基于危險值分布流模型的飛機(jī)時間間隔計算方法

潘衛(wèi)軍，張衡衡，殷浩然，王 昊，吳天祎

(中國民航飛行學(xué)院空中交通管理學(xué)院，廣漢 618307)

隨著民航運輸業(yè)的快速發(fā)展，航班數(shù)量不斷增長導(dǎo)致空中交通非常繁忙，在空域容量不變的情況下，飛機(jī)之間的間隔越來越小，從而導(dǎo)致兩機(jī)間發(fā)生碰撞的危險值和后機(jī)受前機(jī)產(chǎn)生尾渦的影響越來越大。中國現(xiàn)行的基于距離的間隔標(biāo)準(zhǔn)可以允許管制員通過雷達(dá)顯示器利用可見信息直接協(xié)調(diào)飛機(jī)間距，但也很容易受到天氣情況和機(jī)場容量的影響，運行效率較低。2015年，李冰冰等[1]通過建立跑道容量模型，定量分析基于時間的間隔標(biāo)準(zhǔn)(time based separation,TBS)與基于距離的間隔標(biāo)準(zhǔn)(distance based separation，DBS)、風(fēng)速變化等因素對跑道系統(tǒng)容量的影響程度。2015年，聶潤兔等[2]對TBS在中國的應(yīng)用前景進(jìn)行了分析，提出制定符合中國運行安全標(biāo)準(zhǔn)的基于時間的間隔標(biāo)準(zhǔn)，將會對提升運行效率和容量起到事半功倍的效果和作用。英國國家航空局(NATS)、歐洲單一天空計劃研究與開發(fā)中心經(jīng)過多年的合作論證和科學(xué)研究，以時間間隔取代傳統(tǒng)的距離間隔來確定最后進(jìn)近階段前后兩機(jī)的間隔保持。在最后進(jìn)近階段運用TBS，考慮到大風(fēng)天氣情況對飛機(jī)性能的影響，通過保持固定的時間間隔的方法，彌補(bǔ)基于距離的間隔標(biāo)準(zhǔn)造成的機(jī)場容量的減小，從而大大改善機(jī)場的進(jìn)場容量?；跁r間的間隔標(biāo)準(zhǔn)利用排序算法約束兩機(jī)的間隔，效率更高。

對Lighthill-Whitham-Richards(LWR)模型加以改進(jìn)成為可用于模擬空中交通流的歐拉空中交通網(wǎng)絡(luò)模型[3]，對比LWR模型的歐拉解法和拉格朗日解法，雖然都能等到同樣的收斂結(jié)果，但歐拉解法相比拉格朗日解法，一是計算的復(fù)雜度取決于空間容量而不取決于空間中實體的數(shù)量，計算更容易進(jìn)行；二是可以用控制理論等標(biāo)準(zhǔn)方法分析控制理論結(jié)構(gòu)，并對空中交通流進(jìn)行可控性、可達(dá)性和模型分散性分析。Wang等[4]首先引入LWR模型來描述空中交通密度流。

目前國內(nèi)基于時間的尾流間隔研究還處于理論研究階段，且理論資料相對較少，研究成果還不足以滿足實際運行的要求，現(xiàn)使用一種改進(jìn)的Lighthill-Whitham-Richards(LWR)的交通流量模型，將基于時間間隔運行時兩機(jī)之間的碰撞沖突概率視為與飛機(jī)數(shù)量相關(guān)的連續(xù)分布，預(yù)測發(fā)生沖突的概率，使用速度平差法計算不同機(jī)型組合的安全間隔，使得基于時間的尾流間隔運行模式擁有堅實的理論基礎(chǔ)。為此，提出危險值分布流模型，獲得基于時間的間隔特性。利用該模型確定空域的擁擠程度，并判斷飛機(jī)之間的間隔是否滿足要求；考慮不同機(jī)型組合下的間隔約束，使該方法適用于飛機(jī)著陸過程中復(fù)雜的間隔情況；研究自動速度調(diào)整程序，以保持飛機(jī)之間的最小間隔時間，從而最大限度地提高進(jìn)近航路容量；在分析比較現(xiàn)行的基于距離的間隔標(biāo)準(zhǔn)和基于時間的間隔標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，分析TBC終端區(qū)系統(tǒng)容量的優(yōu)化效果，計算出兩機(jī)之間安全合理的時間間隔，驗證TBS對提升終端區(qū)容量的現(xiàn)實可行策略。

