基于最小二乘配置的預(yù)行程誤差模型*

湯澤航，高 健，張攬宇

(廣東工業(yè)大學(xué)省部共建精密電子制造技術(shù)與裝備國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510006)

0 引言

在線檢測(OMM)系統(tǒng)通過在數(shù)控機(jī)床上安裝一個(gè)接觸式或非接觸式探頭，實(shí)現(xiàn)在加工過程中或加工后實(shí)時(shí)檢測零件質(zhì)量，而不需要重新裝夾，從而避免了二次裝夾帶來的嚴(yán)重誤差[1-3]。這種方法能夠顯著提高自由曲面零件諸如航空航天薄壁類零件的加工精度和加工效率[4-5]。觸發(fā)式探針是最常用的OMM系統(tǒng)工具，然而其在觸測過程中存在的預(yù)行程誤差是影響在線檢測測量誤差的一個(gè)重要因素[6-7]。文獻(xiàn)[8]通過實(shí)驗(yàn)得到預(yù)行程誤差占在線檢測測量總誤差的60%。因此，分析研究觸測頭檢測過程中的預(yù)行程誤差，建立相應(yīng)的誤差模型以及預(yù)測補(bǔ)償模型，對提高在線檢測系統(tǒng)的檢測精度具有相當(dāng)重要的意義。

目前，在線檢測系統(tǒng)研究領(lǐng)域，一些學(xué)者專門針對預(yù)行程誤差的補(bǔ)償問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9-11]對接觸式探針結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，歸納出測桿長度，觸測速度，觸測方向等對預(yù)行程誤差的影響，為進(jìn)一步的補(bǔ)償工作提供了理論基礎(chǔ)。但實(shí)際上，探針預(yù)行程誤差的影響因素較多且復(fù)雜，用其方法只能在一定程度上估算預(yù)行程誤差，補(bǔ)償效果有所欠缺。鑒于預(yù)行程誤差分布模型的非線性，傳統(tǒng)的理論推導(dǎo)方法無法得到精度較高的誤差模型，文獻(xiàn)[12-14]通過探測得到標(biāo)準(zhǔn)球上部分點(diǎn)的預(yù)行程誤差作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)來建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，從而預(yù)測出其他點(diǎn)的預(yù)行程誤差。針對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易形成局部極小且訓(xùn)練次數(shù)多、收斂速度慢等缺陷，文獻(xiàn)[15]提出了基于正則化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并取得了較高的預(yù)測精度。但是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測精度一般需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和較多的訓(xùn)練次數(shù)來保證，在某些場景下的應(yīng)用會受到限制。

鑒于以上在線檢測預(yù)行程誤差建模方法的不足，為了建立一個(gè)高精度、高穩(wěn)定性的預(yù)行程誤差預(yù)測模型，本文提出了一種基于最小二乘配置法的誤差預(yù)測模型，并通過實(shí)驗(yàn)與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行對比分析，來驗(yàn)證該方法對于預(yù)行程誤差的補(bǔ)償更加精確有效。

1 觸發(fā)式探針預(yù)行程誤差實(shí)驗(yàn)原理

本文通過合理規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)球上的探測點(diǎn)并進(jìn)行所有點(diǎn)的探測，從而為建立預(yù)行程誤差預(yù)測模型提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。在用接觸式探針做檢測時(shí)，由于觸測力的存在，在觸球接觸被測物體時(shí)，探針并不會立即觸發(fā)測量信號，而是繼續(xù)沿檢測方向上行進(jìn)一小段距離[16-17]，這個(gè)過程中測桿也產(chǎn)生一定的力學(xué)形變。因這一小段距離導(dǎo)致的測量誤差，被稱為預(yù)行程誤差。測桿的長度、剛度以及測頭內(nèi)部觸發(fā)結(jié)構(gòu)等原因都會對預(yù)行程誤差產(chǎn)生影響。本文中實(shí)驗(yàn)采用的接觸式探針為觸發(fā)式無線測頭系統(tǒng)ACC-CP52，測球直徑為φ6 mm。

將標(biāo)準(zhǔn)球上的檢測點(diǎn)用極坐標(biāo)(ρ,φ,θ)表示，其中ρ表示標(biāo)準(zhǔn)球半徑；φ表示緯度角；θ表示經(jīng)度角。在實(shí)驗(yàn)過程中，對同一個(gè)陶瓷標(biāo)準(zhǔn)球(直徑25.001 1 mm)進(jìn)行檢測，半徑ρ不變，因此檢測時(shí)只考慮球上的經(jīng)緯度坐標(biāo)(φ,θ)。

