基于PID型代價函數(shù)的永磁同步電機模型預(yù)測電流控制

陳卓易 屈穩(wěn)太

（浙大寧波理工學(xué)院信息科學(xué)與工程學(xué)院 寧波 315100）

0 引言

永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Machine，PMSM）具有功率密度大、效率高等優(yōu)點，在高性能電驅(qū)動場合得到廣泛應(yīng)用。圍繞如何進(jìn)一步提高控制性能而涌現(xiàn)出的各種先進(jìn)控制算法中，PMSM電流有限集模型預(yù)測控制（Finite-Control-Set Model Predictive Control, FCS-MPC）[1-3]近年來逐漸成為熱門。該控制方法繼承了磁場定向控制的思想，將PMSM電流分解為控制磁鏈的d軸電流和控制轉(zhuǎn)矩的q軸電流，因此，轉(zhuǎn)矩控制和弱磁擴(kuò)速等目標(biāo)均可歸結(jié)為對d、q軸電流的高性能控制。FCS-MPC電流控制由于無需調(diào)制器而直接控制開關(guān)器件，具有動態(tài)響應(yīng)快的優(yōu)點，此外，還具有原理直觀、設(shè)計靈活、多目標(biāo)容易協(xié)同等優(yōu)點[1]，但同時也具有依賴模型參數(shù)的缺點[2]。模型參數(shù)失配會導(dǎo)致電流穩(wěn)態(tài)誤差和紋波增大、控制性能降低。實際應(yīng)用中，PMSM參數(shù)未必能精確獲得，其電阻、磁鏈或電感等參數(shù)也會隨著溫升或磁路飽和程度的變化而變化[3]，因此，F(xiàn)CS-MPC電流控制的參數(shù)敏感性問題亟待解決。

為解決 FCS-MPC的參數(shù)敏感性問題，基于參數(shù)辨識的方法[3-5]通過在線辨識PMSM的各種參數(shù)，實時調(diào)整預(yù)測模型，提高電流預(yù)測精度，從而在電機參數(shù)未知或時變的情況下得到良好的電流控制性能。然而，PMSM參數(shù)眾多，同時辨識所有參數(shù)會導(dǎo)致欠秩問題[4]，所以一般只能針對其中幾個變化較大或較關(guān)鍵的參數(shù)進(jìn)行辨識[5]，并且其辨識精度依賴于待辨識參數(shù)以外模型的精度，因此，飽和、逆變器死區(qū)、管壓降等不容易考慮在模型中的非線性因素[6]使得參數(shù)辨識的方法實際上很難精確。

基于擾動觀測的方法[7-9]則是對各種參數(shù)誤差以及逆變器非線性等各種內(nèi)外擾動所產(chǎn)生的總擾動進(jìn)行在線觀測和補償。這類方法能解決待辨識參數(shù)過多的問題，而且考慮了未建模的非線性擾動[7]，但是復(fù)雜的觀測器和參數(shù)辨識算法一樣，容易加重控制器的運算負(fù)擔(dān)，提高控制系統(tǒng)的成本。此外，以總擾動方式處理模型失配，一般只降低電流穩(wěn)態(tài)誤差，而不能改善電感參數(shù)不準(zhǔn)而增大的紋波誤差[8]，需要額外對電感誤差進(jìn)行補償[9]。

另有研究主張采用無模型FCS-MPC[10-11]，直接由不同電壓矢量對應(yīng)的電流變化率進(jìn)行電流預(yù)測，從而無需依賴電機參數(shù)。但是，該方法增加了對電流采樣精度和時序的要求，同時還存在變化率更新停滯的問題[11]。

以上方法均是針對 FCS-MPC的改進(jìn)，即通過提高預(yù)測準(zhǔn)確度來提高參數(shù)未知或時變場合的控制性能。預(yù)測是 FCS-MPC實現(xiàn)控制的第一步，而直接決定控制量的則是代價函數(shù)，因此，通過代價函數(shù)的改進(jìn)[12-13]理論上也可提高電流控制性能。然而目前對代價函數(shù)的研究一般圍繞多目標(biāo)協(xié)同[13-14]的主題，而且這些方法多以參數(shù)匹配為前提，因此并未涉及參數(shù)敏感性問題。

為改善FCS-MPC在PMSM電流控制中的參數(shù)敏感性，本文提出一種比例-積分-微分（Proportion-Integration-Differentiation, PID）型代價函數(shù)，在預(yù)測模型參數(shù)失配時能改善電流控制性能。一方面，通過積分誤差代價消除穩(wěn)態(tài)誤差；另一方面，通過微分誤差代價降低電流紋波誤差，在較大參數(shù)變化范圍下均能實現(xiàn)高性能電流控制，同時保留FCS-MPC動態(tài)響應(yīng)快的優(yōu)點。

