xué)性能優(yōu)化提供理論參考.