在測量過程中探針是沿著球上測點(diǎn)的理論法矢方向d進(jìn)行觸測的，探針紅寶石觸球與工件之間可能發(fā)生相對滑動(dòng)。文獻(xiàn)[18]研究表明，當(dāng)觸發(fā)力與接觸工件表面的法線方向夾角小于10°時(shí)，探針與工件表面的相對滑動(dòng)由于摩擦力存在不會發(fā)生。極端情況下當(dāng)夾角大于10°時(shí)，會發(fā)生相對滑動(dòng)，但研究表明其相對滑動(dòng)距離小于1 μm，遠(yuǎn)小于實(shí)際的預(yù)行程誤差。因此，可以忽略探頭與工件表面之間因相對滑動(dòng)產(chǎn)生的誤差。

本文實(shí)驗(yàn)將標(biāo)準(zhǔn)球每隔經(jīng)緯度5°進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共生成1297個(gè)探測點(diǎn)，如圖1所示。用觸發(fā)式無線探針對所有探測點(diǎn)進(jìn)行檢測得到實(shí)際值rreal并與對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)球和探針觸球半徑之和的理論值rideal進(jìn)行比較，即可得出相應(yīng)的預(yù)行程誤差wi,如圖2所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)球上探測點(diǎn)分布

圖2 預(yù)行程誤差形成過程

2 預(yù)行程誤差預(yù)測模型

2.1 經(jīng)典曲面擬合法

經(jīng)典全參數(shù)曲面擬合模型通過建立預(yù)行程誤差L與經(jīng)緯度坐標(biāo)(φ,θ)的關(guān)系式：

L=F(φ,θ)+ξ

(1)

式中，F(xiàn)(φ,θ)為預(yù)行程誤差L的趨勢曲面，ξ為殘差。

設(shè)

F(φ,θ)=a0+a1φ+a2θ+a3φθ+
a4φ2+a5θ2+a6φθ2+a7θφ2+a8φ3+a9θ3+…

(2)

若測得n個(gè)預(yù)行程誤差數(shù)據(jù)點(diǎn)，則可得以下矩陣形式：

L=AX+ξ

(3)

式中，

當(dāng)上式符合最小二乘原則,即殘差|ξ2|=min的條件時(shí)，求得向量X的解，回代到式(2)中，就可推估出未知方位點(diǎn)的預(yù)行程誤差值。

在式(2)中，若未知數(shù)取n次項(xiàng)，便得到n次多項(xiàng)式曲面擬合。其中擬合次數(shù)不宜過大，過大容易造成方程式解不穩(wěn)定，且易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，一般取2次即可[19-20]。

2.2 基于最小二乘配置法的預(yù)測模型

隨著測量技術(shù)的發(fā)展和檢測要求的提高,經(jīng)典的全參數(shù)數(shù)據(jù)處理方法有時(shí)不能滿足精度的要求,特別是當(dāng)檢測數(shù)據(jù)中包含不可消除的較復(fù)雜系統(tǒng)誤差時(shí)[21-22]。因此，綜合考慮固定參數(shù)效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)的最小二乘配置模型在測量領(lǐng)域越來越受到關(guān)注，它可以說是具備了曲面擬合法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法兩者的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)模型選擇正確時(shí)，最小二乘殘差具有偶然誤差的特征，此時(shí)得到的擬合模型是最優(yōu)的。

最小二乘配置的數(shù)學(xué)模型是[23-24]：

L=AX+BY+Δ

(4)

(5)

(6)

式中，L為n維觀測向量；Δ為隨機(jī)噪聲，Δ～N(0，DΔ)；X為t維非隨機(jī)參數(shù)；A為n×t階設(shè)計(jì)矩陣；Y為隨機(jī)參數(shù)向量，包含n維已測點(diǎn)信號S和g維未測信號S′。In是n階單位陣，根據(jù)矩陣B的構(gòu)成，可知觀測方程中不含未測點(diǎn)信號S′。

式(4)對應(yīng)的誤差方程為：

V=AX+BY-L

(7)

根據(jù)最小二乘原理有：

(8)

式(7)、式(8)中，V是觀測值L的改正數(shù)；VY是Y的先驗(yàn)期望E(Y)的改正數(shù)，從而可以推出：

(9)

(10)

(11)

由假設(shè)B=I(單位陣)，μS=0，μS′=0并且不考慮隨機(jī)噪聲誤差的影響，即DΔ=0，則式(9)、式(10)、式(11)可表示為：

(12)

(13)

(14)

從而得到未測點(diǎn)的平差值，即未知點(diǎn)的預(yù)行程誤差：

(15)

上述最小二乘配置模型的計(jì)算過程中求解的關(guān)鍵是信號Y與Y之間的協(xié)方差?，F(xiàn)階段各種類型的協(xié)方差函數(shù)均為與空間距離相關(guān)的某種函數(shù)，考慮預(yù)行程誤差的空間相關(guān)性，本文采用空間平方根函數(shù)作為信號間的協(xié)方差函數(shù)模型，亦即：

(16)