1 基于距離間隔的時間間隔計算

尾渦是飛機(jī)機(jī)翼產(chǎn)生升力的副產(chǎn)品，是一種產(chǎn)生在飛行過程中所有階段的湍流氣流，會造成飛機(jī)的滾轉(zhuǎn)和失控[5]。航班數(shù)量的增多，飛機(jī)著陸過程中的間隔越來越小，尾流的影響就顯得非常明顯，尾渦的產(chǎn)生與飛機(jī)的重量有關(guān)，尤其后機(jī)為小型飛機(jī)跟隨前機(jī)為大型飛機(jī)降落時，大型飛機(jī)產(chǎn)生更強(qiáng)的尾渦，小型飛機(jī)抵抗湍流的能力弱，這種情況下后機(jī)極易失控。因此在建立尾流間隔的危險值剖面時考慮了不同類型飛機(jī)誘導(dǎo)和抵抗尾渦的能力，危險值剖面區(qū)域的大小與飛機(jī)產(chǎn)生尾渦的強(qiáng)度有關(guān)。飛機(jī)所在位置前方的危險值剖面與后方的危險值剖面表示的意義不同，飛機(jī)前方危險值剖面表示其抵抗尾渦的能力，數(shù)值越大表示其抵抗湍流的能力越弱，后方危險值剖面表示其產(chǎn)生湍流的能力，數(shù)值越大表示其產(chǎn)生的尾渦強(qiáng)度越大[6]。

目前現(xiàn)行的間隔標(biāo)準(zhǔn)是基于空間距離，基于時間的間隔標(biāo)準(zhǔn)還處于研究階段[7-9]。2015年TBS首次應(yīng)用在倫敦希思羅機(jī)場，在綜合最后進(jìn)近過程中影響距離間隔和時間間隔的所有因素的情況下，使得TBS與在弱風(fēng)條件下 DBS保持的時間間隔相同[10]。表1列出了中國現(xiàn)行的基于距離的間隔標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)國際民航組織的規(guī)則將基于距離的間隔標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換為基于時間的間隔標(biāo)準(zhǔn)，以中國民用航空局CAAC規(guī)定的尾流最低距離間隔標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)[11]，各類型飛機(jī)平均進(jìn)近速度如表2所示。

利用式(1)計算出適用于中國的不同機(jī)型組合下TBS標(biāo)準(zhǔn)，如表3所示。

(1)

式(1)中：xij表示前后機(jī)的距離間隔；vj表示后機(jī)進(jìn)近速度；tij表示前后機(jī)的時間間隔。

表1 CAAC規(guī)定的尾流最低距離間隔標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Minimum distance interval standard of wake specified by CAAC

表2 各類型飛機(jī)平均進(jìn)近速度Table 2 Average approach speeds of various types of aircrafts

表3 基于平均進(jìn)近速度的時間間隔Table 3 Time interval based on average approach speed

使用一個臨界值衡量所有組合類型飛機(jī)間隔的指標(biāo)。當(dāng)飛機(jī)不存在時，該臨界值為零；飛機(jī)所在位置的危險值剖面的臨界值為1；當(dāng)兩架飛機(jī)位于同一位置時，表示空中相撞，危險臨界值為2。因此進(jìn)近飛行過程中該臨界值應(yīng)高于飛機(jī)存在時的危險峰值，并低于兩架飛機(jī)相撞時的危險峰值。即在滿足基于時間的最小間隔時，危險峰值應(yīng)為1～2。假設(shè)把危險值剖面的檢測值峰值設(shè)為1.5，飛機(jī)前后的危險值剖面分別描述了飛機(jī)抵抗和誘導(dǎo)渦流的能力[12]。

建立的尾渦危險值剖面如圖1所示，圖1中Ta表示后機(jī)到達(dá)A點所需的時間，Tb表示前機(jī)離開進(jìn)近航路上A點的時間。總時間Ta+Tb表示兩機(jī)之間的時間間隔?，F(xiàn)假設(shè)臨界間隔的危險值為1.5，在圖1中的A點的前后飛機(jī)的危險值為0.75。根據(jù)這一假設(shè)，在滿足國際民航組織ICAO規(guī)定的尾流間隔標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，建立出前后飛機(jī)的危險值剖面[13]。

對于每種類型的飛機(jī)組合，都可以表示出危險值為0.75的時間段Ta和Tb，如圖1所示。采用線性規(guī)劃方法計算每種類型飛機(jī)危險值剖面的Ta和Tb，列出每種類型飛機(jī)的變量如表4所示。

圖1 危險值剖面圖[12]Fig.1 Dangerous value profile[12]

表4 不同類型飛機(jī)的變量Table 4 Variables of different types of aircrafts

在滿足間隔標(biāo)準(zhǔn)的要求下，縮小兩機(jī)之間的間隔即要使表2中變量減小。

Minx

(2)