1 永磁同步電機FCS-MPC電流控制

FCS-MPC實現(xiàn)PMSM電流控制的過程可概括為：在所有可能的逆變器開關(guān)組合下，根據(jù)由PMSM模型建立的預(yù)測模型得出未來的預(yù)測電流，并用表征控制目標(biāo)（如給定電流的跟蹤）的代價函數(shù)對每個預(yù)測電流進(jìn)行評估，能使代價函數(shù)取最小值的開關(guān)組合即為控制器的下一拍輸出。

1.1 預(yù)測模型

PMSM的dq坐標(biāo)系下的定子電壓方程為

式中，id、iq分別為 d、q軸定子電流；R為定子電阻；ψf為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈；ωe為轉(zhuǎn)子電角速度；Ld、Lq分別為 d、q軸電感；ud、uq分別為 d、q軸定子電壓，可由αβ 坐標(biāo)系下電壓uα、uβ由 Park 變換

得到，其中，θ為轉(zhuǎn)子電角度。在不考慮死區(qū)和管壓降等非理想特性時，三相兩電平逆變器的uα、uβ可以根據(jù)逆變器開關(guān)狀態(tài)Sabc從表1查得，其中，UDC為直流母線電壓。

表1 開關(guān)狀態(tài)表Tab.1 Switching table

用歐拉法對式（1）在第k時刻離散化，得預(yù)測模型為

式中，上標(biāo)P為預(yù)測值；Ts為采樣周期。然后用式（3）由k時刻輸出電壓、采樣電流以及系統(tǒng)參數(shù)推算出k+1時刻的d、q預(yù)測電流，稱為單步預(yù)測。微控制器實現(xiàn)時常用兩步法[15]來補償程序執(zhí)行延時。k時刻先輸出上周期優(yōu)化得到的開關(guān)狀態(tài)，并用式（3）計算出一對并通過

可分別預(yù)測不同Sabc作用下k+2時刻的電流，這也屬于單步預(yù)測。由于多步預(yù)測模型與單步預(yù)測一樣基于電機數(shù)學(xué)模型，因此僅討論單步預(yù)測的情況。

電機電流是否能被準(zhǔn)確地預(yù)測，與模型的精確程度有關(guān)。不同工況下電機磁路飽和程度不同，會造成電感隨著飽和程度的變化而變化。R和ψf也會隨著溫度變化而時變。此外，高次諧波、逆變器非線性等因素也難以在傳統(tǒng)預(yù)測模型中精確計及，會造成一定的預(yù)測誤差。

1.2 傳統(tǒng)代價函數(shù)

與采用脈沖寬度調(diào)制（Pulse Width Modulation，PWM）來分配開關(guān)占空比不同，F(xiàn)CS-MPC不使用調(diào)制器而直接輸出下一時刻的開關(guān)狀態(tài)。對于下一時刻所有可能的開關(guān)狀態(tài)，均可由表1以及式（2）計算出對應(yīng)的定子電壓ud、uq，并由式（4）計算出預(yù)測電流。又由外環(huán)得到的電流指令根據(jù)傳統(tǒng)代價函數(shù)式（5）計算能使代價函數(shù)J最小的其對應(yīng)的開關(guān)狀態(tài)即最優(yōu)控制量，將在下一時刻輸出。

可以看出，傳統(tǒng)的給定跟蹤型代價函數(shù)的目標(biāo)是選出能使預(yù)測電流矢量與參考電流矢量歐氏距離最短的點，即控制誤差最小的點，但并未考慮預(yù)測電流的準(zhǔn)確度以及電流控制誤差的累計，因此不能保證穩(wěn)態(tài)無差以及最佳的紋波抑制，尤其是在預(yù)測模型并不準(zhǔn)確的時候。

2 基于PID型代價函數(shù)的FCS-MPC

為解決預(yù)測模型不精確造成控制誤差的問題，本文提出一種PID型代價函數(shù)。其思想是從常用的負(fù)反饋控制器——PID控制器中得到啟發(fā)：積分環(huán)節(jié)可以消除穩(wěn)態(tài)誤差，因此對 FCS-MPC歷史控制誤差作積分，得到積分誤差代價，旨在消除靜態(tài)誤差；微分環(huán)節(jié)能預(yù)測誤差變化的趨勢，因此設(shè)計微分誤差代價，對單位電流變化引起的預(yù)測誤差進(jìn)行補償；而傳統(tǒng)代價函數(shù)中預(yù)測電流與參考電流之差，則可看作比例誤差代價，其功能類同于PID中的比例環(huán)節(jié)。本節(jié)將具體闡述 PID型代價函數(shù)及其在PMSM電流FCS-MPC控制中的實現(xiàn)。