式中，(xi,yi,zi)，(xj,yj,zj)為球面檢測點(diǎn)的坐標(biāo)；Dij為i，j兩點(diǎn)的隨機(jī)參數(shù)(信號)Si與Sj間的協(xié)方差。

根據(jù)上述最小二乘配置法原理，針對預(yù)行程誤差實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，從分布于?biāo)準(zhǔn)球面的144個(gè)探測點(diǎn)的預(yù)行程誤差中選取72個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為已知點(diǎn)建立預(yù)行程誤差模型，剩下的72個(gè)探測點(diǎn)數(shù)據(jù)作為預(yù)測模型的驗(yàn)證數(shù)據(jù)。建立模型后輸入需要預(yù)測點(diǎn)的緯度和經(jīng)度方位信息(φ,θ)，則輸出該探測點(diǎn)的預(yù)行程誤差預(yù)測值。

3 實(shí)驗(yàn)分析

選取分布于標(biāo)準(zhǔn)球面的72個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為已知點(diǎn)建立預(yù)行程誤差模型，其余72個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和本文提出的基于最小二乘配置模型2種算法做了預(yù)行程誤差的預(yù)測結(jié)果比較實(shí)驗(yàn)。

將預(yù)測結(jié)果與相應(yīng)的實(shí)際預(yù)行程誤差數(shù)據(jù)做對比，從而得到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與基于最小二乘配置法的預(yù)行程誤差預(yù)測模型的預(yù)測精度。其預(yù)測結(jié)果如圖3、圖4所示，實(shí)線曲線代表實(shí)際測得的預(yù)行程誤差，虛線曲線分別代表RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和基于最小二乘配置法的預(yù)測模型得到的預(yù)測數(shù)據(jù)。兩條曲線的重合程度反映算法的預(yù)測精度。由圖3、圖4可以看出，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型其預(yù)測結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)已經(jīng)非常接近，也能夠反映預(yù)行程誤差的隨機(jī)性；而基于最小二乘配置法的預(yù)測模型在具有以上優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上做到了精度更高，誤差波動(dòng)更小，其預(yù)測結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)基本重合，無明顯差距。

由圖5、圖6預(yù)測誤差圖可看出，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測模型其大部分預(yù)測點(diǎn)殘差在4 μm左右，其中最大預(yù)測誤差為10.85 μm，個(gè)別點(diǎn)的預(yù)測誤差在6～8 μm左右，平均誤差為2.587 9 μm，殘差標(biāo)準(zhǔn)差為2.332 7 μm。而基于最小二乘配置法的預(yù)測模型大部分預(yù)測點(diǎn)的精度都在2 μm以下，個(gè)別點(diǎn)的預(yù)測誤差在4 μm左右，且只有一個(gè)點(diǎn)的預(yù)測誤差在7 μm左右。由于預(yù)行程誤差在空間中的分布是相互關(guān)聯(lián)的，且相距較近的對象之間影響力遠(yuǎn)大于較遠(yuǎn)的，因此采用空間平方根函數(shù)作為先驗(yàn)協(xié)方差的最小二乘配置模型其總體預(yù)測誤差更小。由圖中還可以看出預(yù)測點(diǎn)誤差波動(dòng)較大，這與機(jī)床在反向運(yùn)動(dòng)時(shí)的方向間隙有關(guān)。與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相比，本文基于最小二乘配置法的預(yù)測模型其精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。采用最小二乘配置預(yù)測模型的預(yù)測誤差平均值為1.395 0 μm，其標(biāo)準(zhǔn)差為1.426 3 μm。平均預(yù)測精度相比RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型提高了38.86%，預(yù)測結(jié)果更加穩(wěn)定可靠。

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測值與實(shí)際值對比

圖4 最小二乘配置模型預(yù)測值與實(shí)際值對比

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法模型預(yù)測誤差

圖6 最小二乘配置模型預(yù)測誤差

表1 預(yù)測精度統(tǒng)計(jì)表(μm)

4 結(jié)論

本文針對OMM系統(tǒng)的預(yù)行程誤差補(bǔ)償問題，提出了一種基于最小二乘配置法的誤差預(yù)測模型。通過采用空間平方根函數(shù)作為先驗(yàn)協(xié)方差，確保了該模型的預(yù)測結(jié)果能夠綜合考慮到預(yù)行程誤差的空間相關(guān)性。同時(shí)設(shè)計(jì)了與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的對比實(shí)驗(yàn)，證明了本文方法對預(yù)行程誤差預(yù)測結(jié)果的有效性和準(zhǔn)確性。通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，基于最小二乘配置法的預(yù)測模型適用于非線性且具有一定空間相關(guān)性的對象，能夠提高預(yù)測結(jié)果的精度和可靠性。該方法也可應(yīng)用于CMM(三坐標(biāo)機(jī))的測量系統(tǒng)誤差補(bǔ)償， 將在今后的工作中做進(jìn)一步的研究。