式(2)中：

b=(61 61 61 61 133 89 72 72

173 124 80 80 266 200 167 108)

為上述計算出的基于時間的間隔。通過線性計算得出每種類型飛機(jī)危險值剖面的Ta和Tb，計算得出x=(51.69 69.50 73.44 32.75 85.94 11.00 108.94 0)，如表5所示。

根據(jù)線性規(guī)劃計算出的Ta與Tb，對應(yīng)飛機(jī)的Ta與Tb相加確定的間隔標(biāo)準(zhǔn)如表6所示。

對于不同類型的飛機(jī)，有不同的危險值剖面圖。如2圖所示，重型飛機(jī)后面的危險值跨度較大，表示較大的飛機(jī)會產(chǎn)生較強(qiáng)的尾流。相反，輕型飛機(jī)前面有較大的危險值，表示較小的飛機(jī)抵抗尾流的能力較低[14]。由于危險值的急劇變化會導(dǎo)致模擬結(jié)果中出現(xiàn)尖峰和振蕩。因此，危險值剖面必須在兩側(cè)平滑下降，才能使其數(shù)值計算穩(wěn)定[15]。

表5 基于危險值0.75計算的飛機(jī)危險剖面的Ta和TbTable 5 Aircraft hazard profile values (Ta,Tb)calculated based on hazard value 0.75

表6 基于危險值為0.75計算的時間間隔Table 6 Time interval calculated based on hazard value of 0.75

2 危險值分布流模型

將每架飛機(jī)在進(jìn)近飛行上時的危險值視為連續(xù)分布，使用改進(jìn)的LWR模型來模擬進(jìn)近空中交通密度流。由于增加了每架飛機(jī)在某固定位置的危險值，因此在求解改進(jìn)LWR模型時選擇了歐拉求解方案[16]。

圖2 各類飛機(jī)危險值分布Fig.2 Distribution of dangerous value of various types of aircraft

設(shè)ρ(x,t)為到達(dá)進(jìn)近航路入口的飛機(jī)密度，qin(t)為進(jìn)近航路入口(此時x=0)的流量，某一位置和時刻的飛機(jī)密度滿足偏微分方程[式(3)]。

(3)

式(3)中：ρ0為進(jìn)近航路入口后的飛機(jī)密度初始值。改進(jìn)的LWR模型偏微分方程也可以由質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)出。對質(zhì)量守恒使用兩次連續(xù)鏈?zhǔn)椒▌t，得到位置導(dǎo)數(shù)和時間導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系如式(4)所示。

(4)

由式(3)和式(4)得ρt=-ρxv-ρv′。其中，ρ為飛機(jī)密度值；ρt為進(jìn)近航路t時刻的飛機(jī)密度值；ρx為位置x處的飛機(jī)密度值；v和v′為不同位置處的飛機(jī)速度。

在進(jìn)近航路上由于飛機(jī)速度減小，假設(shè)危險值視為密度分布，其危險值的峰值會隨著密度分布范圍的增大而減小。因為使用危險值之和(Ta+Tb)進(jìn)行間隔是否滿足標(biāo)準(zhǔn)要求，所以這對于采用基于時間的間隔是不利的。為解決這個問題，采用將危險值分布規(guī)定在與飛機(jī)速度有關(guān)的坐標(biāo)y中，其中速度相對于y值是常數(shù)，然后將累積的危險值在y坐標(biāo)中保持不變。令y是v(x)和x的函數(shù)，則v(y)在y軸中是一個固定常數(shù)[17]。

(5)

由式(5)得：

(6)

式(6)中：c為飛機(jī)在y坐標(biāo)系中的假定速度。由此得：

(7)

令在坐標(biāo)系中y值固定不變，則

(8)

由此，y坐標(biāo)中ρ的時間導(dǎo)數(shù)為ρt=-ρy(y,t)v(y)-ρ(y,t)vy(y)，因為v(y)=c，得vy(y)=0。

因此：

(9)

因此推導(dǎo)出位置x和時間t之間的新關(guān)系，即

ρt(x,t)+v(x)ρ(x,t)=0

(10)

使用有限差分法求近似式(10)的解，有限差分格式從定義(x,t)平面上的點網(wǎng)格開始。設(shè)p和q為正數(shù)，分別表示x和t坐標(biāo)中的間距。網(wǎng)格是任意整數(shù)m和n的點(xm,xn)=(mp,nq)。通過對式(10)的時間進(jìn)行微分，可以得到

ρtt=-ρxt(x,t)v(x)-ρx(x,t)vt(x)

(11)