2.1 積分和微分誤差代價

PID控制中，控制輸出y為比例項P、積分項I和微分項D之和，其中，積分項I的后向差分格式為

式中，x為被控變量；x*為給定值；kI為積分增益系數(shù)。在y中加入積分項I可以使x穩(wěn)態(tài)無差。類似地，對電流控制誤差也進(jìn)行積分，得到

式中，Id和Iq分別為d、q軸電流積分誤差代價，由每個采樣時刻的電流控制誤差積分得到。在代價函數(shù)中加入該項，可以懲罰使積分誤差代價繼續(xù)增大的控制輸出，從而使累計控制誤差趨于零。

采用積分誤差代價理論上能完全消除穩(wěn)態(tài)控制誤差，但由于 FCS-MPC的開關(guān)離散性，電流達(dá)不到真正意義上的穩(wěn)態(tài)[8]，因此模型誤差引起的每一拍的控制誤差仍可能存在，僅僅是誤差均值為零。所以有必要引入微分誤差代價，對每一拍的控制誤差也進(jìn)行補償。

消除了穩(wěn)態(tài)誤差之后，紋波誤差主要由對電流變化率的預(yù)測不準(zhǔn)所致，例如，低估電感量或高估電機相電壓均會導(dǎo)致高估電流變化率而引起預(yù)測誤差，但該預(yù)測誤差的大小和方向會隨著電壓矢量不同而不同，所以無法通過積分平均的方式來消除。此外，由于控制量不連續(xù)，無法采用傳統(tǒng)PID中的微分項進(jìn)行瞬態(tài)預(yù)測。因此，從紋波誤差產(chǎn)生的原理出發(fā)，將每周期單位變化電流引起的預(yù)測誤差作為微分誤差代價的系數(shù)D′，得到

式中，kD為微分增益系數(shù)；LPF為低通濾波器函數(shù)。采用一階低通濾波時，對于d軸有

式中，a為0～1的濾波器系數(shù)。最終，d軸微分誤差代價為系數(shù)D′與預(yù)測電流變化量的乘積，有

另外，為防止分母接近零而造成微分誤差代價估計不準(zhǔn)確，設(shè)置閾值ε，當(dāng)電流變化率過低時不更新D′，有

q軸微分誤差代價的設(shè)計同式（9）～式（11）。

引入積分和微分誤差代價后的代價函數(shù)，即PID型代價函數(shù)，有

式中，P為傳統(tǒng)代價函數(shù)中的電流誤差項，有

可認(rèn)為是比例誤差代價。其他 FCS-MPC應(yīng)用中，如轉(zhuǎn)矩和磁鏈參考值跟蹤等，若以預(yù)測值和參考值之差作為代價，也可歸類為比例誤差代價。

2.2 采用PID型代價函數(shù)的FCS-MPC

采用 PID型代價函數(shù)的 FCS-MPC（以下簡稱PID-MPC）系統(tǒng)框圖如圖1所示，其中，電流給定值來自速度外環(huán)。相比于傳統(tǒng) FCS-MPC，僅改變了代價函數(shù)以及增加了虛線框內(nèi)積分和微分誤差代價運算部分，盡可能地保留了FCS-MPC的特點。

圖1 PID-MPC系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of proposed PID-MPC

若設(shè)置D為零，則簡化為 PI型代價函數(shù)，僅消除電流穩(wěn)態(tài)誤差，而不抑制紋波。采用PI型代價函數(shù)的FCS-MPC以下簡稱PI-MPC。傳統(tǒng)代價函數(shù)可認(rèn)為是I、D均為零的特殊形式，即 P型代價函數(shù)，因此傳統(tǒng)FCS-MPC以下簡稱P-MPC。

應(yīng)當(dāng)指出，PID型代價函數(shù)與PID控制器具有相似之處。積分誤差代價與PID積分環(huán)節(jié)均是對歷史控制誤差作積分，而微分誤差代價與PID微分環(huán)節(jié)均通過歷史數(shù)據(jù)來預(yù)見未來誤差變化。PID控制器常見的改進(jìn)措施，如積分限幅等，也可以在 PID型代價函數(shù)中采用。但兩者的作用機理不同，PID型代價函數(shù)最終通過對最優(yōu)開關(guān)狀態(tài)的選擇來影響控制決策，而PID控制器則直接輸出控制量。

