巧用分類思想來(lái)解決面積重合問(wèn)題

侯坤明

(江蘇省灌云實(shí)驗(yàn)中學(xué) 222200)

幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題一直以來(lái)都是中考命題專家青睞的熱點(diǎn)，這一類題目在編寫時(shí)都不同程度上體現(xiàn)出基本圖形、基本概念來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，將現(xiàn)實(shí)生活中的一些問(wèn)題抽象化得到.這類題型注重培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察、操作、想象、討論、交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)生在吸收知識(shí)的同時(shí)更能夠領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想，并通過(guò)適度的提煉和總結(jié)，使之能對(duì)認(rèn)識(shí)能力、理解能力和應(yīng)用能力起到指導(dǎo)作用，更好的理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，初步獲得數(shù)學(xué)思維能力.

筆者在給學(xué)生講解蘇教版八年級(jí)下學(xué)期第95頁(yè)的第22題時(shí)，受到了一些啟發(fā).原題如下：

圖1

如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′D′的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)O重合，將正方形A′B′C′D′繞點(diǎn)A′旋轉(zhuǎn)，在這個(gè)過(guò)程中，這兩個(gè)正方形重合部分的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論.

我們將上題中的兩個(gè)正方形都變?yōu)椋?/p>

邊長(zhǎng)為6的相同正方形，按如圖2所示方式放置，右邊正方形EFGH是水平放置的，其中∠BCF=45°,C是EF的中點(diǎn)(左邊正方形的右邊頂點(diǎn)與右邊正方形的邊所在的中點(diǎn)重合)，同時(shí)令左邊正方形水平向右按每秒鐘一個(gè)單位長(zhǎng)度平移，右邊正方形EFGH固定不動(dòng).請(qǐng)你嘗試解決以下問(wèn)題：

(1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中BC與FG的夾角等于____度；

(2)當(dāng)t=2時(shí)，求正方形ABCD余下的面積；

(3)請(qǐng)你計(jì)算從左邊正方形ABCD開(kāi)始進(jìn)入直至完全穿過(guò)并離開(kāi)右邊正方形EFGH時(shí)，兩正方形重合部分的面積s與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(初始狀態(tài)時(shí)t=0秒)之間的函數(shù)關(guān)系,并求出對(duì)應(yīng)的t的取值范圍.

(4)在(3)的情況下有無(wú)重合面積的最大值，若有請(qǐng)求出來(lái)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)45°(135°)；(2)32；(3)(ⅰ)分析：首先呈現(xiàn)移動(dòng)變化過(guò)程中的關(guān)鍵位置的系列圖，然后根據(jù)重合部分形成的多邊形的邊數(shù)劃分為八種不同的情況.每一種情況分別分為兩個(gè)狀態(tài)圖，即進(jìn)行狀態(tài)和結(jié)束時(shí)的臨界狀態(tài)，并分別計(jì)算此種情況下它們重合部分的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(初始狀態(tài)時(shí)t=0秒)之間的函數(shù)關(guān)系.

圖2

(ⅱ)解答如下：

圖3

第一種情況：

0≤t≤3,s1=t2;

圖4

第二種情況：

圖5

第三種情況：

圖6

第四種情況：

圖7

第五種情況：

圖8

第六種情況：

圖9

第七種情況：

圖10

第八種情況：