式(11)中：

ρxt=-ρxx(x,t)v(x)-ρx(x,t)v′(x)

(12)

有限差分網(wǎng)格上關(guān)于時間的ρ的二階泰勒級數(shù)近似為

(13)

式(13)中：k為危險值系數(shù)。

危險值分布流模型可采用多種數(shù)值方法進(jìn)行計算[18]。Lax-Wendroff方法具有保持良好脈沖形狀的特點。因此，通過使用Lax-Wendroff方法，得到下一時刻的危險值分布為

ρ(xi,tj+1)=ρ(xi,tj)-v(xi)ρx(xi,tj)k+

v(xi)[v(xi)ρxx(xi,tj)+

(14)

危險值分布流的演化可以用過渡矩陣映射方法寫成兩個時刻之間的狀態(tài)函數(shù)。向量形式為

P(t+1)=P(t)-diag(V)Px(t)k+diag(V)×

[diag(V)Pxx(t)+

(15)

式(15)中：P(t)=[ρ(x1,t),ρ(x2,t),ρ(x3,t),…,ρ(xm,t)]T是時間t的危險值向量;V=[v(x1),v(x2),v(x3),…,v(xm)]是速度剖面。

式(15)中其他因子為

(16)

式(16)中：D1和D2為m×m矩陣，定義為

(17)

危險值從時間t到時間t+1的演變可以寫成P(t+1)=AP(t)，危險值分布的變化為P(t+n)=AnP(t)，其中：

(18)

式(18)中：I為單位矩陣。

3 速度調(diào)整

基于上述危險值分布流模型對進(jìn)近航路上不滿足間隔的飛機(jī)提出速度調(diào)整方法，使飛機(jī)之間保持所需的最小間隔時間，以便能夠最佳地利用進(jìn)近航路空域的容量。該方法簡化考慮了兩個相鄰飛機(jī)沿同一進(jìn)近航路同一方向飛行的情況。如果兩架飛機(jī)以相同的速度剖面飛行，則這兩架飛機(jī)之間的時間間隔保持不變[19]。

假設(shè)前機(jī)和后機(jī)分別有獨立的危險值剖面Wf(t)和Wl(t)。把最小時間間隔設(shè)tsmin。從圖3可以看出，基于時間的tsmin間隔定義為危險值分布峰值的臨界值等于前機(jī)的Wf(-Tb)加上后機(jī)在t=ta時的危險值，即Wf(-Tb)+Wl(Ta)。根據(jù)危險值曲線，得出ts=Ta+Tb和Wf(-Tb)=Wl(Ta)。假設(shè)后機(jī)比前機(jī)速度快，會導(dǎo)致后機(jī)會趕上前機(jī)，基于時間間隔的時刻是tsmin。其中臨界值是Wf(-Tb)=Wl(Ta)，如圖3所示。調(diào)整后機(jī)的速度剖面，使得相鄰兩架飛機(jī)到達(dá)跑道入口之前，Wl(Ta)點的位置永遠(yuǎn)不會超過Wf(-Tb)點。為了最大限度地利用航路的容量，理想的情況是保持最小的時間間隔。其中，Ta和Tb的位置如圖1所示。

前后飛機(jī)的速度分別記為v1和v2，其中v1>v2。假設(shè)在發(fā)生最小基于時間間隔之前的某個實例中，前機(jī)的Wf(-Tb)位置和后飛機(jī)的Wl(Ta)位置分別位于點A和B處。飛機(jī)在A點和B點匯合的進(jìn)近航路上的位置標(biāo)記為C點。其中A點、B點、C點的位置如圖3所示，E點的位置是機(jī)場跑道入口的位置。C點可根據(jù)進(jìn)近航路上危險值流量的模擬結(jié)果確定[19]。從A點和B點到C點所需的持續(xù)時間可使用反演速度剖面的積分計算，如式(19)所示。

圖3 最小時間間隔危險值和速度剖面圖Fig.3 Hazard value profile and velocity profile in minimum time interval

(19)

假設(shè)后機(jī)能夠以減速度α減速，并且能夠以與前一架飛機(jī)相同的速度飛行，可以生成減速曲線v(x)，通過位于a和b點的交叉點連接v1和v2。后機(jī)可以通過連接曲線v(x)逐漸將其速度從v1改變?yōu)関2。為了實現(xiàn)最小的基于時間的間隔，曲線的放置必須使點A和B同時到達(dá)點b。即

(20)

式(20)中：F1(x)為v1隨x的變化函數(shù)；F2(x)為v2隨x的變化函數(shù)。

已知在A點和B點的飛機(jī)同時到達(dá)C點，使用原始速度剖面有：

(21)