采用PID型代價函數(shù)后，相比于傳統(tǒng)FCS-MPC只需要多調(diào)節(jié)kI、kD和a3個系數(shù)（若只采用PI型代價函數(shù)，則只需多調(diào)節(jié)kI一個系數(shù)），然而可以免去對電機系統(tǒng)精確模型的測量工作（如描繪電感隨電流變化的查表、逆變器死區(qū)補償?shù)龋?，而且已包含參?shù)隨溫度變化而時變的情況。3個系數(shù)的調(diào)節(jié)方法如下：增大kI可以降低電流穩(wěn)態(tài)誤差消除的響應(yīng)時間，但過大kI會造成積分項I不穩(wěn)定。在PMSM電流控制中，dq軸模型誤差的直流擾動并無太多突變的情況，所以kI實際上無需設(shè)置過大。kD=1時能完全補償微分誤差，但由于采樣噪聲存在，完全補償反而會造成更大的電流波動，所以，一般在 0＜kD＜1調(diào)節(jié)至合適值。低通濾波器系數(shù)a則可以根據(jù)實際系統(tǒng)的采樣噪聲適當(dāng)增減。

3 實驗結(jié)果

為驗證PID型代價函數(shù)對電流控制誤差的抑制作用，對一臺三相PMSM進(jìn)行控制實驗?？刂破饕訲MS320F28335為核心，負(fù)載采用電渦流制動器，兩電平三相逆變器使用三菱IGBT模塊CM300DX-24S1搭建。實驗系統(tǒng)參數(shù)見表2。表貼式PMSM手冊僅給出額定電感值Ls，因此，實驗中Ld、Lq均以Ls為額定值。

表2 系統(tǒng)參數(shù)Tab.2 System parameters

設(shè)置4個實驗組如下：①采用傳統(tǒng)代價函數(shù)和額定參數(shù)的 P*-MPC；②采用傳統(tǒng)代價函數(shù)和與額定值不匹配參數(shù)的P-MPC，具體參數(shù)設(shè)置在每個實驗中描述；③與P-MPC相同參數(shù)的PI-MPC；④與P-MPC相同參數(shù)的PID-MPC。

在PI-MPC中，設(shè)置kI=25；在PID-MPC中，設(shè)置kI=25，kD=0.8，a=0.000 5，閾值ε=0.01A。各組均采用相同參數(shù)的速度外環(huán)PI控制，電流內(nèi)環(huán)為FCS-MPC，且=0。

圖2為額定轉(zhuǎn)速750r/min、額定負(fù)載轉(zhuǎn)矩9N·m的情況下，4個實驗組電流控制性能的對比實驗。P-MPC、PI-MPC、PID-MPC的預(yù)測模型中電感、電阻、永磁體磁鏈均為150%額定值。每隔2s輪換實驗組。圖中，Eav和ERMS分別為電流平均控制誤差和方均根控制誤差，定義為

圖2 額定轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩下電流控制性能比較Fig.2 Comparison of current control performance under rated speed and load torque

其中

式中，N為采樣數(shù)。

圖3為圖2實驗中四種方法的相電流波形，總諧波畸變率（Total Harmonic Distortion, THD）計算自 50個連續(xù)電周期。從圖2、圖3中可以看出，P-MPC在模型參數(shù)不匹配時，相對于采用額定參數(shù)的P*-MPC，電流控制誤差與THD均增大。PI-MPC引入積分誤差代價后能消除平均誤差，但未能降低因模型失配造成的THD升高。而PID-MPC能進(jìn)一步將方均根控制誤差ERMS降低，且THD與P*-MPC接近。此外，P-MPC與P*-MPC均存在平均誤差，進(jìn)而導(dǎo)致相同負(fù)載轉(zhuǎn)矩需要更高的相電流，因此效率下降。而PID-MPC則能以相對最小的相電流達(dá)到相同的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩，效率更高。

圖3 圖2中4個實驗組的相電流Fig.3 Phase currents of the four groups in Fig.2

值得一提的是，P*-MPC盡管采用了額定參數(shù)卻未能實現(xiàn)最佳的控制性能，這是由于：一方面，模型未考慮逆變器死區(qū)、管壓降等非線性因素，因此仍不夠精確；另一方面，傳統(tǒng)代價函數(shù)僅要求下一拍預(yù)測誤差最小，而未考慮誤差的統(tǒng)計規(guī)律。