從式(20)和式(21)得知：

(22)

使用差分搜索方法，通過向上或向下移動曲線來滿足式(22)，此過程計算方法如下。

步驟1令vU=v1(C)，vD=v2(C),vp=(vU+vD)/2。

步驟3使用以下迭代方法實時改變vp、vU和vD。

步驟4重復(fù)步驟2和步驟3，直到：

(23)

式(23)中：ε為可以根據(jù)基于時間的間隔的期望精度來選擇的較小的正值。這確保間隔時間接近tss，但不小于tss，其中tss為前后機(jī)滿足的最小時間間隔。

如果前一架飛機(jī)的速度太慢，以致后機(jī)不能使用前機(jī)的速度剖面飛行，那么發(fā)生最小時間間隔的一允許位置是在跑道入口之前。此時，原始速度剖面通過速度變化曲線過渡得到后機(jī)最小速度vm。再次搜索速度變化曲線與原始速度剖面的交點，即

(24)

式(24)中：F(x)為v隨x的變化函數(shù)。

當(dāng)飛機(jī)在A點和B點同時到達(dá)C點時，得到

(25)

然后，需要改變v(x)的位置，以滿足式(25)。此時無法保證C點位于a點和b點之間。因此，差分搜索需要更大的范圍來找到a點和b點所在的交集范圍。算法和決策條件[式(22)和式(25)]不依賴于a點和b點的實際位置,只有速度變化曲線計算需要最小允許間隔點C[20]。

4 仿真結(jié)果

根據(jù)基于距離的間隔計算出基于時間的間隔，使用危險值分布流模型，建立的危險值分布如圖2所示，使用的速度剖面如圖4所示。前后飛機(jī)的初始位置分別位于約37 km和65 km處。由于后機(jī)速度比前機(jī)速度更快飛行，在未來的某個時間點將沒有足夠的時間間隔。利用危險值分布流模型，可以預(yù)測基于時間間隔過程中發(fā)生的間隔不足事件，并提出了一種新的速度剖面，使基于時間間隔的規(guī)則保持到跑道入口。

假設(shè)在進(jìn)近飛行中輕型飛機(jī)跟隨A380飛機(jī)，單個圖中不同時間步的組合危險值分布結(jié)果如圖5(a)所示，實曲線表示各時間步的危險值分布，綜合危險值隨兩架飛機(jī)之間距離的減小而增大。最終，綜合危險值超過了臨界值1.5，這表明這兩架飛機(jī)之間沒有足夠的時間間隔。根據(jù)第3節(jié)提出的速度調(diào)整程序后獲得的結(jié)果如圖5(b)所示，組合危險值隨時間增加，直到峰值達(dá)到1.5的臨界值。然而，在這種情況下，危險值峰值仍保持在臨界值1.5。這表明通過使用速度調(diào)整程序，可以保持所需的最小時間間隔。

圖4 前后飛機(jī)速度剖面Fig.4 Velocity profile of front and rear aircraft

圖5 速度調(diào)整前后的危險值分布圖Fig.5 Distribution of dangerous value before after speed adjustment

圖6更好地說明了不同組合類型飛機(jī)之間的實際間隔距離和時間情況，間隔時間在開始時減少，當(dāng)其值達(dá)到最小間隔時間(132 s)時停止減少，若間隔距離繼續(xù)減少，則因為這兩架飛機(jī)正在減速。最后的間隔距離大于國際民航組織的間隔標(biāo)準(zhǔn)，因為后機(jī)的飛行速度大于生成基于時間的間隔標(biāo)準(zhǔn)的平均著陸速度270 km/h。

圖6 基于時間和距離的尾流間隔Fig.6 Wake interval based on time

5 結(jié)論

提出改進(jìn)的LWR交通流模型，利用危險值分布來表示飛機(jī)在進(jìn)近航路上可能發(fā)生的碰撞危險。每架飛機(jī)在進(jìn)近航路上危險值分布的重疊部分可以指示基于時間的間隔水平，可以作為基于時間的間隔不足的指標(biāo)。利用所提出的流動模型，提出利用后機(jī)加速度進(jìn)行速度調(diào)整的算法。該算法使后機(jī)可以根據(jù)其能力進(jìn)行誤差修正，修正速度后的后機(jī)可以使間隔時間保持在最小要求值，從而更好地利用航道的容量。通過對危險值剖面的研究，論證了前向和后向危險值剖面的現(xiàn)實意義?？梢詾楦鞣N組合類型的飛機(jī)構(gòu)建不同的危險值剖面，并且可應(yīng)用在更復(fù)雜的終端區(qū)進(jìn)一步優(yōu)化有限空域的容量。