圖4為電機運行在375r/min、空載情況下的電流控制性能對比。P-MPC、PI-MPC、PID-MPC的預(yù)測模型中電感、電阻、永磁體磁鏈均為50%額定值，同樣每隔2s輪換實驗組。可以看出，低速空載的實驗結(jié)果與額定轉(zhuǎn)速滿載時一致：參數(shù)不匹配會使電流誤差增大；PI-MPC和PID-MPC能基本消除穩(wěn)態(tài)誤差，而D的引入使得PID-MPC將ERMS降至最低。

圖4 空載50%額定轉(zhuǎn)速下電流控制性能比較Fig.4 Comparison of current control performance under 50% rated speed and no load

圖5為預(yù)測模型中電感、永磁體磁鏈、電阻參數(shù)分別變化的情況下，P-MPC、PI-MPC和PID-MPC的控制誤差比較。數(shù)據(jù)均在額定轉(zhuǎn)速、額定轉(zhuǎn)矩下測得。圖5中帶有上標(biāo)“^”的參數(shù)為模型參數(shù)，不帶上標(biāo)的為額定參數(shù)。圖5a～圖5c三組實驗中，均固定模型電感、永磁體磁鏈和電阻中的兩個參數(shù)為額定值，而另一參數(shù)從50%變化至200%額定值，以測試單個參數(shù)的偏差對于三種方法控制誤差的影響。從結(jié)果中可以看出，傳統(tǒng)P-MPC的電流控制誤差對電感和磁鏈參數(shù)敏感，參數(shù)不匹配時會使控制誤差Eav和ERMS增大，而對電阻參數(shù)較不敏感，這與文獻(xiàn)[2]結(jié)論相符；PI-MPC電流平均誤差Eav幾乎為零且對參數(shù)變化不敏感，但其方均根誤差ERMS仍隨參數(shù)尤其是電感參數(shù)的變化而變化，說明 PI型代價函數(shù)不能抑制因參數(shù)誤差而增大的電流紋波；而PID-MPC的電流穩(wěn)態(tài)誤差和紋波誤差對參數(shù)均不敏感，且在相同條件下電流誤差最低，說明微分誤差代價對紋波誤差有改善作用。

圖5 P-MPC、PI-MPC、PID-MPC平均控制誤差Eav和方均根控制誤差ERMS隨模型參數(shù)變化曲線Fig.5 Mean control error and RMS control error of P-MPC, PI-MPC and PID-MPC with parameter variations

圖6為分別采用PID-MPC和P*-MPC電流控制的PMSM，在第0.2s滿載起動至額定轉(zhuǎn)速的實驗。其中，PID-MPC采用與P*-MPC一致的模型參數(shù)和速度環(huán)參數(shù)，電流給定值限幅均為8A?？梢钥闯觯瑑煞N方法在起動瞬間均能實現(xiàn)快速的電流跟蹤，說明PID型代價函數(shù)不影響FCS-MPC動態(tài)響應(yīng)快的優(yōu)點。而由于PID-MPC電流控制誤差更小，轉(zhuǎn)速達(dá)到額定值的時間縮短近33%。

圖7為分別采用PID-MPC和P*-MPC電流控制的PMSM在額定狀態(tài)運行時負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變的實驗。參數(shù)設(shè)置同圖6。可以看出，在轉(zhuǎn)矩變化瞬間，PID-MPC同樣能對電流指令快速跟隨。從圖7還可看出，由于電流控制誤差更小，在相同的速度外環(huán)作用下，瞬態(tài)過程轉(zhuǎn)速變化小于傳統(tǒng)的FCS-MPC。

圖6 PMSM滿載起動實驗Fig.6 Experiment of full-loaded startup of PMSM

圖7 突變額定轉(zhuǎn)矩實驗Fig.7 Experiment of step change of rated load torque

4 結(jié)論

FCS-MPC電流控制性能對模型參數(shù)較敏感，與實際PMSM系統(tǒng)參數(shù)不匹配時，會導(dǎo)致電流控制性能下降。對此，本文將 FCS-MPC傳統(tǒng)代價函數(shù)改進(jìn)為PID型代價函數(shù)，在比例誤差代價的基礎(chǔ)上，設(shè)計了積分誤差代價和微分誤差代價，在預(yù)測模型參數(shù)不匹配的情況下，可分別消除穩(wěn)態(tài)電流控制誤差和抑制紋波電流。實驗結(jié)果證明，該方法在參數(shù)大范圍變化的情況下均能降低穩(wěn)態(tài)誤差和紋波誤差，提高電流控制性能，并同時保留 FCS-MPC動態(tài)響應(yīng)快的優(yōu)點。